2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的图象与性质

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的图象与性质，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021秋•驿城区期中）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021秋•霞浦县期中）下列一次函数中，y的值随着x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x+3B．y＝﹣3x+1C．y＝2x﹣1D．y＝
3．（2021春•香坊区校级期中）一次函数y＝﹣x+3的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
4．（2021春•定安县期末）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b
6．（2021春•晋安区校级期末）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量增大而增大
B．函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为18
C．函数图象不经过第四象限
D．函数图象与x轴交点坐标是（0，﹣6）
7．（2021•兴安盟）若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021•娄底）一次函数y＝kx﹣k（k＜0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共5小题）
9．（2021春•开福区校级期中）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ．
10．（2021秋•解放区校级期中）已知点（﹣6，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1与y2的大小关系是 ．
11．（2021秋•岑溪市期中）已知函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5是正比例函数，且图象经过第二，四象限，则m的值为 ．
12．（2021春•浦东新区期中）若直线y＝﹣2x+1﹣b的图象不经过第三象限，那么b的取值范围是 ．
13．（2021秋•金堂县期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（4，a）在正比例函数y＝x的图象上，则点Q（2a﹣5，a）位于第 象限．
三、解答题（共9小题）
14．（2021秋•中牟县期中）请按步骤画出函数y＝﹣2x+4的图象，根据图象回答下列问题：
（1）y的值随x值的增大而 ；
（2）图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ；
（3）当x 时，y＞0．
15．（2021秋•昭平县期中）已知正比例函数y＝（2m+4）x．求：
（1）m为何值时，函数图象经过一、三象限；
（2）m为何值时，y随x的增大而减小；
（3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上．
16．（2021秋•新民市期中）已知一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标并在如图的坐标系中画出函数y＝﹣x+4的图象；
（2）若一次函数y＝kx﹣2的图象经过点A，求它的表达式．
17．（2021秋•东源县期中）画出函数y＝﹣2x+1的图象．
18．（2021春•通州区期中）已知一次函数y＝x+m的图象过点A（4，1），与y轴相交于点B．
（1）求m的值及点B的坐标，并在直角坐标系中画出y＝x+m的图象；
（2）如果一次函数y＝﹣x+n的图象与线段AB有交点，求n的取值范围．
19．（2021春•唐河县期中）已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．
（1）k为何值时，图象经过原点；
（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；
（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；
（4）k为何值时，y随x增大而减小．
20．（2021春•双鸭山期末）已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2021•上城区一模）定义运算“※”为：a※b＝
（1）计算：3※4；
（2）画出函数y＝2※x的图象．
22．（2021春•兴隆县期末）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝ ，当x＜3时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： ．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之一次函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2021秋•驿城区期中）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【答案】B
【分析】首先设定一个为一次函数y1＝mx+n的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．
【解答】解：A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；
B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＜0，两结论不矛盾，故正确；
C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＜0；由y2的图象可知，n＜0，m＞0，两结论相矛盾，故错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
2．（2021秋•霞浦县期中）下列一次函数中，y的值随着x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x+3B．y＝﹣3x+1C．y＝2x﹣1D．y＝
【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】B
【分析】由一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵y＝kx+b中，k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小
A项中，k＝＞0，故y的值随着x值的增大而增大；
B项中，k＝﹣3＜0，y的值随着x值的增大而减小；
C项中，k＝2＞0，y的值随着x值的增大而增大；
D项中，k＝＞0，y的值随着x值的增大而增大；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．（2021春•香坊区校级期中）一次函数y＝﹣x+3的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质一次项系数小于0，则函数一定经过二，四象限，常数项为3＞0，则一定与y轴正半轴相交，即可得到答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，k＝﹣1＜0，则函数一定经过二，四象限，
b＝3＞0，则一定与y轴正半轴相交，
∴一次函数y＝﹣x+3的图象经过一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数y＝kx+b的图象经过的象限由k、b的值共同决定，分如下六种情况：
①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限；
⑤当k＞0，b＝0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三象限；
⑥当k＜0，b＝0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限．
4．（2021春•定安县期末）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
5．（2021秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b
【考点】正比例函数的图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】D
