2020-2021学年河北省廊坊市高二（下）3月入学考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省廊坊市高二（下）3月入学考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数z=5i1+2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 有一批大豆种子，若每粒种子发芽的概率都为34，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是（ ）
A.27128B.2764C.1786D.53124

3. 某市有新冠肺炎患者1350人，分为轻型、普通型、重型三类，其中轻型患者500人，重型患者比普通型患者少50人，为了解该市新冠肺炎患者治疗状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有轻型患者120人，则该样本中的普通型患者人数为（ ）
A.80B.96C.108D.110

4. 若平面α的一个法向量为n→=(1, 2, 1)，A(1, 0, −1)，B(0, −1, 1)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）
A.1B.66C.33D.13

5. 在下列三个命题中，
①若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件；
②若a>b>0,dbd;
③“x2−4x+3≥0”是“x>2”的必要不充分条件．
正确的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.0

6. 利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+...+12n−1A.1项B.2k−1项C.2k项D.2k+1项

7. 随机变量ξ的概率分布列为Pξ=k=ckk+2,k=1，2，3，4，其中c是常数，则Pξ≤2的值为（ ）
A.23B.34C.45D.5568

8. 设直线l与抛物线C:y=14x2相交于A，B两点，与圆M:x2+y−42=r2r>0相切于点P，且点P为线段AB的中点，若这样的直线有四条，则半径r的取值范围是（ ）
A.0二、多选题

若2x−1xn的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的可能值为（ ）
A.9B.10C.11D.12

设随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，且X落在区间−3,−1内的概率和落在区间1,3内的概率相等．若PX>2=p，则下列结论正确的有( )
A.μ=0B.σ=2
C.P0
已知椭圆x24+y22=1的左、右焦点为F1,F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有（ ）
A.△PF1F2的周长为4+22
B.当∠PF1F2=90∘时，△PF1F2的边PF1=2
C.当∠F1PF2=60∘时，△PF1F2的面积为433
D.椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形

已知函数fx=x2+sinx，则下列说法正确的是（ ）
A.fx有且只有一个极值点
B.设gx=fx⋅f−x，则gx与fx的单调性相同
C.fx有且只有两个零点
D.fx在0,π2上单调递增
三、填空题

已知命题p：∀x<0，x2+x<0，则¬p是________.

用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字且比20000大的五位偶数共有________个.

已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点M在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________.

若函数fx满足：x−1f′x−fx=x+1x−2,fe=e−1，其中f′x为fx的导函数，则函数y=fx在区间1e,e的取值范围为________.
四、解答题

已知p:x2−6x+5≤0,q:x2−2x+1−m2≤0m>0.
(1)若m=2，且p和q都为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

2020年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频 APP或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人．将这160人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组55,65，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求a的值并估计这160人的平均年龄；

(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频APP表达对祖国祝福的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？
附：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AA1=3，AC=BC=2，点D是AB中点，点E在AA1上，且AEA1E=27.

(1)求C1E与平面C1CD所成角的正弦值；

(2)求二面角C1−CD−E的余弦值．

我国延迟退休年龄将借鉴国外经验，拟对不同群体采取差别措施，并以“小步慢走”的方式实施．现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”反对的人数如下表：

(1)由以上统计数据估算月收入高于5500的调查对象中，持反对态度的概率；

(2)若对月收入在[1500,2500)，[2500，3500)的被调查对象中各随机选取两人进行跟踪调查，记选中的4人中赞成“延迟退休年龄”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点22,32与点−1,−22．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l过定点0,−12，且斜率为−1k(k≠0)，若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的取值范围及△AOB面积的最大值．

已知函数fx=mxlnx，曲线y=fx在点e2,fe2处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
(1)求m的值；

