2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之正方形

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之正方形，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之正方形
一、选择题（共10小题）
1．（2021春•龙门县期末）已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
2．（2021秋•织金县校级期中）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形，如图，现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3．（2021秋•渝中区校级期中）如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点D是上一点，点C在OB上，点F在OB的延长线上，且BC＝FC．已知正方形CDEF的边长为3时，则扇形AOB的半径为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021秋•会宁县期中）如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．若∠BAC≠45°，则四边形ADEG是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形
C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形
D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形
5．（2021春•襄州区期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④HC平分∠BHG，其中正确结论是（　　）

A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有②③④ D．①②③④
6．（2021春•平南县期中）下列结论不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．平行四边形对角相等对边相等
D．矩形的对角线相等
7．（2021春•南关区校级期中）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1+∠2＝（　　）

A．35° B．70° C．90° D．120°
8．（2021•上城区二模）下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④．其中正确的命题有（　　）

A．只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④
9．（2021春•沙坪坝区期末）四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定
10．（2021•临夏州）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）

A．2 B．3 C． D．
二、填空题（共5小题）
11．（2021春•寿县期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　 　时，四边形MENF是正方形．

12．（2021秋•盐都区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，若BD＝3，CD＝1，则AD的长为　 　．

13．（2021春•成都期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有　 　．①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
14．（2021•和平区三模）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝　 　．

15．（2021秋•平度市校级期末）一个边长为1的正方形，以它的对角线为边向外做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边向外作第三个正方形，以此类推，则第四个正方形的边长为　 　，第n个正方形的边长为　 　．

三、解答题（共10小题）
16．（2021秋•东平县期中）如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．

（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：CE＝PE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明．
17．（2021春•上杭县校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．
（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．

18．（2021春•濮阳期末）已知BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，BC＝BE，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，当四边形CDEF是正方形，且AC＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于30°的角．

19．（2021春•南昌期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．

20．（2021秋•肥城市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

21．（2021•通辽）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．

22．（2021•湖州）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．

23．（2007春•襄城区期末）已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

24．定义：一个四边形的每两个顶点之间有且只有两种长度，这样的四边形叫做“两段”四边形．例如正方形ABCD，有AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD．
（请画出符合要求的若干个不同“两段”四边形的示意图，并在图上标出每个内角的度数）

25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝45°，BD＝3，CD＝2，求△ABC的面积．


2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之正方形
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021春•龙门县期末）已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【考点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判断方法即可判定；
【解答】解：A、当AB＝BC时，它是菱形，正确；
B、当AC⊥BD时，它是菱形，正确；
C、当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；
D、当AC＝BD时，它是正方形，错误，应该是当AC＝BD时，它是矩形；
故选：D．
【点评】本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形与菱形、矩形、正方形的判定与之间的关系，属于中考常考题型．
2．（2021秋•织金县校级期中）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形，如图，现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
3．（2021秋•渝中区校级期中）如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点D是上一点，点C在OB上，点F在OB的延长线上，且BC＝FC．已知正方形CDEF的边长为3时，则扇形AOB的半径为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质．
【答案】C
【分析】延长BO交⊙O 于K，连接DK，BD．由△DCB∽△KCD，推出DC2＝CB•CK，由此求出CK即可解决问题．
【解答】解：延长BO交⊙O 于K，连接DK，BD．
∵正方形CDEF的边长为3，BC＝CF，
∴BC＝，CD＝3，
∵BK是⊙O的直径，
∴∠BDK＝90°，
∵∠BCD＝∠DCK＝90°，
∴∠BDC+∠CDK＝90°，
∠CDK+∠K＝90°，
∴∠BDC＝∠K，
∴△DCB∽△KCD，
∴DC2＝CB•CK，
∴CK＝9，
∴BK＝10，
∴扇形AOB的半径为5，
故选：C．

【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
4．（2021秋•会宁县期中）如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．若∠BAC≠45°，则四边形ADEG是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形
C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形
D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG＝180°，易证ED∥GA，即可判断A；求出∠DAG＝135°，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；根据AD＝AC＝和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．
【解答】解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC，
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，
∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∵四边形ADEG是平行四边形，
∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；
C、∵四边形ADEG是平行四边形，
∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．
∵AD＝AB，
∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，
∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，
∴四边形ADEG是正方形，
即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．
5．（2021春•襄州区期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④HC平分∠BHG，其中正确结论是（　　）

