数学第四章 数列本章综合与测试教案及反思

这是一份数学第四章 数列本章综合与测试教案及反思，共19页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

1.系统掌握数列的有关概念和公式；
2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；
3.了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；
4.掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】
数列的通项
通项公式
等差中项
前n项和公式
等差数列
性质
通项公式
等比中项
前n项和公式
等比数列
性质
数列
数列前n项和
数列的递推公式
应
用
【要点梳理】
知识点一：等差数列
1. 判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：（常数）是等差数列；
②中项公式法：是等差数列；
③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；
④前项和公式法：（为常数）是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
2. 等差数列的通项公式及前项和
通项公式：
要点诠释：
= 1 \* GB3 ① 该公式可改写为：
当＝0时，是关于的常函数；当d≠0时，是关于的一次函数；点()分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
= 2 \* GB3 ②通项公式的推广：
前n项和公式：
要点诠释：
= 1 \* GB3 ① 该公式可改写为：
当＝0时，是关于的正比例函数；当d≠0时，是关于的二次函数（无常数项）．
= 2 \* GB3 ② 在应用时，注意相关性质的应用。
3. 等差数列有关性质
（1）若，则；
特别地，若，则；
（2）若成等差数列，则；
（3）公差为的等差数列中，连续项和，… 组成新的等差数列；
（4）等差数列，前项和为：
①当为奇数时，；；；
②当为偶数时，；；.
（5）等差数列，前项和为，则（）；
（6）等差数列中，若，则；
（7）等差数列中，公差，依次每项和：，，成等差数列，新公差.
3. 等差数列前项和的最值问题：
等差数列中
若＞0，＜0，有最大值，可由不等式组来确定；
若＜0，＞0，有最小值，可由不等式组来确定，也可由前项和公式来确定.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
知识点二 ：等比数列
1. 判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：（是不为0的常数，∈N*）是等比数列；
（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数∈N*）是等比数列；
（3）中项公式法：（，）是等比数列.
2. 等比数列的通项公式及前项和
通项公式：
要点诠释：
① 该公式可改写为：
时，是关于的指数型函数； 时，是常数函数；
② 推广：.
前项和公式：
要点诠释：
①在求等比数列前项和时，要注意区分和
②当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
3. 等比数列的主要性质：
（1）若，则；
特别，若，则；
（2）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列；
（3）公比为的等比数列中，连续项和，… 组成新的等比数列；
（4）等比数列，前项和为，当为偶数时，；
（5）等比数列中，公比为，依次每项和：，，…成公比为qk的等比数列；
（6）若为正项等比数列，则（＞0且≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（＞0且≠1）为等比数列；
（7）等比数列前项积为，则.
知识点三：常见的数列通项公式求法
1. 已知数列的前几项：
已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.
2. 已知等差数列或等比数列：
通过公式法求通项公式.
3. 已知数列的递推关系式：
= 1 \* GB3 ①形如，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式；
= 2 \* GB3 ②形如，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式.
= 3 \* GB3 ③形如，构造公比为的等比数列，利用公式法求解；
= 4 \* GB3 ④形如，通过累加法（迭加法）求数列的通项；
= 5 \* GB3 ⑤形如，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项.
= 6 \* GB3 ⑥形如，两边取倒数，构造公差为的等差数列，利用公式法求通项.
4. 已知，求：
利用与的关系，即，可求得数列的通项公式.
5. 已知，求：
利用作商法，即求数列的通项公式.
知识点四：常见的数列求和方法
1. 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前项和公式求和。
2. 分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：.
3. 裂项法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则，如an=
4. 错位相减法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差≠0等差数列，是公比≠1等比数列，如.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
知识点五、通项与前项和的关系：
任意数列的前项和；
要点诠释：
由前项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当≥2时的，
（3）如果令≥2时得出的中的=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
知识点六：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的基本步骤：
① 审题——认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：
明确问题属于哪类应用问题；
弄清题目中的主要已知事项；
明确所求的结论是什么.
②建模——将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列的结构和特征；
③求解——求出该问题的数学解；
④还原——将所求结果还原到实际问题中.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
【典型例题】
类型一：等差、等比数列概念及其性质
例1. 在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积.
【思路点拨】本题中，将看作已知量，运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学生的推理论证能力与运算求解能力，综合性较强，同学们应认真分析。
【答案】
【解析】
方法一：设插入的个数为，且公比为，则
∴，（）
方法二：设插入的个数为，，
，，
【变式1】已知两个等比数列，，满足，，
，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【变式2】已知等差数列，公差，中部分项组成的数列，，，…，，…恰为等比数列，且知,,.
（1）求；
（2）证明: .
【解析】依题意:，，.
∵，，为等比数列，
∴，解得.
∴等比数列的首项，公比，
∴
又在等差数列中是第项， ∴
∴（），
解得.
（2）

