2021年河南省许昌市中考数学二模试卷

这是一份2021年河南省许昌市中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省许昌市中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
2．（3分）某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对面上的汉字是（　　）

A．礼 B．年 C．百 D．赞
3．（3分）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（3分）某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取了80名居民的信息进行调查，将抽取年龄按“老“、“中”、“青”、幼”划分为四个等级，统计数据分别为20人、20人、28人、12人．若该社区共有3000人，则估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为（　　）人．
A．1500 B．1600 C．1700 D．1800
5．（3分）已知a2﹣2a＝1，则3a2﹣6a﹣4的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．（3分）北京时间4月22日20时40分，天空迎来“天琴座流星雨”，每小时有一二十颗流星划过天空，让人叹为观止．已知地球的质量约为6×1021吨，而在46亿年的时间内大约有20万吨的流星体下落，那么地球的质量大约是这些流星体的（　　）倍．
A．3×1014 B．3×1015 C．3×1016 D．3×1017
7．（3分）在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
8．（3分）如图，把一块长为50cm．宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为400cm2，设剪去小正方形的边长为xcm．则可列方程为（　　）

A．（40﹣x）（50﹣2x）＝400 B．（40﹣2x）（50﹣2x）＝400
C．（40﹣x）（50﹣x）＝400 D．（40﹣2x）（50﹣x）＝400
9．（3分）在平面直角坐标系内，点A（2，3），B（﹣1，4），C（2，a）分别在三个不同的象限，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（1，），将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B'落在边OA上，则A′的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（﹣，1） D．（﹣1，）
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）﹣（）﹣1＝　 　．
12．（3分）将直线y＝2x向下平移2个单位长度，平移后的直线解析式为 　 　．
13．（3分）某校计划以班级为单位开展“数学趣味赛“，七（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶、小萱三名女生中各随机选出一名男生和一名女生参加比赛，则小宇和小萱被选中的概率为 　 　．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边BC的中点，点F是边CD上一点，连接AF，若∠FAE＝∠BAE，则线段CF的长度为 　 　．

15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点P是弧AB上一动点，连接OP，点C是OP的中点，连接AC并延长，交OB于点D，则图中阴影部分面积的最小值为 　 　．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．
（2）解方程：﹣1＝．

17．（9分）近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均月收入/千元
中位数
众数
方差
甲公司
a
6
c
1.2
乙公司
6
b
4
7.6
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
（2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作出经过A，B，C三点的⊙O． （不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接DB，DC．
①求证：△BDC≌△CAB；
②将△CAD沿AD折叠，点C的对应点为C′，当∠ABC＝　 　°时，四边形 ABC'O为菱形．

19．（9分）大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量．如图，他们先在山脚A处测得山顶B的仰角∠BAD为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C，在点C处测得山顶B的仰角∠BCE为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD．
（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

20．（9分）某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如图所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）
运行区间
一等座
二等座
出发站
终点站
成人票价（元/张）
成人票价（元/张）
学生票价（元/张）
A市高铁站
B市高铁站
132
80
60
若师生均购买二等座票，则共需3800元．
（1）求参加活动的教师和学生各有多少人？
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人？
21．（10分）在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系．如图1，若点P是斜坐标系xOy中任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴，y轴交于点M，N，如果点M，N对应的实数为a，b，则点P的坐标为（a，b）．
（1）如图1，点E在斜坐标系xOy中的坐标为　 　．
A．（4，﹣2）
B．（4，2）
C．（3，﹣2）
D．（3，2）
（2）如图2，在斜坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，4）．
①若点Q（x，y）是直线l上一点，请写出y关于x的关系式，并就点Q在BA延长线上时的情况进行证明；
②若x轴与y轴的夹角∠BOA＝60°，经过原点O的直线m交直线l于点F，当∠FOA＝30°时，请直接写出点F的坐标．

22．（10分）小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称
（1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 　 　；
①y＝﹣2x；②y＝x﹣3；③y＝2x；④y＝﹣2x+3．
（2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）的图象上存在不同的两点A（m，﹣m）与B关于原点对称，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
23．（11分）三角形的布洛卡点（ Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（ Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　 　；PA、PB、PC的数量关系是 　 　；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC＝90°）的布洛卡点，且∠1＝∠2＝∠3．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为，求△PBC的面积．


