2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之抛物线与x轴的交点

这是一份2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之抛物线与x轴的交点，共20页。试卷主要包含了，则B的坐标是　 　等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•科左中旗期末）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k≥﹣1且k≠0
2．（2021•南海区模拟）若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≤1且k≠0C．k＜﹣1D．k≥﹣1且k≠0
3．（2021秋•合肥期末）已知二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．C．m＞﹣且m≠0D．m≤且m≠0
4．（2021•永德县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
5．（2021•石家庄模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27B．9C．﹣7D．﹣16
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•平谷区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 ．
7．（2021•龙岩模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是 ．
8．（2021•漳平市模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是 ， ．
9．（2021秋•绥棱县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
10．（2021•铁岭模拟）已知抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•定远县期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
12．（2021•温州模拟）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2021•柯桥区模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
14．（2021秋•东丽区期末）已知：抛物线y1＝x2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（m，0）．将y1向右平移4个单位得到y2．
（1）求b的值；
（2）求抛物线y2的表达式；
（3）抛物线y2与y轴交于点D，与x轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y＝kx+k﹣1与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．
15．（2021秋•金凤区校级期末）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之抛物线与x轴的交点
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•科左中旗期末）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k≥﹣1且k≠0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】判别式法；二次函数的应用．
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，
∴，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题拷出来抛物线与x轴的交点，牢记“Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
2．（2021•南海区模拟）若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≤1且k≠0C．k＜﹣1D．k≥﹣1且k≠0
【考点】二次函数的定义；抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数的定义得到k≠0；根据一元二次方程kx2﹣2x﹣l＝0的根的判别式的符号列出不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣l与x轴有交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的定义．注意二次函数解析式与一元二次方程间的关系．
3．（2021秋•合肥期末）已知二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜B．C．m＞﹣且m≠0D．m≤且m≠0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，可得△＝（2m+1）2﹣4m×（m﹣1）＞0且m≠0．
【解答】解：∵原函数是二次函数，
∴m≠0
∵二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则
Δ＝b2﹣4ac＞0，
即（2m+1）2﹣4m×（m﹣1）＞0，
4m2+4m+1﹣4m2+4m＞0，
8m+1＞0．
∴m＞﹣．
故选：C．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
4．（2021•永德县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题．
【解答】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），
∴y＜0时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞5．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
5．（2021•石家庄模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27B．9C．﹣7D．﹣16
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝3，则根据抛物线的对称性得到x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），最后把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m，得4+12+m＝0，
解得m＝﹣16．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•平谷区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 （﹣2，0） ．
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．
7．（2021•龙岩模拟）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是 x1＝﹣3，x2＝1 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），根据中点坐标公式即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则＝﹣1，解得x＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系是解答此题的关键．
8．（2021•漳平市模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的解是 x1＝﹣1 ， x2＝5 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝5．
【点评】考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．
9．（2021秋•绥棱县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键．
10．（2021•铁岭模拟）已知抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是 （5，0） ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求出点B的坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴抛物线的对称轴方程为x＝2，
∵点A（﹣1，0）和点B关于对称轴x＝2对称，
∴点B的坐标为（5，0），
故答案为（5，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程，此题难度不大．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•定远县期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】（1）通过解方程mx2﹣4m＝0可得A、B点的坐标；
（2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．
【解答】解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（2，0）；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12．（2021•温州模拟）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，可以先求的点A和点B的坐标，然后即可求得该抛物线的解析式；
（2）先判断是否存在点M，然后根据题意和图形即可得到点M的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∵直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴，得，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（1，4），
∵△ACM与△ABC的面积相等，点B的坐标为（0，3），
∴点M的纵坐标是3或﹣3，
当点M的纵坐标为3时，3＝﹣x2+2x+3，得x1＝0，x2＝2，
则点M的坐标为（2，3）；
当点M的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x2+2x+3，得x3＝+1，x4＝﹣+1，
则点M的坐标为（+1，﹣3）或（﹣+1，﹣3）；
由上可得，点M的坐标为（2，3）、（+1，﹣3）或（﹣+1，﹣3）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．（2021•柯桥区模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c转化方程组解决即可．
（2）求出点C坐标，根据S△ACB＝•AC•BO计算即可．
【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）的坐标代入y＝﹣x2+bx+c
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6．
（2）∵抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝4，
∴C（4，0），
∵A（2，0）、B（0，﹣6），
∴AC＝2，BO＝6，
∴S△ACB＝•AC•BO＝×2×6＝6．
【点评】本题考查考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，记住抛物线的对称轴公式，属于中考常考题型．
14．（2021秋•东丽区期末）已知：抛物线y1＝x2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（m，0）．将y1向右平移4个单位得到y2．
（1）求b的值；
（2）求抛物线y2的表达式；
（3）抛物线y2与y轴交于点D，与x轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y＝kx+k﹣1与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）把A（﹣3，0）代入y1＝x2+bx+3求出b的值即可；
（2）将y1变形化成顶点式得：y1＝（x+2）2﹣1，由平移的规律即可得出结果；
（3）求出抛物线y2的对称轴和顶点坐标，求出与坐标轴的交点坐标E（1，0），F（3，0），D（0，3），由题意得出直线y＝kx+k﹣1过定点（﹣1，﹣1）得出当直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点时，t＝﹣1，求出当直线y＝kx+k﹣1过F（3，0）时和直线过D（0，3）时k的值，分别得出直线的解析式，得出t的值，再结合图象即可得出结果．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）代入y1＝x2+bx+3得：9﹣3b+3＝0，
解得：b＝4，
∴y1的表达式为：y＝x2+4x+3；
（2）将y1变形得：y1＝（x+2）2﹣1
据题意y2＝（x+2﹣4）2﹣1＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
∴抛物线y2的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（3）∵y2＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴是直线x＝2，顶点为（2，﹣1）；
当y2＝0时，x＝1或x＝3，
∴E（1，0），F（3，0），D（0，3），
∵直线y＝kx+k﹣1过定点（﹣1，﹣1）
当直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点时，t＝﹣1（经过顶点），
当直线y＝kx+k﹣1过F（3，0）时，3k+k﹣1＝0，
解得：k＝，
∴直线解析式为y＝x﹣，
把x＝2代入＝x﹣，得：y＝﹣，
当直线过D（0，3）时，k﹣1＝3，
解得：k＝4，
∴直线解析式为y＝4x+3，
把x＝2代入y＝4x+3得：y＝11，即t＝11，
∴结合图象可知t＝﹣1，或﹣≤t≤11．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象的平移、待定系数法求函数的解析式等知识；本题综合性强，有一定难度，确定二次函数的解析式和抛物线与x轴的交点坐标是解决问题的关键．
15．（2021秋•金凤区校级期末）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）a＝1时，先由对称轴为直线x＝﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）∵a＝1时，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，解得b＝2．
将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，
得1+2+c＝0，解得c＝﹣3．
则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，x＝±4．
当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；
当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．此题难度适中，解题的关键是求出点C的坐标．
考点卡片
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
4．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
5．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
7．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．