(2)是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x,fx>klnx+2x恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市高二（下）3月入学考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：因为z=5i1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i，
所以z=2−i，
所以点(2,−1)在第四象限.
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】
无
【解答】
解：用X表示发芽的粒数，
所以独立重复试验服从二项分布X∼B3,34，
则P(X=2)=C32342⋅141=2764．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：设普通型患者人数为x，则x+x−50+500=1350，x=450，
所以轻型、普通型、重型患者的人数分别为500，450，400．
因为120500=625，所以普通型患者抽取人数为450×625=108．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
直接应用点到平面的距离公式即可求出点A到平面α的距离．
【解答】
解：AB→=−1,−1,2，根据点到平面的距离公式可得点A到平面α的距离为
|AB→⋅n→||n→|=|−1×1+−1×2+2×1|12+22+12=66.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
复合命题及其真假判断
【解析】
无
【解答】
解：①若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，命题为真命题；
②若2>1>0，−2<−1<0，然而2×(−1)=1×(−2)，故错误；
③由x2−4x+3≥0可得x≥3或x≤1，应为既不充分也不必要条件．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边=1+12+13+...+12k−1+12k+12k+1+...+12k+1−1与n=k时不等式的左边比较即可得到答案
【解答】
解：用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+...+12k−1，
则当n=k+1时，左边=1+12+13+...+12k−1+12k+12k+1+...+12k+1−1，
∴ 由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12k+1+...+12k+1−1，
共(2k+1−1)−2k+1=2k项，
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
【解答】
解：c1×3+c2×4+c3×5+c4×6
=c21−13+12−14+13−15+14−16
=c2×1715=1，
∴ c=3017．
∴ P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=3017×11×3+12×4
=3017×1124=5568．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
【解析】
无
【解答】
解：设A，B，P的坐标分别为x1,y1,x2,y2,x0,y0，
①当直线l斜率为0时，0②当直线l斜率存在且不为0时，则kAB=y2−y1x2−x1=14x22−14x12x2−x1=x1+x24=x02，kPM=y0−4x0，
故有：kABkPM=y0−42=−1，解得：y0=2，r2=x02+4，由0<14x02<2可得0故4故选C.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
无
【解答】
解：当n为奇数，若n=9时，第5项或第6项的二项式系数最大，A正确；
若n=11时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C正确;
当n为偶数，若n=10时，第6项的二项式系数最大，B正确；
若n=12时，第7项的二项式系数最大，D错误.
故选ABC．
【答案】
A,C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据正态分布的性质，逐项验证，即可求出结果.
【解答】
解：依题意，随机变量X∼Nμ,σ2，且落在区间−3,−1内的概率和落在区间1,3内的概率相等，
所以正态曲线关于直线x=0对称，
即μ=0，故A正确，
且P00−PX>2=12−p，
PX<−2=PX>2=p，
故C正确，D不正确，但σ不确定，故B不正确.
故选AC.
【答案】
A,D
【考点】
余弦定理
椭圆的定义
椭圆的定义和性质
【解析】
无
【解答】
解：根据椭圆方程可得a=2，b=2，c=2．
对于A，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+22，故A正确；
对于B，当∠PF1F2=90∘时，△PF1F2的边|PF1|=b2a=1，故B错误；
对于C，设|PF1|=m，|PF2|=n，
根据椭圆定义以及余弦定理可得：
cs60∘=m2+n2−82mn，m+n=4，
解得mn=83，
则S△PF1F2=12mnsin60∘=233，
故C错误；
对于D，当∠F1PF2=90∘时，
则有m+n=4,m2+n2=8,解得m=n=2，此时点P为上下顶点，
当∠PF1F2=90∘时，有两个点，当∠PF2F1=90∘时，有两个点，故D正确．
故选AD．
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
【解析】
无
【解答】
