2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之解一元二次方程

这是一份2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之解一元二次方程，共12页。试卷主要包含了用公式法解一元二次方程，得等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•泰兴市期末）方程x2＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝±1C．x＝﹣1D．x＝
2．（2021春•河西区期末）方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝0C．x1＝x2＝2D．x1＝x2＝﹣2
3．（2021•永康市模拟）方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9D．（x+2）2＝9
4．（2021秋•镇原县期末）方程x（x+5）＝0的根是（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝0，x2＝5D．x1＝0，x2＝﹣5
5．（2021春•龙口市期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（ ）
A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•包河区期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为 ．
7．（2021•淄川区二模）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 ．
8．（2021•武威二模）已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是 ．
9．（2021•新兴县一模）方程x2﹣4＝0的解是 ．
10．（2021春•鄞州区期中）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，则方程可配方为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•青浦区期中）解关于x的方程：bx2＝x2+1（b≠1）．
12．（2021秋•长春期末）解方程：x2﹣8x﹣1＝0．
13．（2021春•招远市期中）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
14．（2021春•天津期中）求满足条件的x的值．
（1）3x2﹣1＝26；
（2）2（x﹣1）2＝．
15．（2021秋•北海期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•泰兴市期末）方程x2＝1的解是（ ）
A．x＝1B．x＝±1C．x＝﹣1D．x＝
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】计算题．
【分析】此问题相当于求1的平方根．
【解答】解：开方得，x＝±1．
故选：B．
【点评】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，
基本形式有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．
2．（2021春•河西区期末）方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣2B．x＝0C．x1＝x2＝2D．x1＝x2＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣4＝0，
变形得：x2＝4，
开方得：x1＝﹣2，x2＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．．
3．（2021•永康市模拟）方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9D．（x+2）2＝9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝5
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝5+4
配方得（x﹣2）2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2021秋•镇原县期末）方程x（x+5）＝0的根是（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝0，x2＝5D．x1＝0，x2＝﹣5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】原方程可转化为x＝0或x+5＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：x＝0或x+5＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
5．（2021春•龙口市期中）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（ ）
A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】方程与不等式．
【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.2＜＜2.4，依此即可求出一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围．
【解答】解：x2﹣x＝1.1，
x2﹣x﹣1.1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，
x＝，
x1＝，x2＝，
∵2.2＜＜2.4，
∴3.2＜1+＜3.4，
∴1.6＜＜1.7，
即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．
故选：B．
【点评】考查了解一元二次方程﹣公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•包河区期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】新定义．
【分析】先根据新定义得到（x+1）2﹣32＝0，再移项得（x+1）2＝9，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：∵（x+1）*3＝0，
∴（x+1）2﹣32＝0，
∴（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为x1＝2，x2＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
7．（2021•淄川区二模）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 3x2+5x+1＝0 ．
【考点】一元二次方程的定义；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2021•武威二模）已知一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的一个根，则该三角形的周长是 12 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：解方程x2﹣6x+5＝0得：
x1＝1，x2＝5，
∵1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5．
∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程和三角形的三边关系，要注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．（2021•新兴县一模）方程x2﹣4＝0的解是 ±2 ．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
10．（2021春•鄞州区期中）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，则方程可配方为 （x﹣3）2＝8 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故答案为：（x﹣3）2＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•青浦区期中）解关于x的方程：bx2＝x2+1（b≠1）．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：bx2﹣x2＝1，
（b﹣1）x2＝1，
∵b≠1，
∴x2＝，
当b＞1时，x＝±；
当b＜1时，方程无实数根．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．（2021秋•长春期末）解方程：x2﹣8x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】移项，方程两边都加上16，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0，
x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝1+16，
（x﹣4）2＝17，
x﹣4＝±
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
13．（2021春•招远市期中）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）方程配方后，开方即可求出解；
（2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
则x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x＝＝，
即x1＝1，x2＝﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法与公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
14．（2021春•天津期中）求满足条件的x的值．
（1）3x2﹣1＝26；
（2）2（x﹣1）2＝．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵3x2﹣1＝26，
∴3x2＝27，
则x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）∵2（x﹣1）2＝，
∴（x﹣1）2＝，
则x﹣1＝±，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．（2021秋•北海期末）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
考点卡片
1．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
3．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
x
1.1
1.2
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x2﹣x
0.11
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