A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有②③④ D．①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何综合题．
【答案】D
【分析】根据正方形性质可证明△BCE≌△DCG（SAS），可得BE＝DG，∠CBE＝∠CDG，再利用三角形内角和定理即可证明∠DHT＝90°，即BE⊥DG，依据勾股定理可得：DE2+BG2＝2a2+2b2，由∠BHD＝∠BCD＝90°可知B、C、H、D四点共圆，进而可证∠BHC＝∠BDC＝45°，可得HC平分∠BHG．
【解答】解：如图，∵正方形ABCD和正方形CEFG
∴BC＝CD＝a，CE＝CG＝b，∠BCD＝∠ECG＝90°
∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG
∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG
故①正确；
设BE与CD交于T，
∵∠CBE+∠BTC＝90°，∠BTC＝∠DTE
∴∠CDG+∠DTE＝90°，
∴∠DHT＝90°
∴BE⊥DG
故②正确；
连接BD，EG，在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，在Rt△BGH中，BG2＝BH2+GH2
在Rt△BDH中，BH2+DH2＝BD2，在Rt△EHG中，EH2+GH2＝EG2，
∴DE2+BG2＝DH2+EH2+BH2+GH2＝BD2+EG2，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝2a2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2+CG2＝2b2，
∴DE2+BG2＝2a2+2b2，
故③正确；
∵∠BHD＝∠BCD＝90°
∴B、C、H、D四点共圆，
∴∠BHC＝∠BDC＝45°，
∴∠GHC＝∠BHG﹣∠BHC＝45°
∴∠BHC＝∠GHC
∴HC平分∠BHG，
（过点C作CQ⊥BT，CR⊥DG，利用全等三角形的性质证明也可以）．
故④正确；
故选：D．

【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，直角三角形判定和性质，四点共圆等知识点．
6．（2021春•平南县期中）下列结论不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．平行四边形对角相等对边相等
D．矩形的对角线相等
【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】A
【分析】依据正方形的判定，菱形的判定以及平行四边形和矩形的性质，进行判断即可．
【解答】解：A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确；
C．平行四边形对角相等，对边相等，故本选项正确；
D．矩形的对角线相等，故本选项正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定以及平行四边形和矩形的性质，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
7．（2021春•南关区校级期中）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝80°，则∠1+∠2＝（　　）

A．35° B．70° C．90° D．120°
【考点】等边三角形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣90°﹣∠2＝90°﹣∠2，
∠ABC＝180°﹣80°﹣∠3＝100°﹣∠3，
∠ACB＝180°﹣80°﹣∠1＝100°﹣∠1，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴90°﹣∠2+100°﹣∠3+100°﹣∠1＝180°，
∴∠1+∠2＝150°﹣∠3，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝150°﹣80°＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．
8．（2021•上城区二模）下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④．其中正确的命题有（　　）

A．只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF＝∠BHE＝90°得证．
②由题意正方形中∠ABO＝∠BCO，在上面所证∠BCE＝∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON＝OM即得证．
③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM＝CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．
过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG＝BH，所以④式成立．
【解答】解：∵AF＝BE，AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE＝∠ABF，∠BFA＝∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF＝∠BHE＝90°，
即BF⊥EC，①正确；

∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，BO＝OC，
由题意正方形中角ABO＝角BCO，在上面所证∠BCE＝∠ABF，
∴∠ECO＝∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON＝OM，
即②正确；

③∵△OBM≌△ONC，
∴BM＝CN，
∵∠BOM＝90°，
∴当H为BM中点时，OH＝BM＝CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
因此只有当H为BM的中点时，，故③错误；

④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
在△OGC与△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG＝BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
9．（2021春•沙坪坝区期末）四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定
【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺．
【解答】解：对角线互相垂直且相等，但不互相平分的四边形不是菱形、矩形、正方形，
因为这三种四边形的对角线都互相平分．
故选：D．
【点评】考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．
10．（2021•临夏州）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（　　）

A．2 B．3 C． D．
【考点】正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．
【解答】解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
则有△BCF≌△BAE（ASA），
则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，
∴BE＝＝．
故选：C．

【点评】本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．
二、填空题（共5小题）
11．（2021春•寿县期末）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　1：2　时，四边形MENF是正方形．

【考点】正方形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC＝90°和ME＝MF，根据正方形的判定推出即可．
【解答】解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、三角形的中位线的应用等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．
12．（2021秋•盐都区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，若BD＝3，CD＝1，则AD的长为　+2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝1；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE＝DF＝2；则在Rt△AOF中，易得AF＝，进而得到AD的长．
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝3+1＝4，
∴BO＝CO＝2．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝BC＝2，
∴DE＝OF＝1．
在Rt△BOE中，BO＝2，BE＝2，
∴OE＝DF＝2．
在Rt△AOF中，AO＝2，OF＝1，
∴AF＝，
∴AD＝+2．
故答案为：+2．

【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识的综合运用，解题时注意辅助线的作法，构造直角三角形和矩形是解决问题的关键．
13．（2021春•成都期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有　④　．①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，
当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，
故答案为：④
【点评】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们的判定的内容．
14．（2021•和平区三模）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝　16　．