【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
即a＜c＜b．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大
6．（2021春•晋安区校级期末）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量增大而增大
B．函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为18
C．函数图象不经过第四象限
D．函数图象与x轴交点坐标是（0，﹣6）
【考点】一次函数的性质．
【答案】D
【分析】分别根据一次函数的图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵一次函数y＝x+6中，k＝1＞0，∴函数值随自变量增大而增大，故本选项正确；
B、∵一次函数y＝x+6与两坐标轴的交点分别为（0，6），（﹣6，0），∴函数图象与两坐标轴围成的三角形面积＝×6×6＝18，故本选项正确；
C、∵一次函数y＝x+6中，k＝1＞0，b＝6＞0，∴函数图象不经过第四象限，故本选项正确；
D、∵一次函数y＝x+6中，当x＝0时，y＝6，∴函数图象与x轴交点坐标是（0，6），故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
7．（2021•兴安盟）若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
【解答】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
a＜0，则函数y＝ax+c图象经过第二四象限，
c＞0，则函数y＝ax+c的图象与y轴正半轴相交，
纵观各选项，只有A选项符合．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
8．（2021•娄底）一次函数y＝kx﹣k（k＜0）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的图象．
【答案】A
【分析】首先根据k的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
二、填空题（共5小题）
9．（2021春•开福区校级期中）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 x＜1 ．
【考点】一次函数的图象．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象的性质，当y＜0即图象在x轴下侧，x＜1．
【解答】解：根据图象和数据可知，当y＜0即图象在x轴下侧，x＜1．
故答案为x＜1．
【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．
10．（2021秋•解放区校级期中）已知点（﹣6，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】y1＞y2．
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣6＜3，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣6＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11．（2021秋•岑溪市期中）已知函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5是正比例函数，且图象经过第二，四象限，则m的值为 ﹣6 ．
【考点】正比例函数的定义；正比例函数的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正比例函数的定义可得出关于m的方程，解出即可．
【解答】解：由题意可得：2m﹣9＜0，|m|﹣5＝1，
∴m＝﹣6．
故填﹣6．
【点评】解题关键是掌握正比例函数的定义条件以及题意：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．且图象经过第二，四象限，则k＜0．
12．（2021春•浦东新区期中）若直线y＝﹣2x+1﹣b的图象不经过第三象限，那么b的取值范围是 b≤1 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数于与系数的关系得到1﹣b≥0，然后写出不等式的解即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+1﹣b的图象不经过第三象限，
即图象经过第一、二、四象限或图象经过二、四象限和原点，
∴1﹣b≥0，
∴b≤1．
故答案为b≤1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b，当k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
13．（2021秋•金堂县期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（4，a）在正比例函数y＝x的图象上，则点Q（2a﹣5，a）位于第 二 象限．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限．
【解答】解：∵点P（4，a）在正比例函数y＝x的图象上，
∴a＝2，
∴2a﹣5＝﹣1，
∴Q（﹣1，2）
∴点Q（2a﹣5，a）位于第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，得到a的值是解决本题的突破点．
三、解答题（共9小题）
14．（2021秋•中牟县期中）请按步骤画出函数y＝﹣2x+4的图象，根据图象回答下列问题：
（1）y的值随x值的增大而 减小 ；
（2）图象与x轴的交点坐标是 （2，0） ，与y轴的交点坐标是 （0，4） ；
（3）当x ＜2 时，y＞0．
【考点】一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】函数图象见解答；
（1）减小；
（2）（2，0），（0，4）；
（3）＜2．
【分析】根据题目中的函数解析，列表、描点、连线画出函数图象；
（1）根据画出的函数图象，可以得到y的值随x值的增大如何变化；
（2）根据函数图象，可以直接写出图象与x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标；
（3）根据函数图象，可以写出当x取何值时，y＞0．
【解答】解：函数y＝﹣2x+4，列表：
描点，连线，
（1）由图象可知，
y的值随x值的增大而减小，
故答案为：减小；
（2）图象与x轴的交点坐标是（2，0），与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：（2，0），（0，4）；
（3）由图象可得，
当x＜2时，y＞0，
故答案为：＜2．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15．（2021秋•昭平县期中）已知正比例函数y＝（2m+4）x．求：
（1）m为何值时，函数图象经过一、三象限；
（2）m为何值时，y随x的增大而减小；
（3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上．
【考点】正比例函数的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数图象经过一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）根据y随x的增大而减小列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（3）直接把点（1，3）代入正比例函数y＝（2m+4）x，求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵函数图象经过一、三象，
∴2m+4＞0，解得m＞﹣2；
（2）∵y随x的增大而减小，
∴2m+4＜0，解得m＜﹣2；
（3）∵点（1，3）在该函数图象上，
∴2m+4＝3，解得m＝﹣．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限；当k＜0时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而减小是解答此题的关键．
16．（2021秋•新民市期中）已知一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于A，与y轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标并在如图的坐标系中画出函数y＝﹣x+4的图象；
（2）若一次函数y＝kx﹣2的图象经过点A，求它的表达式．