解：由题知，f′x=2x+csx，f″(x)=2−sinx>0，
所以f′x=2x+csx在R上单调递增，
当x=0时，f′(x)=1>0；
当x=−12时，f′x=−1+cs12<0，
所以存在x0∈−12,0，使得f′x0=0，
所以函数fx=x2+sinx在−∞,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，
所以fx有且只有一个极值点，故A正确；
因为f−x=x2−sinx，
所以gx=fx⋅f−x=x4−sin2x，
所以 g′x=4x3−2sinxcsx=4x3−sin2x，
所以g′0=0，
故gx的一个极值点为0，
所以g(x)与fx的单调性不相同，故B错误；
因为fx有且只有一个极值点x0，x0∈−12,0，且f0=0，
所以fx在(−∞,x0)和(x0,+∞)上各有一个零点，
所以fx有且只有两个零点，故C正确；
因为 y=x2与y=sinx在0,π2上都是单调递增，
所以f(x)=x2+sinx在0,π2上单调递增，故D正确．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
∃x0<0，x02+x0≥0
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
利用全称命题的否定为特称命题，进行求解即可.
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，
命题p：∀x<0，x2+x<0是全称命题，
则¬p是∃x0<0，x02+x0≥0.
故答案为：∃x0<0，x02+x0≥0.
【答案】
240
【考点】
计数原理的应用
【解析】
对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位-最高位-中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有1×4×A43=96个；●个位不是0并且比20000大的五位偶数有2×3×A43=144个；故共有96+144=240个．
【解答】
解：①个位是0并且比20000大的五位偶数有C41A43=96个；
②个位不是0并且比20000大的五位偶数有C21C31A43=144个；
故共有96+144=240个．
故答案为：240．
【答案】
1,2
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：易知直线AB的方程为x=−c，其中c=a2+b2，
因此，设点A−c,y0，B−c,−y0，
所以c2a2−y02b2=1，解得y0=b2a，得|AF|=b2a．
因为双曲线的右顶点Ma,0在以AB为直径的圆外部，
所以|MF|>|AF|，即a+c>b2a，
将b2=c2−a2代入，并化简整理，得2a2+ac−c2>0，
两边都除以a2，整理得e2−e−2<0，又e>1，
解得1故答案为：1,2．
【答案】
0,1−1e
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：由x−1f′x−fx=x+1x−2有x−1f′x−fx=x−12x，
可得x−1f′x−fx(x−1)2=1x，
故有fxx−1′=1x，
得fxx−1=lnx+C(C为常数），
得fx=x−1lnx+C，
由fe=e−1C+1=e−1，
解得C=0．
故fx=x−1lnx，
∴ f′x=lnx+x−1x=xlnx+x−1x，
∴ 当x∈0,1时，f′x<0，函数y=fx单调递减；
当x∈1,+∞时，f′x>0，函数y=fx单调递增．
则当x∈1e,e时，fxmin=f1=0，f1e=1−1e，fe=e−12，
由1−1e−e−12
=3e−2−ee2e=(2e−ee)+(e−2)2e
=e2−e+e−22e>0，
故所求取值范围为0,1−1e．
故答案为：0,1−1e．
四、解答题
【答案】
解：(1)由x2−6x+5≤0，得1≤x≤5，
∴ p：1≤x≤5，
当m=2时，q：−1≤x≤3．
∵ p和q都为真命题，
∴ 1≤x≤3．
(2)由x2−2x+1−m2≤0，得q：1−m≤x≤1+m,
∵ p是q的充分不必要条件，
∴ [1,5]是[1−m,1+m]的真子集，
∴ 解得m≥4，
∴ 实数m的取值范围为m≥4．
【考点】
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由x2−6x+5≤0，得1≤x≤5，
∴ p：1≤x≤5，
当m=2时，q：−1≤x≤3．
∵ p和q都为真命题，
∴ 1≤x≤3．
(2)由x2−2x+1−m2≤0，得q：1−m≤x≤1+m,
∵ p是q的充分不必要条件，
∴ [1,5]是[1−m,1+m]的真子集，
∴ 解得m≥4，
∴ 实数m的取值范围为m≥4．
【答案】
解：(1)由10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1得a=0.035．
这160人的平均年龄为
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10
×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．
(2)前3组人数为10×(0.010+0.015+0.035)×160=96，
由题意得2×2列联表：
K2=200×(14×64−26×96)240×160×110×90≈8.081>6.635，
所以有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1得a=0.035．
这160人的平均年龄为
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10
×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．
(2)前3组人数为10×(0.010+0.015+0.035)×160=96，
