上海市位育中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022年位育中学高二上10月月考

一､填空题

1. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.

【答案】45°或135°##135°或45°

【解析】

【分析】根据等角定理即可得到答案.

【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.

故答案为：45°或135°.

2. 若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是___________

【答案】相交或异面

【解析】

【分析】根据空间两直线的位置关系判断.

【详解】如图所示：

设，当 时，c与b相交；

当时， c与b异面；

所以若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是相交或异面.

故答案为：相交或异面

3. 一个边长为4的正方形的直观图的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据直观图面积是原图形面积的，即可得出答案.

【详解】解：正方形的面积为，

所以直观图的面积为.

故答案为：.

4. 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.

【答案】.

【解析】

【分析】根据平面，将直线B1C1到平面的距离转化为C1到平面的距离，进而解出答案.

【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，

又平面，平面，所以，而，

所以平面，

易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离，

所以直线B1C1到平面的距离为.

故答案为：.

5. 在四面体中，若，，两两互相垂直，则点P在平面上的投影是的___________心.

【答案】垂心

【解析】

【分析】证明平面，得，根据平面，得，可证得平面，得，同理可证得，即可得出结论.

【详解】解：在四面体中，若，，两两互相垂直，

则平面，平面，平面，

又平面，所以，

设点P在平面上的投影为点O，

则平面，又平面，所以，

又因，所以平面，

又平面，所以，

同理，，

所以点O是的垂心.

故答案：垂心.

6. 空间四边形中，E､F､G､H分别是､､､边的中点，如果，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】首先构造平行四边形，然后利用向量法计算出.

【详解】画出图象如下图所示，，

，

所以四边形是平行四边形.

，，

，，

，

两式相加得，

.

所以.

故答案为：

7. 如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①与平行；

②与是异面直线；

③与成角；

④与垂直.

以上四个结论中，正确的是______.

【答案】③④

【解析】

【分析】将展开图还原为正方体，根据图像对四个结论逐一分析，由此确定结论正确的序号.

【详解】展开图复原的正方体如图，不难看出：

①与平行；错误的，是异面直线；

②与是异面直线，错误；是平行线；

③从图中连接，，由于几何体是正方体，故三角形是等边三角形，所以与的夹角是，又，故与成；正确；

④由于，所以平面，所以与垂直.正确

判断正确的答案为③④.

故答案为③④.

【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成的角，考查空间想象能力，属于基础题.

8. 已知a是平面外一条直线，过a作平面，使得，则可以作出的平面的个数是___________.

【答案】0或1##1或0

【解析】

【分析】分直线与平面相交和直线与平面平行两种情况，进而得到答案.

【详解】因为a是平面α外的一条直线，所以a与α交于一点，或a∥α，

若a与α交于一点，则过a作平面β，β始终与α相交，

若a∥α，则过a只能作唯一一个平面β与α平行.

故答案为：0或1.

9. 在长方体中，如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是，，，那么______．

【答案】2

【解析】

【分析】由已知得，，，由此能求出的值．

【详解】∵在长方体中，面，

∴与面所成的角为，

同理与面所成的角为，

与面所成的角为，

∵，，，

∴

.

故答案为：2．

【点睛】本题考查了直线与平面所成角的概念，属于基础题.

10. 如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A，B在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是___________.

【答案】30

【解析】

【分析】过作,交于，过作,交于，然后判断出当四点共面时，点到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案.

【详解】如图，

过作,交于，过作,交于，

因为在中，，则，当四点共面时，点到的距离最大.

因为，所以是与平面所成的角，则，则，

于是，，即到的最大距离为30.

故答案为：30.

11. 异面直线a、b所成角为，直线c与a、b垂直且分别交于A、B，点C、D分别在直线a、b上，若，，，则________．

【答案】或

【解析】

【分析】过B作BE//AC且过D作DE⊥BE于E，连接BE、CE，要注意E、C在AB的同侧或异侧两种情况，结合已知有，再过C作CF⊥BE于F，求出DE、EC的长度，在Rt△DEC中应用勾股定理求.

【详解】由题意，过B作BE//AC且过D作DE⊥BE于E，连接BE、CE，如下示意图，

∴由题设知：面ABEC为直角梯形且，

过C作CF⊥BE于F，则CF=AB=2，，可得DE=，BE=，

∴如图1，易得EF=，则EC=，

在Rt△DEC中，CD=.

如图2，易得EF=，则EC=，

在Rt△DEC中，CD=.