2021年河南省许昌市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣ B．﹣3 C． D．3
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：D．
2．（3分）某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对面上的汉字是（　　）

A．礼 B．年 C．百 D．赞
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“礼”与“赞”是相对面，
“建”与“百”是相对面，
“党”与“年”是相对面；
故选：B．
3．（3分）如图，直线a与b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据对顶角相等可得∠1的度数，再利用邻补角互补可得答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝240°，
∴∠1＝∠2＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：C．
4．（3分）某社区为了解该社区居民年龄结构，从社区住户中随机抽取了80名居民的信息进行调查，将抽取年龄按“老“、“中”、“青”、幼”划分为四个等级，统计数据分别为20人、20人、28人、12人．若该社区共有3000人，则估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为（　　）人．
A．1500 B．1600 C．1700 D．1800
【分析】用“中”和“青“的总人数所占的百分比乘以该社区的总人数即可．
【解答】解：3000×＝1800（人），
答：估计其中年龄为“中”和“青“的总人数约为1800人．
故选：D．
5．（3分）已知a2﹣2a＝1，则3a2﹣6a﹣4的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】先变形得出3a2﹣6a﹣4＝3（a2﹣2a）﹣4，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a﹣4
＝3（a2﹣2a）﹣4
＝3×1﹣4
＝﹣1，
故选：A．
6．（3分）北京时间4月22日20时40分，天空迎来“天琴座流星雨”，每小时有一二十颗流星划过天空，让人叹为观止．已知地球的质量约为6×1021吨，而在46亿年的时间内大约有20万吨的流星体下落，那么地球的质量大约是这些流星体的（　　）倍．
A．3×1014 B．3×1015 C．3×1016 D．3×1017
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：6×1021÷（2×105）＝3×1016，
故选：C．
7．（3分）在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则△ODE的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】根据勾股定理求出DC，根据垂径定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝10，
∴OA＝5，
∵OC：OA＝4：5，
∴OC＝4，
在Rt△OCD中，DC＝＝＝3，
∵DE⊥AB，
∴DE＝2DC＝6，
∴△ODE的周长＝OD+OE+DE＝5+5+6＝16，
故选：D．
8．（3分）如图，把一块长为50cm．宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为400cm2，设剪去小正方形的边长为xcm．则可列方程为（　　）

A．（40﹣x）（50﹣2x）＝400 B．（40﹣2x）（50﹣2x）＝400
C．（40﹣x）（50﹣x）＝400 D．（40﹣2x）（50﹣x）＝400
【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（50﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为400cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（50﹣2x）cm，宽为（40﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝400．
故选：B．
9．（3分）在平面直角坐标系内，点A（2，3），B（﹣1，4），C（2，a）分别在三个不同的象限，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据已知条件得到点B（﹣1，4）在第二象限，求得点C（2，a）一定在第四象限，由于反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（﹣1，4），C（2，a），于是得到结论．
【解答】解：∵A（2，3），B（﹣1，4），C（2，a）分别在三个不同的象限，点A（2，3）在第一象限，点B（﹣1，4）在第二象限，
∴点C（2，a）一定在第四象限，
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，
∴反比例函数y＝（k≠0）的图象经过B（﹣1，4），C（2，a），
∴k＝﹣1×4＝2a，
∴a＝﹣2，
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（1，），将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B'落在边OA上，则A′的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（﹣，1） D．（﹣1，）
【分析】证明A，A′关于y轴对称，可得结论．
【解答】解：设A′B′交y轴于点F．
∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，

∵∠FOB＝90°，
∴∠AOF＝∠A′OF＝30°，
∴A，A′关于y轴对称，
∴A′（﹣1，），
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）﹣（）﹣1＝　﹣1　．
【分析】先化简算术平方根，负整数指数幂，然后再计算．
【解答】解：原式＝2﹣3
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）将直线y＝2x向下平移2个单位长度，平移后的直线解析式为 　y＝2x﹣2　．
【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减”原则写出平移后的函数解析式．
【解答】解：将直线y＝2x向下平移2个单位长度，平移后的直线解析式为y＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2．
13．（3分）某校计划以班级为单位开展“数学趣味赛“，七（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶、小萱三名女生中各随机选出一名男生和一名女生参加比赛，则小宇和小萱被选中的概率为 　　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出小宇和小萱的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有2种情况，
∴小宇和小萱被选中的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是边BC的中点，点F是边CD上一点，连接AF，若∠FAE＝∠BAE，则线段CF的长度为 　　．