由题意得2×2列联表：
K2=200×(14×64−26×96)240×160×110×90≈8.081>6.635，
所以有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【答案】
解：(1)由直三棱柱中
∠ACB=90∘，知AC，BC，CC1两两互相垂直，
以CB，CA，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
AA1=3，AEA1E=27，
∴ AE=23，
C0,0,0，C10,0，3，E0,2,23，A0,2,0，B2,0,0，
AB中点D1,1,0．
C1E→=0,2,−73，CC1→=0,0,3，CD→=1,1,0，
设平面C1CD的一个法向量m→=x,y,z，
则m→⋅CC1→=m→⋅CD→=0，3z=0，x+y=0，
取x=1，则m→=1,−1,0，
cs⟨C1E→,m→⟩=C1E→⋅m→|C1E→||m→|=−24+499⋅2=−317085．
∴ 直线C1E与平面C1CD所成角的正弦值为317085．
(2)CE→=0,2,23，设平面CDE的一个法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅CD→=x+y=0,n→⋅CE→=2y+23z=0．
取z=3，则n→=1,−1,3，
cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=22⋅11=2211，
结合图形知，二面角C1−CD−E的余弦值为2211．
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由直三棱柱中
∠ACB=90∘，知AC，BC，CC1两两互相垂直，
以CB，CA，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
AA1=3，AEA1E=27，
∴ AE=23，
C0,0,0，C10,0，3，E0,2,23，A0,2,0，B2,0,0，
AB中点D1,1,0．
C1E→=0,2,−73，CC1→=0,0,3，CD→=1,1,0，
设平面C1CD的一个法向量m→=x,y,z，
则m→⋅CC1→=m→⋅CD→=0，3z=0，x+y=0，
取x=1，则m→=1,−1,0，
cs⟨C1E→,m→⟩=C1E→⋅m→|C1E→||m→|=−24+499⋅2=−317085．
∴ 直线C1E与平面C1CD所成角的正弦值为317085．
(2)CE→=0,2,23，设平面CDE的一个法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅CD→=x+y=0,n→⋅CE→=2y+23z=0．
取z=3，则n→=1,−1,3，
cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=22⋅11=2211，
结合图形知，二面角C1−CD−E的余弦值为2211．
【答案】
解：(1)根据有收入的频数分布可知月收入高于5500元的有6+4=10人，其中持反对态度的有2+1=3人，
所以月收入高于5500元的调查对象中，持反对态度的概率P=310=0.3．
(2)根据题意，由于对月收入在[1500,2500)，[2500,3500)的被调查对象中随机选取两人进行跟踪调查，可知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=C42C52×C82C102=2875，
P(ξ=1)=C11C41C52×C82C102+C42C52×C21C81C102=104225，
P(ξ=2)=C11C41C52×C21C81C102+C42C52×C22C102=745，
P(ξ=3)=C11C41C52×C22C102=2225，
所以ξ的分布列为
E(ξ)=0×2875+1×104225+2×745+3×2225=0.8．
【考点】
频数与频率
用频率估计概率
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据有收入的频数分布可知月收入高于5500元的有6+4=10人，其中持反对态度的有2+1=3人，
所以月收入高于5500元的调查对象中，持反对态度的概率P=310=0.3．
(2)根据题意，由于对月收入在[1500,2500)，[2500,3500)的被调查对象中随机选取两人进行跟踪调查，可知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=C42C52×C82C102=2875，
P(ξ=1)=C11C41C52×C82C102+C42C52×C21C81C102=104225，
P(ξ=2)=C11C41C52×C21C81C102+C42C52×C22C102=745，
P(ξ=3)=C11C41C52×C22C102=2225，
所以ξ的分布列为
E(ξ)=0×2875+1×104225+2×745+3×2225=0.8．
【答案】
解：(1)由题意可得，
24a2+34b2=1,1a2+24b2=1,解得a2=2,b2=1.
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1．
(2)由题意设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0)，
由x22+y2=1,y=kx+m消去y得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
∴ Δ>0，即2k2+1>m2，①
且x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−21+2k2，
∴ 线段AB中点的横坐标x0=−2km1+2k2，纵坐标y0=kx0+m=m1+2k2，
将x0，y0代入直线l方程y=−1kx−12可得，m=1+2k22，②