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO＝∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．
【解答】
解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，
∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵在△BAO和△CGO中
，
∴△BAO≌△CGO，
∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，
∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG＝＝12，
即AC＝12+4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
15．（2021秋•平度市校级期末）一个边长为1的正方形，以它的对角线为边向外做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边向外作第三个正方形，以此类推，则第四个正方形的边长为　　，第n个正方形的边长为　　．

【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过找规律知：每次作图后，边长增大为原来的倍．从而可推出第四个正方形的边长为2，第n个正方形的边长为．
【解答】解：根据题意分析可得：每次作图后，边长增大为原来的倍，且第一个正方形边长为1，故第四个正方形的边长为2，第n个正方形的边长为．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（共10小题）
16．（2021秋•东平县期中）如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．

（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：CE＝PE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）CE＝PE，证明解解答过程．
【分析】（1）延长EP交DC于点G，由正方形的性质和已知条件可证明△PEF≌△PGD，进而可证明△CGE是等腰直角三角形，则CP⊥GE，CP＝EG＝PE，所以△CPE是等腰直角三角形．由等腰三角形的性质可得CE＝PE；
（2）延长EP交CD的延长线于点G，由（1）的证明思路即可证得CE＝PE．
【解答】解：（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：
∵∠FEC＝∠DCE＝90°，
∴EF∥CD，
∴∠PFE＝∠PDG，
又∵∠EPF＝∠GPD，PF＝PD，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE＝PG，EF＝GD，
∵BE＝EF，
∴BE＝GD．
∵CD＝CB，
∴CG＝CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP＝EG＝PE，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴CE＝PE；
（2）CE＝PE，理由如下：
延长EP交CD的延长线于点G，如图（2）所示：
∵∠FEB+∠DCB＝180°，
∴EF∥CD，
∴∠PEF＝∠PGD，
又∵∠EPF＝∠GPD，PF＝PD，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE＝PG，EF＝GD，
∵BE＝EF，
∴BE＝GD．
∵CD＝CB，
∴CG＝CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP＝EG＝PE，
∴△CPE是等腰直角三角形，
∴CE＝PE．


【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（2021春•上杭县校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．
（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．

【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；
（2）根据解三角形的知识求出AC和DF的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；
（3）应添加条件AC＝BC，证明CD⊥AB且相等即可．
【解答】证明：（1）∵平行四边形DBCE，
∴CE∥BD，CE＝BD，
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∴CE∥AD，CE＝AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又BC∥DE，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，
故四边形ADCE为菱形，

（2）在Rt△ABC中，∵AB＝16，AC＝12，
∴BC＝4，
∵D为AB中点，F也为AC的中点，
∴DF＝2，
∴四边形ADCE的面积＝AC×DF＝24，

（3）应添加条件AC＝BC．
证明：∵AC＝BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC＝90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE＝BC＝AC，∠AFD＝∠ACB＝90°．
∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）
【点评】本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．
18．（2021春•濮阳期末）已知BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，BC＝BE，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，当四边形CDEF是正方形，且AC＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于30°的角．

【考点】菱形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接由SAS得出△BDE≌△BDC，得出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC．再由SAS证明△BFE≌△BFC，得出EF＝CF．由EF∥AC得出∠EFD＝∠BDC，从而∠EFD＝∠BDE，根据等角对等边得出DE＝EF，从而DE＝EF＝CF＝DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，利用正方形的性质可得∠DFE＝45°，然后证明∠FEB＝∠CBE＝2∠FBE即可．
【解答】证明：在△BDE和△BDC中，
，
∴△BDE≌△BDC；
∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC
同理△BFE≌△BFC，
∴EF＝CF
∵EF∥AC
∴∠EFD＝∠BDC，
∴∠EFD＝∠BDE，
∴DE＝EF，
∴DE＝EF＝CF＝DC，
∴四边形CDEF是菱形；
（2）∵四边形CDEF是正方形，
∴∠CDE＝∠DEF＝2∠EFD＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠A+∠AED＝180°﹣90°＝90°，∠AED+∠FEB＝90°，
∴∠A＝∠FEB＝∠CBE＝2∠EBF，
∵∠EBF+∠FEB＝∠DFE＝45°，
∴∠EBF＝15°，
∴∠FEB＝30°，
∴∠A＝∠ABC＝∠FEB＝30°，
∵△BFE≌△BFC，
∴∠FEB＝∠FCB＝30°，
图中度数等于30°的角是∠A，∠ABC，∠FEB，∠FCB．
【点评】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质等知识．关键是由SAS得出△BDE≌△BDC．
19．（2021春•南昌期中）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．
（1）当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当△FCG的面积为2时，求CG的值．

