高中数学人教版（中职）基础模块下册8.4 直线与圆的位置关系教学设计及反思

这是一份高中数学人教版（中职）基础模块下册8.4 直线与圆的位置关系教学设计及反思，共13页。


[归纳·知识整合]
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？
提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．
[自测·牛刀小试]
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 法一：圆心(0,1)到直线的距离
d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))<1法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．
2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 两圆的圆心距离为eq \r(17)，两圆的半径之差为1，之和为5，而13．已知p：“a＝eq \r(2)”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A a＝eq \r(2)，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±eq \r(2).因此p是q的充分不必要条件．
4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0
解析：选D 法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2)))在直线l上，故可排除A、B、C.
法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0.
5．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
解析：选D 因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心
(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.
[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
(2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[自主解答] (1)因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|a－0＋1|,\r(2))≤r＝eq \r(2)，可得|a＋1|≤2，即a∈[－3,1]．
(2)圆C方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故eq \r(x－42＋kx－22)≤2，整理得(k2＋1)x2－(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解之得0≤k≤eq \f(4,3)，故最大值为eq \f(4,3).
[答案] (1)C (2)eq \f(4,3)
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判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法
(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．
解析：将x2＋y2－2y－3＝0化为x2＋(y－1)2＝4.
由于直线l过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l与圆相交．
答案：相交
2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 设圆心C(x，y)，则题意得eq \r(x－02＋y－32)＝y＋1(y>0)，化简得x2＝8y－8.
[例2] (1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．
(2)(2013·济南模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2eq \r(2)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．
[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝eq \f(|0－2|,\r(2))＝eq \r(2)，圆的半径r＝2，所以弦长为l＝2×eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2).
法二：代数法：联立直线和圆的方程
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x2＋y－22＝4，))消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为eq \r(22－02)＝2eq \r(2).
(2)由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
[答案] (1)2eq \r(2) (2)x＋y－3＝0
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求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＝r2－d2；
2代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝·|x1－x2|＝.
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为( )
A．－1或eq \r(3) B．1或3
C．－2或6 D．0或4
解析：选D 圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|a－2|,\r(2))，则(eq \r(2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a－2|,\r(2))))2＝22，
所以a＝0或a＝4.
4．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝eq \f(|4×0－3×1－2|,\r(42＋－32))＝1，则R2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案：x2＋(y－1)2＝10
[例3] 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[自主解答] (1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由eq \f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.
故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，
∴|PM|2＝|PC|2－r2.
又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.
∴2x－4y＋3＝0即为所求的方程．
若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程．
解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2±eq \r(6))x；
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上可知，直线l的方程为 (2＋eq \r(6))x－y＝0或
(2－eq \r(6))x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
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求过一点的圆的切线方程的方法
(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0.
(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．
5．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(3,4).
故方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有eq \f(|a－2＋4|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝0或a＝eq \f(4,3).
2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法
直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．
(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．
(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．
3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点
(1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；
(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；
(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.
创新交汇——直线与圆的综合应用问题
1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．
2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．
[典例] (2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
[解] (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq \r(2)，0)，(3－2eq \r(2)，0)．
故可设圆C的圆心为(3，t)，
则有32＋(t－1)2＝(2eq \r(2))2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为eq \r(32＋t－12)＝3.
则圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋a＝0，,x－32＋y－12＝9.))
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝eq \f(a2－2a＋1,2).①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
eq \a\vs4\al([名师点评])
1．本题有以下创新点
(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．
(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．
2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点
(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；
(2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验．
eq \a\vs4\al([变式训练])
1．已知直线eq \r(2)ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( )
A.eq \r(2)＋1 B．2
C.eq \r(2) D.eq \r(2)－1
解析：选A 直线eq \r(2)ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线eq \r(2)ax＋by＝1的距离d＝eq \f(1,\r(2a2＋b2))＝eq \f(\r(2),2)，即2a2＋b2＝2，
∴a2＝eq \f(2－b2,2)(－eq \r(2)≤b≤eq \r(2))，则|PM|＝eq \r(a2＋b－12)＝eq \r(\f(b2,2)－2b＋2)＝eq \f(\r(2)|b－2|,2)，∴当b＝－eq \r(2)时，|PM|max＝eq \f(\r(2)×|－\r(2)－2|,2)＝eq \r(2)＋1.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即eq \f(|c|,\r(122＋－52))<1，
解得－13一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．圆(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1的切线方程中有一个是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
解析：选C 圆心为(1，－eq \r(3))，半径为1，故x＝0与圆相切．
2．已知直线l：y＝k(x－1)－eq \r(3)与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5,6)π
解析：选D 由题意知，eq \f(|k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝1，得k＝－eq \f(\r(3),3)，
故直线l的倾斜角为eq \f(5,6)π.