【分析】过点E作EG⊥AF于点G，连接EF，利用角平分线的性质定理可得EB＝EG；通过证明得到△EGF≌△ECF，可得GF＝CF，设CF＝x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：过点E作EG⊥AF于点G，连接EF，如图，

∵∠FAE＝∠BAE，AB⊥BE，EG⊥AF，
∴EB＝EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠C＝∠D＝90°．
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴EG＝BE＝1．
∴EG＝EC．
在Rt△EGF和Rt△ECF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF（HL）．
∴FG＝FC．
同理Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG＝AB＝2．
设CF＝x，则AF＝AG+FG＝2+x，DF＝DC﹣CF＝2﹣x．
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴22+（2﹣x）2＝（x+2）2．
解得：x＝．
∴CF＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点P是弧AB上一动点，连接OP，点C是OP的中点，连接AC并延长，交OB于点D，则图中阴影部分面积的最小值为 　π﹣　．

【分析】根据S阴＝S扇形AOB﹣S△OBD＝﹣•OA•OD＝π﹣OD，推出当OD的值最大时，阴影部分的面积最小，求出OD的最大值即可．
【解答】解：如图，∵S阴＝S扇形AOB﹣S△OBD＝﹣•OA•OD＝π﹣OD，
∴当OD的值最大时，阴影部分的面积最小，
∵OC＝OP＝1，
∴当OC⊥AD时，OD的值最大，
此时∵OA＝2OD，∠OCA＝90°，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA＝，
∴阴影部分的面积的最小值为：π﹣．
故答案为：π﹣．

三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）（1）解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≥﹣2　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x＜3　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣2≤x＜3　．
（2）解方程：﹣1＝．

【分析】（Ⅰ）（Ⅱ）先解一元一次不等式求出解集；
（Ⅲ）画数轴注意≥是实心点，＜是空心点；
（Ⅳ）根据数轴求出解集；
（2）解分式方程，先去分母、移项，合并同类项、把x系数化为1，最后一定检验．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＜3；
（Ⅲ）
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x＜3；
故答案为：（Ⅰ）x≥﹣2；（Ⅱ）x＜3；（Ⅳ）﹣2≤x＜3；
（2）原分式方程可化为：﹣1＝，
2﹣x+2＝﹣3，
解得，x＝7，
检验：把x＝7代入x﹣2≠0，
∴原方程解是x＝7．
17．（9分）近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均月收入/千元
中位数
众数
方差
甲公司
a
6
c
1.2
乙公司
6
b
4
7.6
（1）填空：a＝　6　；b＝　4.5　；c＝　6　；
（2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）∵“6千元”对应的百分比为1﹣（10%+20%+10%+20%）＝40%，
∴a＝4×10%+5×20%+6×40%+7×20%+8×10%＝6，c＝6，
b＝＝4.5，
故答案为：6、4.5、6；
（2）选美团，理由如下：
因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：作出经过A，B，C三点的⊙O． （不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交⊙O于点D，连接DB，DC．
①求证：△BDC≌△CAB；
②将△CAD沿AD折叠，点C的对应点为C′，当∠ABC＝　60　°时，四边形 ABC'O为菱形．

【分析】（1）作BC的垂直平分线交BC于点O，以O为圆心，以OB为半径作⊙O，即可得到结果；
（2）①利用OA＝OD，OB＝OC，得出四边形ABDC为平行四边形，得到AB＝CD，BD＝AC，再利用“SSS”即可证明△BDC≌△CAB；
②利用四边形 ABC'O为菱形，证明△OAB为等边三角形，即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）解：如图，作BC的垂直平分线交BC于点O，以O为圆心，以OB为半径作⊙O，⊙O就是所求作的圆；

（2）①证明：如图，

∵OA＝OD，OB＝OC，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴AB＝CD，BD＝AC，
在△BDC和△CAB中，
，
∴△BDC≌△CAB（SSS）；
②解：如图，

当四边形 ABC'O为菱形时，AB＝AO，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠ABO＝60°，即∠ABC＝60°，
故答案为：60．
19．（9分）大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量．如图，他们先在山脚A处测得山顶B的仰角∠BAD为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C，在点C处测得山顶B的仰角∠BCE为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD．
（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