例2. 已知等差数列，, , 则（ ）
A.125 B.175 C.225 D.250
【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。难点在于项数不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。
【答案】C
【解析】
方法一：利用等差数列的性质
∵为等差数列，
∴,,成等差数列，即
∴，
解得,
∴选C.
方法二：特殊值法
令，由题意可得,,
∴，，
∴,
∴选C.
方法三：基本量法
,，
两式相减可得，
∴. ∴选C.
【变式】已知等比数列，, , 则（ ）
A.75 B.2880 C. D.63
【答案】D
例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可. 注意奇数项的首项为，公差为22；偶数项首项为，公差为.
【答案】 5
【解析】设等差数列首项为，公差为d，则
所以该数列的公差是5.
【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.
【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.
例4．等差数列中，,，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【思路点拨】等差数列的首项>0，公差必然是负数，这样前项和有最大值. 取得最大值时的项为数列中最后一个正数（或0），它处于正负相间的位置，满足
【答案】7，49
【解析】设公差为, 由题意得，得,
∴是首项为正数的递减数列，有最大值.
又,


所以为最大值，即=7×13+=49.
【变式】若数列是等差数列，数列满足，的前项和用表示，若中满足，试问多大时，取得最大值，证明你的结论.
【解析】∵，
∴，解得>0
∴，
故是首项为正的递减数列.
则有,即
解得：15≤≤16，∴=16，即>0，<0
即：
于是
而，
∴
又 <0，
∴
∴，故中最大.
例5. 设分别为等差数列，的前项和，满足，求.
【思路点拨】用好等差数列中 与的一个关系： 是解好本题的一个关键.
【答案】
【解析】
方法一：
方法二：设，
∴

∴.
【变式1】等差数列中，=50，，，求项数.
【答案】10
【变式2】在数列中，，
（1）设，证明是等比数列.
(2) 求数列的通项公式.
(3) 若是与的等差中项，求的值；并证明：对任意的，是与的等差中项.
【解析】（1）利用定义证明
（2）
（3）证明时，不合题意
时，
由是与的等差中项可求
又
即是与的等差中项.
类型二：与的关系式的综合运用
例6. 在数列中，是其前项和，若＝1，，则＝________.
【思路点拨】已知的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为的递推关系式，可知数列为等比数列.
【答案】
【解析】 由题意，
， ①
＝， ②
①–②得
＝，即＝，
当时，，当时，.
∴
【变式1】已知数列的前项和如下，分别求它们的通项公式.
（1）； （2）
【解析】
(1)当时,；
当时, ,
又时，，
∴
（2），则
当=1时, ==；
当≥2时, ==,
又=1时, ()0==, 满足上式.
∴.
【变式2】已知数列的前项和为，.
（1）求；
（2）求证：数列是等比数列.
【解析】
（1）由，得，
∴，
又，即，得.
（2）证明：当时，由题意，
，
得，又，
所以为首项为，公比为的等比数列.
例7. 数列的前项和为，若对于恒成立，求.
【思路点拨】已知的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为的递推关系式.
【答案】
【解析】由题意
①
②
①–②得
，即，
在①中，当时，
，
.
【变式1】在数列中，已知，前项和与通项满足，求这个数列的通项公式.
【解析】
因为从而由已知得到：即，
于是得到，就可以得到：.
【变式2】若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.
【解析】由韦达定理得，，
∴，得 ，
∴ 数列与均成等比数列，且公比都为，
由，，得,
∴,
(I)当为偶数时，令（）,
.
(II)当为奇数时，令（），


.
类型三：特殊数列的求和
例8. 求数列1，的前项和.
【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和. 本题含参数，注意讨论.
【解析】
（1）当时，
（2）当时，；
（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若为偶数，令（），则；
若为奇数，令（），则.
【变式1】求数列的前项和.
【答案】.
【变式2】求和：
【答案】a=0或b=0时，
当a=b时，；
当ab时，
类型四：求数列的通项公式
例9．写出数列：，，，，……的一个通项公式.
【思路点拨】观察该数列，各项是由三部分构成：符号、分子和分母. 不妨把它看成三个数列，分别求其通项.
【答案】通项公式为：.
【解析】从各项符号看，负正相间，可用符号表示；
数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用表示；
数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是,, ,,…可用表示；
所以该数列的通项公式可写为.
【变式1】数列：，，，，……的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.
【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：
（1）；
(2)；
【解析】
（1），
猜想得；
(2)a1=a,a2=,a3=,a4=，
猜想得an=；
例10．已知数列中，，，求.
【解析】
法一：设，解得
即原式化为
设，则数列为等比数列，且
∴
法二：∵ ①
②
由①－②得：
设，则数列为等比数列
∴
∴
∴
法三：，，，……，
，
∴
【变式1】 数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【变式2】在数列中，， =，求.
【答案】
类型五：应用题
例11．某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=占有量/耕地面积，人均粮食占有量=占有量/总人口数）
【思路点拨】本题名词较多，不宜理解。为方便计，同学们可列一表格，如下：
设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷.
【答案】4
【解析】
方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷，于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总人口为，人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷，则10年耕地共有()公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷.
由粮食单产10年后比现在增加得不等式：
化简可得
即，
∴(公顷)
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.
方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷，现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为，粮食单产吨/公顷，若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷，于是10年后粮食总产量为，人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式：
，（余与上同）.
【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.
（1）写出的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.
【解析】
（1）依题意，第一年森林木材存量为，
1年后该地区森林木材存量为：，
2年后该地区森林木材存量为：，
3年后该地区森林木材存量为：，
4年后该地区森林木材存量为：，
… …
年后该地区森林木材存量为：
（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，
即 ，
解得，即，
∴，
∴.
答：经过8年该地区就开始水土流失.类型
通项公式
等差数列
等比数列
总人口
人均粮食占有量
耕地面积
粮食单产
现在
10000
10年后