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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试教案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试教案设计，共19页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质.
2.掌握圆锥曲线的共同特征，32数学探索©掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用.
3.掌握求曲线方程的基本方法，了解求曲线方程的其他方法.
4.掌握坐标法在平面解析几何中的广泛应用，培养数形结合、化归的数学思想以及“应用数学”的意识；进一步体会运动变化和对立统一的观点。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1椭圆
要点注释：
（1）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
（2）当椭圆的离心率越接近1时，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近于00，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
要点注释：注意椭圆的定义中是差的绝对值，当不含绝对值时，动点的轨迹为双曲线的一支；而当时，动点的轨迹是两条射线；当时，则不表示任何图形.
3．抛物线
要点诠释：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
4.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点与它到一条定直线的距离之比为定值. 当时，圆锥曲线是椭圆；当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是抛物线.
要点诠释：比值就是是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线.
要点二：直线和圆锥曲线
直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
直线被圆锥曲线截得弦长：
若直线截圆锥曲线于弦AB，则弦长|AB|的求法主要有以下几种：
交点法：
将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(，)、(，)，则弦长公式为：
或．
要点诠释：
在抛物线中，当弦过焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法．
①若直线AB过抛物线的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)；(ii)(是直线AB的倾斜角)．
②若直线AB过抛物线(p＞0)的焦点，且点A、B在抛物线上，则有
(i)； (ii)( 是直线AB的倾斜角)．
要点三：圆锥曲线的应用
圆锥曲线的实际应用
解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化。要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答。
定点定值问题
解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决．
在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题．解决定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值．化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
最值（范围）问题
最值的求法有两种：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
（2）代数法：
①函数值域求解法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法、还原法及函数的单调性等．
③不等式（组）求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围．
要点四：曲线与方程
1.曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.
2.求方程的曲线的一般方法
(1)直接法；
(2)间接法；
(3)参数法．
3.求曲线方程的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。
4.求圆锥曲线方程的一般方法
①．定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
②．直接法
建系→设点→列式→化简→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
③．代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
④．参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
常见的参数法有：
（1）点参数
利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）
（2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
要点注释：
（1）求轨迹方程的一般思路：
①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；
②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；
③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；
④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
（2）求轨迹方程应注意的问题：
①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
②要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
【典型例题】
类型一：圆锥曲线的方程与性质
C
B
y
x
O
A
例1. 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
【解析】
如右图，以直线为轴，线段的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，，
即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.
【变式1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：，。
∴
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，
∴b2=12，
故所求轨迹方程为。
【变式2】设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点从Ｆ１引∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是 ．
【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，
据题意知：△AQF1为等腰三角形
所以QF1=QA
∵|QF1-QF2|=4
∴|QA-QF2|=4
即AF2=4
∵OP为△F1F2A的中位线
∴OP=2
故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，
方程为：x2+y2=4
例2．过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.
【解析】
AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A,B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数.
设AB的中点M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),
依题意，直线的斜率必须存，设为k, 又直线 过原点，
∴直线的方程为：y=kx,
将此式代入y=x2-2x+2
整理得：x2-(2+k)x +2=0
∴x1+x2=2+k,
∴
由消去k，得。
又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0,
∴(2+k)2-8>0, 解得或
∵,∴或
∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分。
【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程.
【答案】设A点在渐进线上, B点在渐近线上,
A(x1, y1), B(x2, y2),线段AB中点 M(x, y),
∵,
∴
由=30,得,
∴, 化简得.
【变式2】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O, 过点O作OM⊥AB, M为垂足, 求点M的轨迹方程.
【答案】设直线OA方程为, 代入得A点坐标为,
，∴,
同理可得B(),
∴直线AB方程为,
即: ①
直线OM方程为②
①②,得: ,
即为所求点M的轨迹方程.
【变式3】在圆x2+y2=4上，有一定点A（2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列），当B，C两点保持∠BAC=时，求△ABC的重心的轨迹。
【答案】 连OB，OC，∵∠BAC=，∴∠BOC=
设B（2csθ,2sinθ）(0<θ<),则C(2cs(θ+),2sin(θ+))
设重心G（x，y），则：
x=
y=
即： x=
y=
θ+
∴。（x<）
即
类型二：直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
例3．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。
【解析】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合违达定理进行求解。
当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。
则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x－2)。
代入双曲线方程，得
即。
设点，，
则当Δ>0时，，。
从而
。
∵，∴
∴，解得。
此时
∴，
故由焦点弦长公式，得：。
【变式1】设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
【答案】（1）由题设知
由于，则有，所以点A的坐标为，
故所在直线方程为，
所以坐标原点O到直线的距离为，
又，所以，解得，
所求椭圆的方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，
设，由于，∴，解得
又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或．
【变式2】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.直线与椭圆C交于两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 椭圆C的右焦点是否可以为的垂心？若可以,求出直线的方程；若不可以,请说明理由.