由①，②可得，k2<32，又k≠0，
∴ k∈−62,0∪0,62．
又|AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1⋅x2
=1+k21+2k28(1+2k2)−8m2，
且原点O到直线AB的距离d=|m|k2+1，
∴ S△AOB=12|AB|⋅d=|m|2(1+2k2)8(1+2k2)−8m2
=1416m−8m2=222m−m2，
∴ m=1时，S△AOB最大值为22．
此时，k=±22，
∴ k=±22时，S△AOB取得最大值22．
【考点】
圆锥曲线的综合问题
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可得，
24a2+34b2=1,1a2+24b2=1,解得a2=2,b2=1.
∴ 椭圆C的方程为x22+y2=1．
(2)由题意设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0)，
由x22+y2=1,y=kx+m消去y得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
∴ Δ>0，即2k2+1>m2，①
且x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−21+2k2，
∴ 线段AB中点的横坐标x0=−2km1+2k2，纵坐标y0=kx0+m=m1+2k2，
将x0，y0代入直线l方程y=−1kx−12可得，m=1+2k22，②
由①，②可得，k2<32，又k≠0，
∴ k∈−62,0∪0,62．
又|AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1⋅x2
=1+k21+2k28(1+2k2)−8m2，
且原点O到直线AB的距离d=|m|k2+1，
∴ S△AOB=12|AB|⋅d=|m|2(1+2k2)8(1+2k2)−8m2
=1416m−8m2=222m−m2，
∴ m=1时，S△AOB最大值为22．
此时，k=±22，
∴ k=±22时，S△AOB取得最大值22．
【答案】
解：(1)f′x=mlnx−1(lnx)2，
又由题意有f′e2=12⇒m4=12⇒m=2．
(2)由(1)知f(x)=2xlnx，
此时f′(x)=2(lnx−1)(lnx)2，由f′(x)<0⇒0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e)．
要f(x)>klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2x⇔klnx<2xlnx−2x．
①当x∈(0,1)时，lnx<0，则要k>2x−2x⋅lnx恒成立，
令g(x)=2x−2x⋅lnx⇒g′(x)=2x−lnx−2x，
再令ℎ(x)=2x−lnx−2⇒ℎ′(x)=x−1x<0，
所以ℎ(x)在(0,1)内递减，
所以当x∈(0,1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(0,1)内递增，g(x)②当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则要k<2x−2x⋅lnx恒成立，
由①可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)内递增，
所以当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(1,+∞)内递增，g(x)>g(1)=2⇒k≤2．
综合①②可得k=2，即存在常数k=2满足题意．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f′x=mlnx−1(lnx)2，
又由题意有f′e2=12⇒m4=12⇒m=2．
(2)由(1)知f(x)=2xlnx，
此时f′(x)=2(lnx−1)(lnx)2，由f′(x)<0⇒0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e)．
要f(x)>klnx+2x恒成立，即2xlnx>klnx+2x⇔klnx<2xlnx−2x．
①当x∈(0,1)时，lnx<0，则要k>2x−2x⋅lnx恒成立，
令g(x)=2x−2x⋅lnx⇒g′(x)=2x−lnx−2x，
再令ℎ(x)=2x−lnx−2⇒ℎ′(x)=x−1x<0，
所以ℎ(x)在(0,1)内递减，
所以当x∈(0,1)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(0,1)内递增，g(x)②当x∈(1,+∞)时，lnx>0，则要k<2x−2x⋅lnx恒成立，
由①可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)内递增，
所以当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，故g′(x)=ℎ(x)x>0，
所以g(x)在(1,+∞)内递增，g(x)>g(1)=2⇒k≤2．
综合①②可得k=2，即存在常数k=2满足题意．月收入（元）
[1500,2500)
[2500,3500)
[3500,4500)
[4500,5500)
[5500,6500)
[6500,7500)
频数
5
10
14
11
6
4
反对人数
4
8
11
6
2
1
通过短视频APP表达祝福
通过微信或微博表达祝福
合计
青少年
14
96
110
中老年
26
64
90
合计
40
160
200
通过短视频APP表达祝福
通过微信或微博表达祝福
合计
青少年
14
96
110
中老年
26
64
90
合计
40
160
200
ξ
0
1
2
3
P
2875
104225
745
2225
ξ
0
1
2
3
P
2875
104225
745
2225