2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解一元二次方程

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解一元二次方程，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021秋•绥德县期末）用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（ ）
A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1
2．（2021秋•晋安区期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
3．（2021秋•马山县期中）方程3x2+27＝0的解是（ ）
A．x＝±3B．x＝﹣3C．无实数根D．以上都不对
4．（2021秋•合浦县期中）方程（1﹣3x）2＝4x2的根为（ ）
A．x1＝1，x2＝5B．x1＝，x2＝2C．x1＝，x2＝1D．x1＝x2＝
5．（2021秋•丰润区期中）对一元二次方程x2﹣ax＝3进行配方时，两边同时加上（ ）
A．B．C．D．a2
6．（2021秋•惠民县期末）若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（ ）
A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x﹣3）2＝9D．（x+3）2＝5
7．（2021秋•太仓市期末）下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2+2x+2＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2﹣3x+1＝0D．x2+3x+4＝0
8．（2021春•莒县期末）如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．aB．a且a≠0C．aD．a且a≠0
9．（2021•武侯区一模）方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（ ）
A．1，﹣2B．3，﹣2C．0，﹣2D．1
10．（2007•云南）一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x1＝0，x2＝3C．x1＝0，x2＝D．x＝
二、填空题（共4小题）
11．（2021秋•建邺区期中）用配方法解方程x2+10x﹣7＝0，则方程可变形为（x+5）2＝ ．
12．（2021秋•高邮市期中）三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是 ．
13．（2021秋•济南期末）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
14．（2021•平阳县模拟）方程（x﹣1）2＝9的解是 ．
三、解答题（共7小题）
15．（2021•扬州一模）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
16．（2021秋•江宁区期中）请用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
17．（2021秋•黄埔区期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣1）+x﹣1＝0．
18．（2021秋•大田县期中）对于实数p，q，我们用符号max{p，q}引表示p，q两数中较大的数，如：max{1，2}＝2，
（1）请直接写出；max{}＝ ；
（2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决下面问题：若max{（x﹣1）2，x2}＝4，其中x＜，求x的值．
19．（2021秋•滨湖区期中）解方程
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）2x2+3x﹣4＝0．
20．（2021•东城区二模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．
21．（2021•凉山州二模）解方程：
（1）x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）x2﹣x﹣1＝0；
（4）x2+2x﹣1＝0．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021秋•绥德县期末）用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（ ）
A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1
【考点】一元二次方程的一般形式；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】B
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．
【解答】解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0．其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．
2．（2021秋•晋安区期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
3．（2021秋•马山县期中）方程3x2+27＝0的解是（ ）
A．x＝±3B．x＝﹣3C．无实数根D．以上都不对
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【答案】C
【分析】首先把27移到方程右边，再两边同时除以3可得x2＝﹣9，根据偶次幂具有非负性可得答案．
【解答】解：3x2+27＝0，
3x2＝﹣27，
x2＝﹣9，
∵x2具有非负性，
∴无实数根，
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
4．（2021秋•合浦县期中）方程（1﹣3x）2＝4x2的根为（ ）
A．x1＝1，x2＝5B．x1＝，x2＝2C．x1＝，x2＝1D．x1＝x2＝
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（1﹣3x）2＝4x2，
∴1﹣3x＝2x或1﹣3x＝﹣2x，
解得x1＝，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（2021秋•丰润区期中）对一元二次方程x2﹣ax＝3进行配方时，两边同时加上（ ）
A．B．C．D．a2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】B
【分析】方程两边都加上（）2即可．
【解答】解：x2﹣ax＝3，
x2﹣ax+（）2＝3+（）2，
（x﹣）2＝，
故选：B．
【点评】题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6．（2021秋•惠民县期末）若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（ ）
A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x﹣3）2＝9D．（x+3）2＝5
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】方程与不等式．
【答案】B
【分析】根据配方法可以将题目中的方程变形，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0
x2﹣6x＝4
x2﹣6x+9＝13
（x﹣3）2＝13，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．
7．（2021秋•太仓市期末）下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2+2x+2＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2﹣3x+1＝0D．x2+3x+4＝0
【考点】根的判别式．
【答案】C
【分析】由选项中的方程即可得根的判别式的符号，根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1×2＝﹣6＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
C、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；
D、Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
8．（2021春•莒县期末）如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．aB．a且a≠0C．aD．a且a≠0
【考点】根的判别式．
【答案】A
【分析】分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑：当a＝0时，一元一次方程x﹣1＝0有实数根；当a≠0时，根据根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，
解得：x＝1；
当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，
解得：a≥﹣且a≠0．
综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是分a＝0与a≠0两种情况考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分方程为一元一次方程与一元二次方程两种情况考虑根的情况是关键．