【答案】
（1）设C方程为，则b = 1.
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）假设存在直线,使得点是的垂心.易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是
解之得或.
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心
【变式3】如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足。
（1）求的值；
（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l过点E（2，0）交（2）中曲线C于M、N两点，且，求的方程.
【解析】（Ⅰ）由已知得
（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由得
∴ 消去m，n可得
，又因
∴ P点的轨迹方程为
它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支
（Ⅲ）设直线l的方程为，将其代入C的方程得
即
易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又
设，则
∵ l与C的两个交点在轴的右侧
∴ ，即
又由 同理可得
由得
∴
由得
由得
消去得
解之得： ，满足
故所求直线l存在，其方程为：或
类型三：求取值范围或最值：
例4、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
【解析】（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)
①
②
③
则
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴，
≥
当4x02+1=3 即 时，此时
解法二：如图，
∴， 即，
∴， 当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
【变式1】
(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
【答案】
（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，2）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
【变式2】 设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任一点，为圆的任意一条直径，求的最大值．
【答案】（1）由题设知:
由得:
解得，椭圆的方程为
（2）
从而将求的最大值转化为求的最大值
是椭圆上的任一点，设，则有
即 又，
当时，取最大值
∴的最大值为。
【变式3】已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
【答案】
（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F
由题设 解得
故所求椭圆的方程为.
（2）设P为弦MN的中点，由 得 .
由于直线与椭圆有两个交点， 即 ①
，从而，
又，则，
即 ② 把②代入①得 解得
又由②得 解得. 故所求m的取范围是。
标准方程
图形
定义
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹
性
质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
标准方程
定义
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹.
（）
图形
性质
范围
，
，
顶点
焦点
，
，
焦距
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
图形
定义
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质.
2.掌握圆锥曲线的共同特征，32数学探索©掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用.
3.掌握求曲线方程的基本方法，了解求曲线方程的其他方法.
4.掌握坐标法在平面解析几何中的广泛应用，培养数形结合、化归的数学思想以及“应用数学”的意识；进一步体会运动变化和对立统一的观点。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1椭圆
要点注释：
（1）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
（2）当椭圆的离心率越接近1时，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近于00，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
要点注释：注意椭圆的定义中是差的绝对值，当不含绝对值时，动点的轨迹为双曲线的一支；而当时，动点的轨迹是两条射线；当时，则不表示任何图形.
3．抛物线
要点诠释：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
4.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点与它到一条定直线的距离之比为定值. 当时，圆锥曲线是椭圆；当时，圆锥曲线是双曲线；当时，圆锥曲线是抛物线.
要点诠释：比值就是是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线.
要点二：直线和圆锥曲线
直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
直线被圆锥曲线截得弦长：
若直线截圆锥曲线于弦AB，则弦长|AB|的求法主要有以下几种：
交点法：
将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(，)、(，)，则弦长公式为：
或．
要点诠释：
在抛物线中，当弦过焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法．
①若直线AB过抛物线的焦点，且点A、B在抛物线上，则有(i)；(ii)(是直线AB的倾斜角)．
②若直线AB过抛物线(p＞0)的焦点，且点A、B在抛物线上，则有
(i)； (ii)( 是直线AB的倾斜角)．
要点三：圆锥曲线的应用
圆锥曲线的实际应用
解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化。要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答。
定点定值问题
解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决．
在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题．解决定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值．化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
最值（范围）问题
最值的求法有两种：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
（2）代数法：
①函数值域求解法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法、还原法及函数的单调性等．
③不等式（组）求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围．
要点四：曲线与方程
1.曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.
2.求方程的曲线的一般方法
(1)直接法；
(2)间接法；
(3)参数法．
3.求曲线方程的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。
4.求圆锥曲线方程的一般方法
①．定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
②．直接法
建系→设点→列式→化简→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
③．代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
④．参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
常见的参数法有：
（1）点参数
利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）
（2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
要点注释：
（1）求轨迹方程的一般思路：
①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；
②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；
③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；
④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
（2）求轨迹方程应注意的问题：
①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
②要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
【典型例题】
类型一：圆锥曲线的方程与性质
C
B
y
x
O
A
例1. 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
【解析】
如右图，以直线为轴，线段的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意，构成等差数列，，
即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.