【分析】作CF⊥AD于F，解直角三角形ACF求得CF＝140（米），AF＝315（米），根据等腰直角三角形的性质，设AD＝x，BD＝AD＝x，即可得到CE＝DF＝x﹣315，BE＝x﹣140，利用三角函数，求得答案．
【解答】解：作CF⊥AD于F，
∵∠CAF＝25°，AC＝350米，
∴CF＝sin25°•AC＝0.4×350≈140（米），AF＝cos25°•AC≈0.9×350＝315（米），
设AD＝x，
∵∠BAD为45°，BD⊥AD，
∴BD＝AD＝x，
∴CE＝DF＝x﹣315，BE＝x﹣140，
∵∠BCE＝50°，BD⊥CE，
∴tan50°＝，即1.2≈，
解得x＝1190（米），
∴大鸿寨主峰卧佛山的高度BD为1190米．

20．（9分）某中学组织师生共60人，从A市乘高铁前往B市参加学习交流活动，高铁票价格如图所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）
运行区间
一等座
二等座
出发站
终点站
成人票价（元/张）
成人票价（元/张）
学生票价（元/张）
A市高铁站
B市高铁站
132
80
60
若师生均购买二等座票，则共需3800元．
（1）求参加活动的教师和学生各有多少人？
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，但合适的车次二等座已售完，这部分教师需购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②若购买一、二等座票全部费用不多于4000元，则提早前往的教师最多只能多少人？
【分析】（1）设参加活动的教师有a人，学生有b人，根据等量关系：师生共60人；若师生均购买二等座票，则共需3800元；列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）①根据购买一、二等座票全部费用＝购买一等座票钱数+教师购买二等座票钱数+学生购买二等座票钱数，依此可得解析式；
②根据不等关系：购买一、二等座票全部费用不多于4000元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设参加活动的教师有a人，学生有b人，依题意有：
，
解得，
答：参加活动的教师有10人，学生有50人；
（2）①依题意有：y＝132x+80（10﹣x）+60×50＝52x+3800．
故y关于x的函数关系式是y＝52x+3800（0＜x≤10）；
②依题意有：
52x+3800≤4000，
解得：x≤．
∵x为整数，
∴提早前往的教师最多2人．
21．（10分）在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系．如图1，若点P是斜坐标系xOy中任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴，y轴交于点M，N，如果点M，N对应的实数为a，b，则点P的坐标为（a，b）．
（1）如图1，点E在斜坐标系xOy中的坐标为　A　．
A．（4，﹣2）
B．（4，2）
C．（3，﹣2）
D．（3，2）
（2）如图2，在斜坐标系xOy中，直线l与x轴，y轴交于点A（3，0），B（0，4）．
①若点Q（x，y）是直线l上一点，请写出y关于x的关系式，并就点Q在BA延长线上时的情况进行证明；
②若x轴与y轴的夹角∠BOA＝60°，经过原点O的直线m交直线l于点F，当∠FOA＝30°时，请直接写出点F的坐标．

【分析】（1）根据斜坐标系中，坐标的定义判断即可．
（2）①过点Q分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点N、M，根据﹣＝1，构建关系式，可得结论．
②分两种情形确定直线OF的解析式，构建方程组，确定交点坐标即可．
【解答】解：（1）观察图象可知E（4，﹣2），
故选A．

（2）①y关于x的关系式：y＝﹣x+4．
理由：过点Q分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点N、M，

∵Q（x，y），A（3，0），B（0，4）．
∴MQ＝x，NQ＝﹣y，OB＝4，OA＝3，
∵QN∥OB，
∴＝，
∴＝，
∵OA∥MQ，
∴＝，
∴＝，
∵﹣＝1，
∴﹣（）＝1，
∴y＝﹣x+4．

