北京课改版九年级上册第二十章 解直角三角形综合与测试单元测试达标测试

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1．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan∠ABC的值为（ ）
A．B．C．D．
2．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，AC＝6cm，那么BC等于（ ）
A．8cmB． cmC． cmD． cm
4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值（ ）
A．都扩大1倍B．都缩小为原来的一半
C．都没有变化D．不能确定
5．已知α是锐角，且sinα+csα＝，则sinα•csα值为（ ）
A．B．C．D．1
6．已知∠A是锐角，sinA＝，则5csA＝（ ）
A．4B．3C．D．5
7．在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，则csB的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cs55°，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，则AC的值是（ ）
A．B．C．4D．5
二．填空题
11．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角为α，那么csα＝ ．
12．已知∠A为锐角，且，那么∠A的范围是 ．
13．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，则sinB的值等于 ．
14．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα＝ ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则csA＝ ，sinB＝ ，tanB＝ ．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ ．
17．在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB＝ ．
18．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于 度．
19．已知sina＝（a为锐角），则tana＝ ．
20．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1+∠2的度数为 ．
B. tan38°15′≈ ．（结果精确到0.01）
三．解答题
21．已知∠A为锐角且sinA＝，则4sin2A﹣4sinAcsA+cs2A的值是多少．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，求BC的长和sin∠B的值．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
24．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+csα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
25．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，csB，tanA的值．
26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求csA的值．
27．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα csα；若∠α＜45°，则sinα csα；若∠α＞45°，则sinα csα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cs30°，sin50°，cs70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，
在△ABD是直角三角形，
∵BD＝3，AD＝2，
∴tan∠ABC＝＝，
故选：D．
2．解：由题意得，OC＝2，AC＝4，
由勾股定理得，AO＝＝2，
∴sinA＝＝，
故选：A．
3．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝＝，AC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴BC＝＝8cm．
故选：A．
4．解：根据锐角三角函数的概念，知
如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值不变．
故选：C．
5．解：∵（sinα+csα）2＝sin2α+cs2α+2sinαcsα＝1+2sinαcsα＝（）2＝，
∴sinαcsα＝（﹣1）÷2＝．
故选：C．
6．解：由sinα＝＝知，如果设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x；
∴csA＝＝，
∴5csA＝4．
故选：A．
7．解：如图：
∵tanA＝＝，
∴可以假设BC＝x，AC＝2x，
∴AB＝3x，
∴csB＝＝，
故选：A．
8．解：∵∠A是锐角，sinA＝，
∴∠A＝60°．
故选：C．
9．解：利用该型号计算器计算cs55°，按键顺序正确的是．
故选：C．
10．解：Rt△ABC中，∠C＝90°．
∵BC＝3，sinA＝，
∴AB＝BC÷sinA＝4，
∴AC＝＝．
故选：A．
二．填空题
11．解：根据题意可得OA＝2，
∴csα＝＝，
故答案为．
12．解：∵cs60°＝，余弦函数值随角增大而减小，
∴当csA≤时，∠A≥60°．
又∵∠A是锐角，
∴60°≤∠A＜90°．
故答案为：60°≤A＜90°．
13．解：∵∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴sinB＝＝，
故答案为：．
14．解：∵P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），
∴DP＝4，DO＝3，PO＝5，
∴sinα＝＝，
故答案为：．
15．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，
∴由勾股定理得：c＝＝，
即caA＝＝＝，sinB＝＝＝，tanB＝＝．
16．解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
17．解：
∵sinA＝＝，
∴设BC＝2x，AB＝3x，
由勾股定理得：AC＝＝＝x，
∴tanB＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）＝，sin60°＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
19．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，
由于sina＝＝，因此设BC＝5k，则AB＝13k，
由勾股定理得，AC＝＝＝12k，
∴tanα＝tanA＝＝＝，
故答案为：．
20．解：A、∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝128°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠ABC、∠2＝∠ACB，
则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝64°，
故答案为：64°；
B、tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，
故答案为：2.03．
三．解答题
21．解：∵∠A为锐角，且sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴csA＝，2sinA﹣csA＝2×﹣＝1﹣，
∴4sin2A﹣4sinAcsA+cs2A
＝（2sinA﹣csA）2
＝（1﹣）2
＝1﹣+
＝﹣．
22．解：∵tan∠A＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（2BC）2+BC2＝102，
解得BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
sin∠B＝＝＝．
23．解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴b＝＝＝4，
∴sinA＝，tanA＝．
24．解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+csα＝+＝＞1，故sinα+csα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
25．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
根据勾股定理可得：AC＝4，
∴sinA＝，csB＝＝，tanA＝＝．
26．（1）证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴
∴
∴
解得FC＝2
∴AF＝6
∴Rt△AEF中，cs∠FAE＝＝＝＝．
27．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cs∠B1AC＝，cs∠B2AC＝，cs∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cs∠B3AC＞cs∠B2AC＞cs∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cs88°＜cs65°＜cs52°＜cs34°＜cs18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝csα；若∠α＜45°，则sinα＜csα；若∠α＞45°，则sinα＞csα．
（4）cs30°＞sin50°＞cs70°＞sin10°．