【变式1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，
由两圆外切的条件可得：，。
∴
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，
∴b2=12，
故所求轨迹方程为。
【变式2】设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点从Ｆ１引∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是 ．
【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，
据题意知：△AQF1为等腰三角形
所以QF1=QA
∵|QF1-QF2|=4
∴|QA-QF2|=4
即AF2=4
∵OP为△F1F2A的中位线
∴OP=2
故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，
方程为：x2+y2=4
例2．过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.
【解析】
AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A,B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数.
设AB的中点M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),
依题意，直线的斜率必须存，设为k, 又直线 过原点，
∴直线的方程为：y=kx,
将此式代入y=x2-2x+2
整理得：x2-(2+k)x +2=0
∴x1+x2=2+k,
∴
由消去k，得。
又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0,
∴(2+k)2-8>0, 解得或
∵,∴或
∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分。
【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程.
【答案】设A点在渐进线上, B点在渐近线上,
A(x1, y1), B(x2, y2),线段AB中点 M(x, y),
∵,
∴
由=30,得,
∴, 化简得.
【变式2】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O, 过点O作OM⊥AB, M为垂足, 求点M的轨迹方程.
【答案】设直线OA方程为, 代入得A点坐标为,
，∴,
同理可得B(),
∴直线AB方程为,
即: ①
直线OM方程为②
①②,得: ,
即为所求点M的轨迹方程.
【变式3】在圆x2+y2=4上，有一定点A（2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列），当B，C两点保持∠BAC=时，求△ABC的重心的轨迹。
【答案】 连OB，OC，∵∠BAC=，∴∠BOC=
设B（2csθ,2sinθ）(0<θ<),则C(2cs(θ+),2sin(θ+))
设重心G（x，y），则：
x=
y=
即： x=
y=
θ+
∴。（x<）
即
类型二：直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
例3．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。
【解析】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合违达定理进行求解。
当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。
则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x－2)。
代入双曲线方程，得
即。
设点，，
则当Δ>0时，，。
从而
。
∵，∴
∴，解得。
此时
∴，
故由焦点弦长公式，得：。
【变式1】设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
【答案】（1）由题设知
由于，则有，所以点A的坐标为，
故所在直线方程为，
所以坐标原点O到直线的距离为，
又，所以，解得，
所求椭圆的方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，
设，由于，∴，解得
又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或．
【变式2】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于.直线与椭圆C交于两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 椭圆C的右焦点是否可以为的垂心？若可以,求出直线的方程；若不可以,请说明理由.
【答案】
（1）设C方程为，则b = 1.
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）假设存在直线,使得点是的垂心.易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是
解之得或.
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心
【变式3】如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足。
（1）求的值；
（2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l过点E（2，0）交（2）中曲线C于M、N两点，且，求的方程.
【解析】（Ⅰ）由已知得
（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由得
∴ 消去m，n可得
，又因
∴ P点的轨迹方程为
它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支
（Ⅲ）设直线l的方程为，将其代入C的方程得
即
易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）
又
设，则
∵ l与C的两个交点在轴的右侧
∴ ，即
又由 同理可得
由得
∴
由得
由得
消去得
解之得： ，满足
故所求直线l存在，其方程为：或
类型三：求取值范围或最值：
例4、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
【解析】（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)
①
②
③
则
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0
代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴，
≥
当4x02+1=3 即 时，此时
解法二：如图，
∴， 即，
∴， 当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
【变式1】
(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
【答案】
（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，2）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
【变式2】 设椭圆的右焦点为,直线与轴交于点,若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任一点，为圆的任意一条直径，求的最大值．
【答案】（1）由题设知:
由得:
解得，椭圆的方程为
（2）
从而将求的最大值转化为求的最大值
是椭圆上的任一点，设，则有
即 又，
当时，取最大值
∴的最大值为。
【变式3】已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
【答案】
（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F
由题设 解得
故所求椭圆的方程为.
（2）设P为弦MN的中点，由 得 .
由于直线与椭圆有两个交点， 即 ①
，从而，
又，则，
即 ② 把②代入①得 解得
又由②得 解得. 故所求m的取范围是。
标准方程
图形
定义
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹
性
质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
标准方程
定义
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹.
（）
图形
性质
范围
，
，
顶点
焦点
，
，
焦距
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
图形
定义
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
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