9．（2021•武侯区一模）方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（ ）
A．1，﹣2B．3，﹣2C．0，﹣2D．1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】因为方程两边都有x+2，所以运用分解因式法求解即可．
【解答】解：原方程变形为：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2．故选B．
【点评】方程整理后，容易分解因式的，用分解因式法求解一元二次方程简单．
10．（2007•云南）一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x1＝0，x2＝3C．x1＝0，x2＝D．x＝
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】本题可对方程提取公因式x，得到（ ）（ ）＝0的形式，则这两个相乘的数至少有一个为0，由此可以解出x的值．
【解答】解：∵3x2﹣x＝0
即x（3x﹣1）＝0
解得：x1＝0，x2＝．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．
二、填空题（共4小题）
11．（2021秋•建邺区期中）用配方法解方程x2+10x﹣7＝0，则方程可变形为（x+5）2＝ 32 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】配方法．
【答案】见试题解答内容
【分析】先变形得到x2+10x＝7，然后把方程两边加上25即可．
【解答】解：x2+10x＝7，
x2+10x+25＝7+25，
（x+5）2＝32．
故答案为32．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
12．（2021秋•高邮市期中）三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是 6 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解方程求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x1＝4，x2＝2，
①当三角形的三边为3，4，5时，符合三角形三边关系定理，
∵32+42＝52，
∴此时三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积为＝6；
②当三角形的三边为3，2，5时，不符合三角形三边关系定理，此时三角形不存在；
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
13．（2021秋•济南期末）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
14．（2021•平阳县模拟）方程（x﹣1）2＝9的解是 x＝﹣2或x＝4 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【答案】见试题解答内容
【分析】两边直接开平方得：x﹣1＝±3，再解一元一次方程即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝9，
两边直接开平方得：x﹣1＝±3，
则x﹣1＝3，x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：x＝4或﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
三、解答题（共7小题）
15．（2021•扬州一模）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
【考点】无理数；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用根与系数的关系得到Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）＝﹣8m+16＞0，然后解不等式即可；
（2）先利用m的范围得到m＝0或m＝1，再分别求出m＝0和m＝1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）＝﹣8m+16．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．
即﹣8m+16＞0．
解得 m＜2；
（2）∵m＜2，且m为非负整数，
∴m＝0或m＝1，
当m＝0时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0，
解得 x1＝3，x2＝﹣1，不符合题意舍去，
当m＝1时，原方程为x2﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝﹣，
综上所述，m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．（2021秋•江宁区期中）请用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法得到（x+）2＝，若b2﹣4ac＜0，方程没有实数解；若b2﹣4ac≥0则利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
当b2﹣4ac＜0，方程没有实数解；
当b2﹣4ac≥0，x+＝±，所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
17．（2021秋•黄埔区期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x（x﹣1）+x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用因式分解法得到x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法得到x﹣1＝0或2x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）（x﹣1）（2x+1）＝0，
x﹣1＝0或2x+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（2021秋•大田县期中）对于实数p，q，我们用符号max{p，q}引表示p，q两数中较大的数，如：max{1，2}＝2，
（1）请直接写出；max{}＝ ﹣ ；
（2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决下面问题：若max{（x﹣1）2，x2}＝4，其中x＜，求x的值．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）比较大小得出﹣＞﹣，根据定义即可得；
（2）根据定义列出关于x的方程求解可得．
【解答】解：（1）max{}＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
∴（x﹣1）2＝4，
解得：x＝﹣1；
故x的值为﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握新定义及实数的大小比较．
19．（2021秋•滨湖区期中）解方程
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）2x2+3x﹣4＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝±3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）2x2+3x﹣4＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣4，b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
20．（2021•东城区二模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）先确定k的最大整数值得到方程8x2﹣6x+1＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，
解得k＜9且k≠0；
（2）k的最大整数为8，此时方程化为8x2﹣6x+1＝0，
（2x﹣1）（4x﹣1）＝0，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
21．（2021•凉山州二模）解方程：
（1）x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）x2﹣x﹣1＝0；
（4）x2+2x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过提取公因式（x﹣2）对等式的左边进行因式分解；
（2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；
（3）利用求根公式解方程；
（4）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解．
【解答】解：（1）由原方程，得
（x+3）（x﹣2）＝0，
则x+3＝0或x﹣2＝0，
解得 x1＝﹣3，x2＝2；
（2）由原方程，得
（x+1）（x﹣3）＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝3；
（3）∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴x＝＝，
解得 x1＝，x2＝；

（4）由原方程，得
x2+2x＝1，
配方，得
x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
开方，得
x+1＝±，
解得 x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
10．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．