人教版 (2019)必修 第二册2 向心力学案设计

6.2 向心力  6.3向心加速度

【学习目标】

1. 理解向心力的概念及其表达式的含义.
2. 知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.

3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题．

【知识要点】

一、向心力

1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．

2．大小：F＝mω2r＝m.

3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．

二、向心加速度

1．定义：做匀速圆周运动的物体的加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度．

2．向心加速度的大小的表达式：a＝＝rω2＝r＝ωv.

3．向心加速度的作用：向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．

4．匀速圆周运动的性质：向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动．

【题型分类】

题型一、对向心力的理解

例1　关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是(　　)

A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力

B．因向心力指向圆心，且与线速度的方向垂直，所以它不能改变线速度的大小

C．它是物体所受的合力

D．向心力和向心加速度的方向都是不变的

解析　做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．

答案　BC

例2如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止．关于小强的受力，下列说法正确的是(　　)

A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用

B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零

C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力

D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心

解析　由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心．D错．

答案　C

【同类练习】

1．下列关于向心力的说法中正确的是(　　)

A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动

B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力

D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢

答案　CD

解析　向心力是一种效果力，实际上是由某种或某几种性质力提供，受力分析时不分析向心力，A、B错，C对．向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D对．

2．在马戏团表演的场地里，表演者骑在大象背上，大象绕着场地走动，若大象是沿着半径为R的圆周匀速走动，则关于大象和表演者的受力情况，下面说法正确的是(　　)

A．表演者骑在大象背上不动，他受到的力是平衡力

B．表演者的向心力是地面摩擦力通过大象作用于他的

C．大象和表演者所受向心力大小与两者的质量成正比

D．大象与表演者一起做匀速圆周运动的向心力是地面摩擦力提供的

答案　CD

题型二、对向心加速度的理解及计算

例3　如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S到转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2 时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别是多少？

解析　同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r可得：＝，则aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2.

又因为皮带和两轮之间无相对滑动，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ.

由向心加速度公式a＝可得：＝.

则aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2

答案　4 m/s2　24 m/s2

【同类练习】

如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　　)

A．A物体运动的线速度大小不变

B．A物体运动的角速度大小不变

C．B物体运动的角速度大小不变

D．B物体运动的角速度与半径成正比

答案　AC

解析　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝可知，A物体运动的线速度大小不变，故A对，B错；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C对，D错．

题型三、圆周运动的动力学问题

例4　如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析　对物块a受力分析知f＝mg，F向＝N＝mω2r，又由于f≤μN，所以解这三个方程得角速度ω至少为，D选项正确．

【例2】做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：

(1)线速度的大小；

(2)角速度的大小；

(3)周期的大小．

解析　(1)依据线速度的定义式v＝可得

v＝＝ m/s＝10 m/s.

(2)依据v＝ωr可得

ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s.

(3)T＝＝ s＝4π s.

答案　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s

【同类练习】

1.   如图所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．

答案　14 N

解析　小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力T提供(如图所示)，即T－mg＝

所以T＝mg＋＝(1×10＋) N＝14 N

小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.

【成果巩固训练】

1．以下关于向心力及其作用的说法中正确的是（　　）

A．向心力既改变圆周运动物体速度的方向，又改变速度的大小

B．在物体所受力中，只有指向圆心的力才是向心力

C．向心力是按照力的性质命名的

D．做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为物体的向心力

【答案】D

【解析】

A、向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，故A错误；

B、向心力是效果力，不是物体做圆周运动受到的力，匀速圆周运动的物体向心力由合力提供，故BC错误，D正确．

2．荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动。如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和一个最高点。若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　）

A．在经过A位置时，该同学处于失重状态

B．在B位置时，该同学受到的合力为零

C．由A到B过程中，该同学的机械能守恒

D．在A位置时，该同学对秋千踏板的压力大于秋千踏板对该同学的支持力

【答案】C

【解析】

A．在A位置时，该同学的加速度竖直向上，处于超重状态，A错误；

B．在B位置时，该同学的速度为零，向心力为零，即沿绳子方向的合力为零，其合力等于重力沿圆弧切向分力，不为零，B错误；

C．该同学由A到B的过程中，受到重力和拉力，拉力的方向始终与速度方向垂直，拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，C正确；

D．根据牛顿第三定律知，在A位置时，该同学对秋千踏板的压力等于秋千踏板对该同学的支持力，D错误。

故选C。

3．如图所示,把一个小球放在玻璃漏斗中,见动漏斗,可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动.（   ）

A．小球所受合外力沿水平方向

B．小球做匀速圆周运动的轨道平面越接近漏斗口,小球所受合外力越大

C．小球做匀速圆周运动的轨道平面越接近漏斗口,小球所受合外力越小

D．小球做匀速圆周运动的轨道平面越接近漏斗口,小球做圆周运动的线速度越小

【答案】A

【解析】

小球做匀速圆周运动受重力和支持力两个力作用，两个力的合力提供向心力，方向沿水平方向，故A正确．

由受力图可知，小球受到的合外力为F合=mgtanθ，则小球做匀速圆周运动的轨道平面越接近漏斗口，小球所受合外力不变，选项BC错误；根据牛顿第二定律得：mgtanθ=m，解得v=，小球做匀速圆周运动的轨道平面越接近漏斗口，轨道半径越大，则线速度越大，故D错误；故选A．