【考点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，而AH＝DG＝2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG＝∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG＝90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC于M，根据AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，利用三角形面积解答即可．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，
∴∠DGH+∠DHG＝90°．
在菱形EFGH中，EH＝GH
∵AH＝2，DG＝2，
∴AH＝DG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG（HL）．
∴∠AHE＝∠DGH．
∴∠AHE+∠DHG＝90°．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．

（2）过F作FM⊥DC于M，则∠FMG＝90°．
∴∠A＝∠FMG＝90°．连接EG．
由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG＝∠MGE，∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF．
∵EH＝GF，
∴△AEH≌△MGF．
∴FM＝AH＝2．
∵S △FCG＝，
∴CG＝2．
【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
20．（2021秋•肥城市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知AF＝EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE＝EA＝CE＝AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F＝∠5＝∠1＝∠2，即∠FAE＝∠AEC，由此可证得AF∥EC；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC＝CE，又∵CE＝AB，∴使得AB＝2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；
（3）通过已知在△ABC中，∠ACB＝90°，推出∠ACE＜90°，不能为直角，进行说明．
【解答】解：（1）四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE＝AE，FD∥AC．
∴BD＝CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE＝AE＝AF．
∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．
∴∠FAE＝∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF＝EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
由（1）知CE＝AB，
∴AC＝CE
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
21．（2021•通辽）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE＝EF．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF＝90°和ABCD是正方形，得出∠1＝∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH＝BE，AH＝CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE＝∠ECF＝135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE＝EF．
【解答】证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF＝90°，
∴∠2+∠AEB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH＝BE，AH＝CE，
∴∠BHE＝45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．

【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是取AB的中点H，得出AH＝EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．
22．（2021•湖州）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B＝∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．
（2）利用（1）的结论可知，DE＝DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定．解答此题的关键是利用等腰三角形的两个底角相等，从而证明Rt△BED和Rt△CFD中的两个锐角对应相等．
23．（2007春•襄城区期末）已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

【考点】矩形的判定；正方形的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠ECF＝90°＝∠E＝∠F，即可推出答案；
（2）∠ACB＝90°，推出∠ACE＝∠EAC＝45°，TUICAE＝CE即可．
【解答】（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
∵AE⊥CE，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．

（2）答：当△ABC满足∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由是：∵∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形．
【点评】本题主要考查对矩形和正方形的判定的理解和掌握，能求出四边形AECF是矩形是解此题的关键．
24．定义：一个四边形的每两个顶点之间有且只有两种长度，这样的四边形叫做“两段”四边形．例如正方形ABCD，有AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD．
（请画出符合要求的若干个不同“两段”四边形的示意图，并在图上标出每个内角的度数）

【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；梯形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）一个内角为60°的菱形；
（2）一个正三角形+顶角120°的等腰三角形构成的四边形（等腰三角形的底为正三角形的边）；
（3）内角为72°且上底等于腰的等腰梯形．
【解答】解：存在这些图形：
（1）如图1所示：
一内角为60°的菱形，
AB＝BC＝CD＝DA＝AC，
BD＝BD；
（2）如图2所示：
一个正三角形+顶角120°的等腰三角形构成的四边形（等腰三角形的底为正三角形的边），
AD＝AB＝BD＝AC，
DC＝BC；
（3）如图3所示：
底角为72°且上底等于腰的等腰梯形，
AD＝DC＝AB，
BD＝AC＝BC．



【点评】本题考查了正方形的性质、新定义“两段”四边形四边形、空间想象能力，理解新定义“两段”四边形是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝45°，BD＝3，CD＝2，求△ABC的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】15．
【分析】把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE，△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG，延长EB、GC相交于点F，根据轴对称的性质可以证明四边形AEFG是正方形，设AD＝x，用x表示出BF、CF，在Rt△BCF中，根据勾股定理列式进行计算即可求出x的值，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE，△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG，延长EB、GC相交于点F，

则△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACG，
所以，AD＝AE＝AG，∠AEB＝∠AGC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAD+∠CAD+∠CAG＝2（∠BAD+∠CAD）＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴四边形AEFG是正方形，
∵BD＝3，DC＝2，
∴BC＝BD+CD＝3+2＝5，
设AD＝x，则BF＝EF﹣BE＝x﹣3，CF＝FG﹣CG＝x﹣2，
在Rt△BCF中，根据勾股定理，BF2+CF2＝BC2，
即（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52，
整理得，x2﹣5x﹣6＝0，
解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝6，
所以，S△ABC＝BC•AD＝×5×6＝15．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，轴对称的性质，以及勾股定理的应用，根据∠BAC＝45°轴对称图形，构造出正方形并得到Rt△BCF是解题的关键，也是本题的难点．

考点卡片
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
5．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
6．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
7．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
10．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
11．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
12．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
13．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

14．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
15．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
17．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
19．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
20．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
21．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．