②∵∠BOA＝60°，∠FOA＝30°，
当点F在第一象限时，直线OF的解析式为y＝x，
由，解得，
∴F（，）．
当点F在第四象限时，直线OF的解析式y＝﹣x，
由，解得，
∴F（，﹣）．
综上所述，满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．
22．（10分）小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称
（1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 　①③　；
①y＝﹣2x；②y＝x﹣3；③y＝2x；④y＝﹣2x+3．
（2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）的图象上存在不同的两点A（m，﹣m）与B关于原点对称，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
【分析】（1）根据一次函数性质，关于原点对称，即属于正比例函数，据此判断即可；
（2）①二次函数图像上点A（m，﹣m）关于原点对称的点B为（﹣m，m），将桌A点B代入二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）中计算即可求得m及b的值；
②将①中结论代入得，y＝ax2﹣x﹣4a，化为二次函数顶点式，据此分析最小值即可求得a的值，从而求出二次函数解析式．
【解答】解：（1）根据题意，一次函数关于原点对称必经过原点，
故答案为：①③；

（2）①二次函数图像上点A（m，﹣m）关于原点对称的点B为（﹣m，m），
把点A（m．﹣m）代入二次函数解析式得：am2+bm﹣4a＝﹣m（Ⅰ），
把点B（﹣m，m）代入二次函数解析式得：am2﹣bm﹣4a＝m （Ⅱ），
（Ⅰ）式﹣（Ⅱ）得：2bm＝﹣2m，
∵m＞0，
∴b＝﹣1，
把b＝﹣1代入（Ⅰ）得，am2﹣4a＝0，
∵a＞0，m＞0，
m＝2；
②由①知二次函数解析式为：y＝ax2﹣x﹣4a＝，
∴二次函数图象对称轴为x＝（a＞0），
当0＜≤2时，因为a＞0，
所以t的最小值为＝﹣5a，
解得a＝，此时二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2；
当＞2时，因为a＞0，
所以A点的纵坐标即为t的最小值，
即﹣5a＝2，解得a＝（不合题意，舍去）．
综上所述，二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
23．（11分）三角形的布洛卡点（ Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（ Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．
（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　30°　；PA、PB、PC的数量关系是 　PA＝PB＝PC　；
（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC＝90°）的布洛卡点，且∠1＝∠2＝∠3．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；
②若△ABC的面积为，求△PBC的面积．

【分析】（1）证明△ACP≌△BAP，推出CP＝AP，同法可证CP＝BP，推出PA＝PB＝PC，从而∠PAB＝∠PBA＝∠PBC＝∠PCB＝∠PCA＝∠PAC＝30°，即可解决问题；
（2）①由△ABC是等腰直角三角形，∠2＝∠3，即可得∠ABP＝∠BCP，而∠1＝∠2，故△ABP∽△BCP；②过A作AH⊥BP交BP的延长线于H，设AP＝m，由∠APH＝∠1+∠ABP＝∠2+∠ABP＝45°，知△APH是等腰直角三角形，即得AH＝AP＝m，而＝＝＝，即可得BP＝m，CP＝2m，S△BCP＝2S△ABP，故S△APC＝•AP•CP＝×m×2m＝m2，S△ABP＝BP•AH＝×m•m＝m2，S△BCP＝2S△ABP＝m2，可得m2＝，即可求出S△PBC＝m2＝1．
【解答】解：（1）如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，
∴∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，
∴△ACP≌△BAP（ASA），
∴CP＝AP，
同法可证CP＝BP，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠PBC＝∠PCB＝∠PCA＝∠PAC＝30°，
故答案为：30°，PA＝PB＝PC；
（2）①△ABP∽△BCP，证明如下：
如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠2＝∠3，
∴∠ABC﹣∠2＝∠ACB﹣∠3，即∠ABP＝∠BCP，
∵∠1＝∠2，
∴△ABP∽△BCP；
②过A作AH⊥BP交BP的延长线于H，如图：

设AP＝m．
∵∠APH＝∠1+∠ABP＝∠2+∠ABP＝45°，
而AH⊥BP，
∴△APH是等腰直角三角形，
∴AH＝AP＝m，
由①知：△ABP∽△BCP，
∴＝＝＝，即＝＝，＝（）2＝（）2＝，
∴BP＝m，CP＝2m，S△BCP＝2S△ABP，
∴S△APC＝•AP•CP＝×m×2m＝m2，
S△ABP＝BP•AH＝×m•m＝m2，
∴S△BCP＝2S△ABP＝m2，
∴S△ABC＝S△APC+S△ABP+S△BCP＝m2+m2+m2＝m2，
∵△ABC的面积为，
∴m2＝，
解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
∴S△PBC＝m2＝1．