4．如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔,用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1 ,m2;的小球A和B.让两小球同时做圆周运动,B球绕O点做圆锥摆运动，悬线与竖直方向的夹角为,A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心O做匀速圆周运动，两球做圆周运动的角速度相同,OA ,OB的绳长相等，则两球的质量之比为

A．1：1 B．1： C．1： D．1：

【答案】A

【解析】

对A球，绳子的拉力提供向心力，所以有

对B球，绳子的拉力的分力提供向心力，即

联立解得：

A.1：1与分析相符，故A项正确；

B.1：与分析不符，故B项错误；

C.1：与分析不符，故C项错误；

D.1：与分析不符，故D项错误。

5．如图所示，摩擦轮A和B固定在一起通过中介轮C进行传动，A为主动轮，A的半径为20cm，B的半径为10cm，A、B两轮边缘上的向心加速度之比(   )

A．1∶1   B．1∶2

C．2∶1   D．2∶3

【答案】B

【解析】

AB线速度相等，由向心加速度可知，加速度之比为1:2

6．一竖直倒立的圆锥筒，筒侧壁倾斜角度α不变．一小球在的内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁的摩擦可忽略，小球距离地面的高度为H，则下列说法中正确的是（  ）

A．H越小，小球对侧壁的压力越大

B．H越大，小球做圆周运动的线速度越大

C．H越小，小球做圆周运动的向心力越小

D．H越大，小球做圆周运动的周期越小

【答案】B

A．对小球受力分析：

竖直方向上合力为0：

解得：，可知侧壁对小球的支持力不变，根据牛顿第三定律可知小球对侧壁的压力不变，A错误；

B．根据牛顿第二定律：

变形得：

越大，越大，根据方程可知小球线速度越大，动能越大，B正确；

C．小球所受向心力恒为不变，C错误；

D．根据牛顿第二定律：

解得：，越大，越大，根据方程可知周期越大，D错误。

故选B。

7．在粗糙水平桌面上，长为l=0.2m的细绳一端系一质量为m=2kg的小球，手握住细绳另一端O点在水平面上做匀速圆周运动，小球也随手的运动做匀速圆周运动。细绳始终与桌面保持水平，O点做圆周运动的半径为r=0.15m，小球与桌面的动摩擦因数为，。当细绳与O点做圆周运动的轨迹相切时，则下列说法正确的是（　　）

A．小球做圆周运动的向心力大小为6N

B．O点做圆周运动的角速度为

C．小球做圆周运动的线速度为2

D．小球做圆周运动的轨道半径为m

【答案】B

【解析】

AD．小球做圆周运动的半径如图

根据几何关系有

则有

解得

正交分解

两式相比解得

故AD错误；

B．小球和点转动的角速度相同，根据

可知

故B正确；

C．小球做圆周运动的线速度

故C错误。

故选B。

8．一物体沿半径为的圆形轨道在水平面内做匀速圆周运动，线速度为，在点运动方向为正北，经周期运动至点，在点运动方向为正东，如图所示，求：

（1）物体从到过程通过的路程和位移．

（2）物体运动的角速度和向心加速度的大小．

【答案】（1）从A到B的路程为：  ，位移为：，方向由A指向B ；

（2）物体运动的角速度和向心加速度的大小分别为， ．

【解析】

（1）物体从A到B的过程中路程为：

物体从A到B的过程中位移大小为：

方向由A指向B．

（2）角速度为：

向心加速度为：

答案：（1）  ，方向由A指向B.（2）物体运动的角速度，向心加速度的大小．

9．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m。弹射装置将一个质量为0.1kg的小球（可视为质点）以v0=3m/s的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度h=0.8m，不计空气阻力，g取，求：

(1)小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小及圆管在水平方向上对小球的作用力大小；

(2)小球落到地面D点时的速度大小。

【答案】(1)，，；(2)

【解析】

(1)小球在半圆形管内做匀速圆周运动时，角速度

向心加速度大小为

根据牛顿第二定律得，圆管对小球的水平作用力大小

(2)对于平抛运动过程，根据动能定理得

解得

10．如图所示，圆形玻璃平板半径为r，一质量为m的小木块放置在玻璃板的边缘，随玻璃板一起绕圆心O在水平面内做匀速圆周运动．玻璃板转动的周期为T.求：

（1）木块的角速度大小；

（2）木块的线速度大小；

（3）木块所受摩擦力的大小．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1)根据匀速圆周运动的规律可得木块的角速度大小为

(2)木块的线速度大小为

(3)木块所受摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，有