备战2022 中考数学 人教版 第十八讲 平行四边形 专题练

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1．(2021·株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝(B)
A．38° B．48° C．58° D．66°
2．(2021·衢州中考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为(B)
A．6 B．9 C．12 D．15
3．(2021·恩施州中考)如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为(B)
A．30 B．60 C．65 D． eq \f(65,2)
4．(2021·南充中考)如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是(A)
A．OE＝OF B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
5．(2021·天津中考)如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是(C)
A．(－4，1) B．(4，－2)
C．(4，1) D．(2，1)
6．(2021·苏州中考)如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝ eq \r(6) ，则B′D的长是(B)
A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D． eq \f(\r(6),2)
7．(2021·青海中考)如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为__6__cm__．
8．(2021·云南中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F.若BF＝6，则BE的长是__9__．
9.(2021·怀化中考)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝CF,∠EAD＝∠FCB,AD＝CB)) ，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)由(1)知，△ADE≌△CBF，∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF.
10.(2021·聊城中考)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【解析】(1)在△AOE和△COD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAO＝∠DCO,AO＝CO,∠AOE＝∠COD)) ，
∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OD＝OE，又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，∵AC＝8，
∴CO＝ eq \f(1,2) AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝ eq \r(CD2－CO2) ＝ eq \r(52－42) ＝3，∴DE＝2OD＝6，∴菱形AECD的面积＝ eq \f(1,2) AC×DE＝ eq \f(1,2) ×8×6＝24.
11．(2021·龙东中考)如图，平行四边形ABFC的对角线AF，BC相交于点E，点O为AC的中点，连接BO并延长，交FC的延长线于点D，交AF于点G，连接AD，OE，若平行四边形ABFC的面积为48，则S△AOG的面积为(C)
A．5.5 B．5 C．4 D．3
12．(2021·嘉兴中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为(A)
A． eq \r(13) B． eq \f(5\r(2),2) C． eq \f(\r(41),2) D．4
13．(2021·泰安中考)如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．(2021·广东中考)如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sin A＝ eq \f(4,5) .过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin ∠BCE＝____．
15．(2021·江西中考)如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为__4a＋2b__．
16．(2021·温州中考)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点(点E在点F左侧)，且∠AEB＝∠CFD＝90°.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当AB＝5，tan ∠ABE＝ eq \f(3,4) ，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．
【解析】(1)∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AEB＝∠CFD，,∠ABE＝∠CDF，,AB＝CD，))
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)在Rt△ABE中，tan ∠ABE＝ eq \f(3,4) ＝ eq \f(AE,BE) ，
设AE＝3a，则BE＝4a，
由勾股定理得：(3a)2＋(4a)2＝52，
解得：a＝1或a＝－1(舍去)，
∴AE＝3，BE＝4，
由(1)得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan ∠CBE＝tan ∠ECF，
∴ eq \f(CF,BF) ＝ eq \f(EF,CF) ，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x＋4，
∴32＝x(x＋4)，
解得：x＝ eq \r(13) －2或x＝－ eq \r(13) －2(舍去)，
即EF＝ eq \r(13) －2，
由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE＋EF＋DF＝4＋ eq \r(13) －2＋4＝6＋ eq \r(13) .
17．(2021·绍兴中考)问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 eq \f(AD,AB) 的值．
【解析】(1)①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE＋CF＝10；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE＝DC＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
(2)分三种情况：
①如图3所示：
同(1)得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,3) ；
②如图4所示：
同(1)得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,3) ；
③如图5所示：
同(1)得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴ eq \f(AD,AB) ＝2；综上所述， eq \f(AD,AB) 的值为 eq \f(1,3) 或 eq \f(2,3) 或2.
1．(2021·宝鸡模拟)如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为(C)
A．4 B．2 C．3 D． eq \f(5,2)
2．(2021·大连模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝ eq \r(3) ，AC＝2，BD＝4，则BC的长是(B)
A．2 eq \r(3) B． eq \r(7) C．3 D．5
3．(2021·天津市津南区模拟)如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是(3，0)，(1，2)，则平行四边形ABCO的周长等于(D)
A． eq \r(5) B． eq \r(3) C．4 eq \r(5) D．6＋2 eq \r(5)
4．(2021·宁德市模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD和BC上，下列条件不能判定四边形AECF是平行四边形的为(A)
A．AF＝CE B．DE＝BF
C．AF∥CE D．∠AFB＝∠DEC
5．(2021·广州荔湾区模拟)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为(B)
A．50° B．25° C．15° D．20°
6．(2021·衢州模拟)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，
∠ABC＝30°.则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA＋DF＝BE；④ eq \f(S△ACD,S四边形BCDE) ＝ eq \f(1,6) ，其中正确的是(A)
A．只有①② B．只有①②③
C．只有③④ D．①②③④
7．(2021·长春模拟)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是__②③__．
8．(2021·连云港模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝70°，则∠B的度数为__70°__．
9.(2021·台州黄岩区模拟)如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：其中会随点P的移动而发生变化的是__②⑤__(填序号).
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN与AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
10．(2021·银川模拟)如图，在平行四边形ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP.已知∠A＝60°.
(1)试探究，当△CPE≌△CPB时，CD与DE的数量关系；
(2)若BC＝4，AB＝3，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
【解析】(1)当△CPE≌△CPB时，CD＝DE，理由如下：
∵△CPE≌△CPB，
∴∠CEP＝∠B，
在平行四边形ABCD中，∠A＝60°.
∴∠B＝180°－60°＝120°，
∴∠PEC＝∠B＝120°，
∵PE⊥AB，∠A＝60°.
∴∠PEA＝30°，
∴∠CED＝180°－120°－30°＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°－∠A＝120°，
∴∠DCE＝180°－∠D－∠CED＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DC＝DE；
(2)∵PE⊥AB，∠A＝60°.
∴∠PEA＝30°，
∴AE＝2PA，
设PA＝x，则AE＝2x，
∴PE＝ eq \r(3) x，
延长CD交PE的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠APE＝90°，
在Rt△EDG中，∠DEG＝∠PEA＝30°，
DE＝AD－AE＝4－2x，
∴DG＝ eq \f(1,2) ED＝2－x，
∴CG＝CD＋DG＝3＋2－x＝5－x，
∴S△CPE＝ eq \f(1,2) PE·CG
＝ eq \f(1,2) × eq \r(3) x(5－x)
＝－ eq \f(\r(3),2) (x2－5x)
＝－ eq \f(\r(3),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(25,8) eq \r(3) ，
∴当AP的长为 eq \f(5,2) 时，△CPE的面积最大，最大面积为 eq \f(25,8) eq \r(3) .