北师大版第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

*2.5 一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题；

2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想；

3、通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.

二、教学重难点

重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用.

难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

三、 教学方法：

小组探究、讲练结合法

四、教学过程

（一）、新课导入

同学们，前面我们学了一元二次方程的几种解法，今现在让我们一起回答下面几个问题吧

1、一元二次方程有几种解法？每种解法的过程是什么？注意事项又是什么呢？

2、一元二次方程的求根公式是什么？

x= （b2－4ac≥0）

3、如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？

（二）、新课讲授

知识点一：探索一元二次方程的根与系数的关系

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢?今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味。

想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？

算一算 解下列方程并完成填空：（1） x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0.

如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.

猜想证明：

（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？

证明：由题意可得

(x-x1)(x-x2)=0.

∴x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，

∵x2+px+q=0，

∴x1+x2= -p , x1 ·x2=q.

重要发现

如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.

猜想：2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？

证明

归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）

如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么

满足上述关系的前提条件是：b2-4ac≥0

知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用     

（三）例题讲解

例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

        （1）x2 + 7x + 6 = 0;          （2）2x2 - 3x - 2 = 0（同学们自主完成）.

解：（1）这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.

       Δ =  b2  - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.

        ∴方程有两个实数根.

         设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么

                      x1 + x2 = -7 ,  x1 x2 = 6.

例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：把x=2代入原方程得：

5×4＋2k-6=0

∴k=-7

设方程的另一根为n,由根与系数关系知：

2n=

∴n=

例3  不解方程，利用方程2x2+3x-1=0的两根的关系求下列代数式的值。

（1)   x12 + x22                  （2）

解由题意可得：x1+x2=    x1x2=

(1)   

(2)

常见求值公式总结：

（四）课堂练习

1.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:

（1）x1+x2=           , (2)x1·x2=             ,

 (3)            ,

 2.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.

3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p =           , q=          .

4.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；

  （1）求k的值；  （2）求(x1-x2)2的值.

6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.

（五）课堂小结

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；

2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.

（六）作业布置

完成本课时课后跟踪练习

五、板书设计