3．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交．
4．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2eq \r(3) B．4
C．2eq \r(5) D．5
解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(9－5)＝4.
5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.
6．直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )
A．－7 B．－14
C．7 D．14
解析：选A 设，的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，cs θ＝eq \f(1,3)，cs 2θ＝2cs2 θ－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9)，·＝3×3cs 2θ＝－7.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq \r(3)，则实数m的值是________．
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝eq \r(4－3)＝1，即eq \f(|1－2m－1|,\r(1＋m2))＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),3).
答案：±eq \f(\r(3),3)
8．(2012·江西高考)过直线x＋y－2eq \r(2)＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：∵点P在直线x＋y－2eq \r(2)＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋2eq \r(2))，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝ eq \r(x\\al(2,0)＋－x0＋2\r(2)2)＝2，解得x0＝eq \r(2).故点P的坐标是(eq \r(2)，eq \r(2))．
答案：(eq \r(2)，eq \r(2))
9．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．
解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为eq \r(3)，即eq \f(1,\r(m2＋n2))＝eq \r(3)，所以m2＋n2＝eq \f(1,3)≥2|mn|，所以|mn|≤eq \f(1,6)，又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,n)))，所以△AOB的面积为eq \f(1,2|mn|)≥3，最小值为3.
答案：3
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．
解：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，
则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，
因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－2,m－1)＝\f(2－3,1＋1)，,\r(m－12＋n－22)＝\r(m－42＋n＋12)＝r，))
解得m＝3，n＝1，r＝eq \r(5)，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－eq \f(3,4)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得x1＋x2＝－eq \f(4k－3,1＋k2).②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③
因P(0,2)、Q(6,0)，＝(6，－2)，
所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－eq \f(3,4).
而由(1)知k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))，故没有符合题意的常数k.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2eq \r(2)的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率kOC＝eq \f(b,a)＝－1，故b＝－a，
则|OC|＝2eq \r(2)，即eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(2)，
可解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2，))
结合点C(a，b)位于第二象限知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2.))
故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在Q(m，n)符合题意，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－42＋n2＝42，,m2＋n2≠0，,m＋22＋n－22＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(4,5)，,n＝\f(12,5).))
故圆C上存在异于原点的点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(12,5)))符合题意．
1．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．8eq \r(2)
解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝eq \r(2)×eq \r(102－4×17)＝8.
2．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－eq \r(3)，1＋eq \r(3) ]
B．(－∞，1－eq \r(3) ]∪[1＋eq \r(3)，＋∞)
C．[2－2eq \r(2)，2＋2eq \r(2) ]
D．(－∞，2－2eq \r(2) ]∪[2＋2eq \r(2)，＋∞)
解析：选D 由题意可得eq \f(|m＋n|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤eq \f(m＋n2,4)，解得m＋n≤2－2eq \r(2)或m＋n≥2＋2eq \r(2).
3．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O与⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：⊙O的圆心为(0,0)，半径为eq \r(2)，⊙O′的圆心为(4,0)，半径为eq \r(6)，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝eq \f(3,2).
答案：x＝eq \f(3,2)
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：依题意，设l的方程为y＝x＋b，①
x2＋y2－2x＋4y－4＝0，②
联立①②消去y得
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－b＋1，,x1x2＝\f(b2＋4b－4,2)，))③
∵以AB为直径的圆过原点，
∴⊥，即x1 x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，
∴b＝1或b＝－4.
∴满足条件的直线l存在，其方程为
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
考 什 么
怎 么 考
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．
2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
dΔ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
相外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
相内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
直线与圆、圆与圆的位置关系
有关圆的弦长问题
圆的切线问题