【考点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算函数值为0所对应的自变量的值即可得到A点坐标，计算自变量为0时的函数值即可得到B点坐标，然后利用描点画函数图象；
（2）把A点坐标代入y＝kx﹣2得到关于k的方程，然后解此方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A（3，0），
当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B（0，4），
如图，
（2）把A（3，0）代入y＝kx﹣2得3k﹣2＝0，解得k＝，
所以所求一次函数的解析式为y＝x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b；使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．也考查了一次函数的性质．
17．（2021秋•东源县期中）画出函数y＝﹣2x+1的图象．
【考点】一次函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别令x＝0、y＝0找出函数y＝﹣2x+1的图象与坐标轴的交点，过两交点作直线即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝1；
令y＝0，则﹣2x+1＝0，解得：x＝．
故函数y＝﹣2x+1的图象过点（0，1），（，0）．
找出点（0，1），（，0），过该两点作直线即可，如图所示．
【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是找出一次函数与坐标轴的交点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分别令x＝0、y＝0找出函数与坐标轴的交点坐标是关键．
18．（2021春•通州区期中）已知一次函数y＝x+m的图象过点A（4，1），与y轴相交于点B．
（1）求m的值及点B的坐标，并在直角坐标系中画出y＝x+m的图象；
（2）如果一次函数y＝﹣x+n的图象与线段AB有交点，求n的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据一次函数y＝x+m的图象过点A（4，1），可得m的值，进而得出点B的坐标；
（2）依据一次函数y＝﹣x+n的图象与线段AB有交点，可得0≤（n+1）≤4，进而得到n的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象过点A（4，1），
∴1＝2+m，
∴m＝﹣1，
∴在y＝x﹣1中，令x＝0，则y＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
函数图象如图所示：
（2）令﹣x+n＝x﹣1，则x＝（n+1），
∵一次函数y＝﹣x+n的图象与线段AB有交点，
∴0≤（n+1）≤4，
解得﹣1≤n≤5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标符合解析式是解题的关键．
19．（2021春•唐河县期中）已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．
（1）k为何值时，图象经过原点；
（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；
（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；
（4）k为何值时，y随x增大而减小．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据b＝0时函数的图象经过原点，列出方程组，求出b的值即可；
（2）先求出直线y＝﹣2x+9与y轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k的值；
（3）根据两直线平行时其未知数的系数相等，列出方程，求出k的值即可；
（4）根据k＜0时，一次函数为减函数列出不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12的图象经过原点，
∴﹣3k2+12＝0，
∴，
∴k＝﹣2；
（2）∵直线y＝﹣2x+9求出此直线与y轴的交点坐标为（0，9），
∴﹣3k2+12＝9，
∴k＝1或k＝﹣1；
（3）∵一次函数的图象平行于y＝﹣2x的图象，
∴k﹣2＝﹣2，
∴k＝0；
（4）∵一次函数为减函数，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，题量较大，但难度适中．
20．（2021春•双鸭山期末）已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】正比例函数的性质；待定系数法求正比例函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP＝5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴3k＝﹣2解得k＝﹣，
∴正比例函数的解析式是y＝﹣x；
（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），
∴OP＝5，
∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．
21．（2021•上城区一模）定义运算“※”为：a※b＝
（1）计算：3※4；
（2）画出函数y＝2※x的图象．
【考点】正比例函数的图象．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据新运算法则得出3※4的值；
（2）分类讨论：当x≥0时和x＜0时，分别写出y与x的关系式，再画出图象．
【解答】解：（1）∵4≥0，
∴3※4＝3×4＝12；
（2）当x≥0时，y与x的关系式为y＝2x；
当x＜0时，y与x的关系式为y＝﹣2x；
列表如下：
描点、连线，如图所示．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是：（1）读清题意，掌握新运算法则；（2）分x≥0和x＜0找出y与x的关系式．
22．（2021春•兴隆县期末）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝ x ，当x＜3时y＝ 3 ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围： a＜0或a≥1或a＝ ．
【考点】一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，化简函数解析式即可．
（2）根据化简的解析式画出图象即可．
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）当x≥3时，y＝＝＝x；当x＜3时，y＝＝＝3；
故答案为x，3；
（2）根据（1）中的结果，画出函数y＝的图象如下：
（3）根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y＝ax+1与函数y＝只有一个交点；当a≥1时，直线y＝ax+1与函数y＝3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y＝x（x≥3）无交点；当a＝时，直线y＝x+1经过点（3，3）．
故若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a＝，
故答案为a＜0或a≥1或a＝．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，关键是能根据解析式画出图象．
考点卡片
1．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
2．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
4．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
5．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
6．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
7．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
8．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
9．待定系数法求正比例函数解析式
待定系数法求正比例函数的解析式．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
4
2
0
2
4
…