故答案为：或

12. 已知点M为正方体内（含表面）的一点，过点M的平面为，有以下四个结论：（1）与和都平行的有且只有一个；（2）过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交；（3）与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个；（4）过点M可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等.其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】（4）

【解析】

【分析】直接利用线面的夹角，异面直线的定义，三棱锥体的定义和性质，线线夹角的应用判断四个命题的结论．

【详解】解：已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，

如图所示：

对于（1）：在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面，此时点为与正方体相交的任一点，

所以与和都平行的有无数个，故（1）错误；

对于（2）：不妨设点在处，此时与直线连成的所在线都在平面内，而易知与平面平行，

所以此时不可能有平面与直线相交，故（2）错误；

对于（3）：连接△，由于为正方体，所以，且，

所以三棱锥为正三棱锥体，

所以、、与平面所成的角都相等，由于，，，都平行，，，，都平行，，，，都平行，

所以平面与正方体所有的棱所成的角都相等，

故只需让所在的平面与平面平行即可，易知有无数个，故（3）错误；

对于（4）：同（3），要使直线与正方体所有棱所成的角相等，

只需该直线与正方体某个顶角周围的三条棱所成的角相等即可，在中，由于为正三棱锥，

所以只有过点和△中心的直线与，，所成的角相等，

易知该直线为正方体的体对角线，

由于正方体由4条互不相同的体对角线，

所以只需在点处作与该4条体对角线平行的直线即可，使该4条直线与正方体所有棱所成的角都相等，故（4）正确．

故答案为：（4）.

二､选择题

13. 已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l(　　)

A. 相交 B. 平行

C. 垂直 D. 异面

【答案】C

【解析】

【详解】当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；

当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；

当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，

所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．

本题选择C选项

14. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：，,故选D.

考点：点线面的位置关系.

15. 用一个平面去截正方体，如果截面是三角形，则截面三角形的形状不可能是（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，结合正方体的性质，即可判断.

【详解】如图1，易知为正三角形，于是答案B,C,D都有可能，

对A，如图2，

若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设EF⊥FG，由正方体的性质可知：，，所以平面，而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，A错误.

故选：A.

16. 已知菱形，，为边上的点（不包括），将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为（    ）

A. 均与位置有关 B. 与位置有关，与位置无关

C. 与位置无关，与位置有关 D. 均与位置无关

【答案】C

【解析】

【分析】数形结合，作//，利用线面垂直得到，然后找到异面直线所成角，并表示，通过讨论点位置得到结果.

【详解】作//交于点，分别取的中点

连接，如图，

由翻折前该四边形为菱形，且，所以为等边三角形

同时点在上，由平面

所以平面,又//，所以平面，所以

直线与所成角即直线与所成角，该角为

所以,由点不与重合，

所以当点翻折到与点重合时，最小，最小与点位置无关；

当没有翻折时，最大，最大，则最大，与点位置有关

故选：C

三､解答题

17. 在长方体中，E为的中点，，，求异面直线与所成角的大小.

【答案】.

【解析】

【分析】取的中点，进而证明，然后得到（或其补角）是所成的角，解出答案即可.

【详解】如图，取的中点，连接，

因为为的中点，则，又，所以，故四边形是平行四边形，则，

于是（或其补角）是所成的角，设其为，

因为，所以，

于是,，

，而,

于是在中，由余弦定理：，则，

即BE与AC所成角的大小为.

18. 用中文表述直线与平面平行的判定定理，并加以证明.

【答案】具体见解析.

【解析】

【分析】对定理的证明，利用反证法先假设平面外的直线与该平面有公共点，进而得出矛盾即可证明问题.

【详解】线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.

已知：.

求证：.

证明：因为，所以经过a,b确定一个平面β，

因为，而，所以.

假设与α有公共点P，则，

点P是a,b的公共点，这与矛盾，

∴.

19. 如图，，直线a与b分别交于点A，B，C和点D，E，F，求证.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD，由面面平行的性质定理可得，所以，同理可得，从而可得结果.

【详解】证明：如图，连接AF交于点M，连接MB，CF，ME，AD.

因为平面，平面，

所以，所以.

同理,且，

所以.

【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理的应用，考查了空间想象能力，证明过程要注意线面平行的性质定理应用的条件，本题属于中档题.

20. 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，D是棱的中点.

（1）证明：.并判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（2）若四面体是鳖臑，且，求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析，四面体是鳖臑，直角分别为，，和；（2）.

【解析】

【分析】（1）由平面，推出，由等腰三角形的性质知，再结合线面垂直的判定定理与性质定理，可证；由线面垂直的性质定理，可判断四面体是否为鳖臑；

（2）过点作于，连接，则即为所求；在中，由等面积法求得的长，再在中，由，即可得解．

【详解】（1）证明：平面，平面，，

，是棱的中点，，

又，、平面，平面，

平面，；

四面体是鳖臑，直角分别为，，和；

（2）解：过点作于，连接，

由（1）知，平面，平面，

所以，又，所以平面，

又平面，所以，

为二面角的平面角，

四面体是鳖臑，且，，

为等腰直角三角形，，

在中，，

，

，

在中，，

所以二面角的大小为.

21. 如图所示，在正方体中，E是棱的中点.

（Ⅰ）求直线BE与平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论.

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

【详解】设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）依题意，得，

所以.

在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则

.

即直线BE和平面所成的角的正弦值为.

（Ⅱ）在棱上存在点F，使.

事实上，如图所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.

因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以

，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，，故.