北师大版必修42.3两角和与差的正切函数课文课件ppt

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1.两角和与差的正切公式
【说明】(1)必须在定义域范围使用该公式,即tan α,tan β,tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式.如:已知tan α=2,求tan ,不能用该公式.(2)注意公式的结构,尤其是符号.
【思考】两角和与差的正切公式结构有什么特征?符号有什么规律?提示:(1)公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和.(2) 　 符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.
2.两角和与差的正切公式的变形(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).(2)1±tan αtan β=
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)tan αtan β,tan(α+β),tan α+tan β三者知二,可表示或求出第三个.(　　)(2)tan 能用公式tan(α+β)展开.(　　)(3)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　)(4)公式Tα±β对任意α,β都成立.(　　)提示:(1) √.(2)×.(3) √.存在α= ,β=- .此时,tan(α+β)=tan α+tan β=0.(4) ×.
2.已知 则tan 2β=(　　)【解析】选C.因为2β= 所以tan 2β=
3.(教材二次开发:例题改编)设α,β∈ ,且 则α-β的值为(　　) 【解析】选B.由题意,可得tan(α-β)= 又由α,β∈ ,所以α-β∈ ,所以α-β= .
类型一　正切和差公式的直接应用(数学运算)【题组训练】1.(2020·温州高一检测)已知 那么tan =(　　) 2.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于(　　)A.2B.-2C.4D.-4
3.若tan α= ,tan(α+β)= ,则tan β=(　　)A. B. C. D.
【解析】1.选C.因为 所以 2.选A.由已知得tan A+tan B=- ,tan Atan B=- ,所以tan C=-tan(A+B)= 3.选A.tan β=tan[(α+β)-α]
【解题策略】1.直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是熟记公式,特别是Tα±β中的符号规律是“分子同、分母反”.2.对于不能直接套用公式的情况,要根据已知与未知进行变形使之联系起来,有时还要借助角的变换技巧.
3.公式Tα±β的逆用及变形应用解题策略(1)“1”的代换:在Tα±β中,如果分子中出现“1”,常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的.(2)整体意识:若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.
类型二　两角和与差的正切公式的逆用与变形用(逻辑推理)【典例】求值:(1) (2)tan 70°-tan 10°- tan 70°tan 10°.
【解题策略】(1)由两角和与差的正切公式可知,tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,因此要特别注意公式的正用,逆用和变形使用.(2)在逆用公式的过程中要特别注意特殊值的代换,例如:1=tan 45°, =tan 60°, =tan 30°等,通过代换,构造两角和与差的正切公式的形式,从而逆用公式.
【跟踪训练】tan 112°+tan 23°-tan 112°tan 23°=(　　)A.1B.-1C. D.- 【解析】选B.因为tan135°=tan 即tan112°+tan23°=tan112°·tan23°-1,所以tan112°+tan23°-tan112°·tan23°=tan112°·tan23°-1-tan112°·tan23°=-1.
类型三　两角和与差的正切公式的综合应用(逻辑推理)　角度1　给值求角 【典例】已知tan(α+β)=7,tan α= ,且β∈(0,π),则β的值为_______. 【解析】因为tan(α+β)= ,将tan(α+β)=7,tan α= 代入上式得:7= ,解得tan β=1.因为β∈(0,π),所以β= .答案:
【变式探究】已知α∈ ,β∈(0,π),且tan(α-β)= ,tan β=- .求2α-β的值.【解析】因为tan(α-β)= ,tan β=- .所以tan α=tan [(α-β)+β] 所以tan(2α-β)=tan [(α-β)+α]
因为0<α< ,又0<β<π,tan β=- >-1.所以 <β<π,所以-π<-β<- ,所以-π<α-β<- ,所以-π<2α-β<- ,所以2α-β=- .
　角度2　两角和与差的正切公式在三角形中的应用 【典例】在△ABC中,tan B+tan C+ tan Btan C= ,且 tan A+ tan B+1=tan Atan B,判断△ABC的形状.【思路导引】分别求tan A和tan C的值,从而可得∠A,∠B,∠C的度数,即可判断三角形的形状.
【解析】tan A=tan [π-(B+C)]=-tan(B+C)= =- ,又0【解题策略】1.利用公式Tα±β求角的步骤(1)求值:根据题设条件求角的某一三角函数值.(2)讨论角的范围:必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围.(3)求角:借助角的范围及角的三角函数值求角.2.在三角形中要注意应用A+B+C=π这一隐含条件.
【题组训练】1.若锐角α,β使α+2β= , 同时成立,则α+β的值为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　　 【解析】选B.因为α+2β= ,所以 所以 即 所以tan ,tan β是x2- =0的两个根,解得 又α,β均为锐角,所以 故α+β= .
2.(2020·潍坊高一检测)已知△ABC中, tan Atan B-tan A-tan B= ,则C的大小为________. 【解析】依题意 即tan(A+B)=- ,又03.(2020·长沙高一检测)已知α,β为锐角,且(1- tan α)(1- tan β)=4,则α+β=________. 【解析】将 =4展开得 即 由于α,β为锐角,0<α+β<π,故α+β= .答案:
1.已知α∈ ,sin α=- ,则tan =(　　)A.-7B.- C. D.7【解析】选B.因为α∈ ,sin α=- ,所以cs α= ,所以tan α=- ,故
2.已知α∈(0,π),α≠ ,sin α+2cs α=2,则tan =(　　)A.- B. C.-7D.7【解析】选C.因为sin α+2cs α=2,所以(sin α+2cs α)2=4,即sin2α+4sin αcs α+4cs2α=4sin2α+4cs2α,3sin2α=4sin αcs α,因为α∈(0,π),α≠ ,所以sin α≠0,所以3sin α=4cs α,tan α= ,所以
3.(教材二次开发:练习改编) =________. 【解析】原式= 答案:-1
4.(2020·北京高一检测)若tan α-3=0,2tan β-1=0,则tan(α+β) =________. 【解析】由tan α-3=0,2tan β-1=0,得tan α=3,tan β= ,所以tan(α+β)= =-7.答案:-7