高中数学北师大版必修35.2估计总体的数字特征教案

这是一份高中数学北师大版必修35.2估计总体的数字特征教案，共19页。
知 识 梳 理
1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示eq \f(频率,组距)，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
2.茎叶图
统计中一种被用来表示数据的图叫作茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.
3.样本的数字特征
[微点提醒]
1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up2(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up2(－))＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )
(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.( )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.( )
解析 (1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势.
(2)错误.方差越大，这组数据越离散.
(3)正确.小矩形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率.
(4)错误.茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.(必修3P33讲解引申改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
解析 设频数为n，则eq \f(n,32)＝0.25，
∴n＝32×eq \f(1,4)＝8.
答案 B
3.(必修3P20示例改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
解析 这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，
∴中位数是eq \f(91＋92,2)＝91.5，
平均数eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.
答案 A
4.(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析 法一 设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的.
法二 因为0.64，s24，s2>2
解析 (1)刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.
(2)∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(28＋4,8)＝4.又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数的方差s2＝eq \f(7×2＋（4－4）2,8)＝eq \f(7,4)p2，因此④正确.
设男生、女生两组数据的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))甲，eq \(x,\s\up6(－))乙，标准差分别为s甲，s乙.
易求eq \(x,\s\up6(－))甲＝65.2，eq \(x,\s\up6(－))乙＝61.8，知eq \(x,\s\up6(－))甲>eq \(x,\s\up6(－))乙，②正确.
又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，
∴s甲eq \(y,\s\up6(－))，因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有eq \f(7,10)的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有eq \f(7,10)的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好.
10.(2017·北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为
(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，
分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×eq \f(5,100)＝20.
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq \f(1,2)＝30.
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2019·湖北部分重点中学模拟)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,10) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,8)
解析 由题意知y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x，x＝18，19，,95＋（x－19）（4－3），x＝20，21，))
即y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x，x＝18，19，,76＋x，x＝20，21.))
当日销量不少于20个时，日利润不少于96元.
当日销量为20个时，日利润为96元.
当日销量为21个时，日利润为97元.
日利润为96元的有3天，记为a，b，c，日利润为97元的有2天，记为A，B，从中任选2天有(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种情况，
其中选出的这2天日利润都是97元的有(A，B)1种情况，
故所求概率为eq \f(1,10).
答案 B
12.(2018·衡阳模拟)已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0