北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试测试题

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第一章《勾股定理》检测卷

第I卷（选择题）
一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．直角三角形的直角边长分别为3，4，则直角三角形的周长为（ ）
A．5 B．12 C．12或 D．
【答案】B
【分析】
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长．
【详解】
解：根据勾股定理可知：斜边==5，
∴三角形周长=3+4+5=12，
故选：B．
【】
本题考查的是勾股定理的应用，难度适中，解题关键是根据勾股定理求出斜边的长．
2．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为，则所有正方形的面积和为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积等于E的面积，同理，C，D的面积的和是F的面积，E，F的面积的和是M的面积．即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：，，．
所以，所有正方形的面积的和是正方形M的面积的3倍：即．

故选C
【】
本题考查勾股定理，理解正方形A，B的面积的和是E的面积是解决本题的关键．若把A，B，E换成形状相同的另外的图形，这种关系仍成立．
3．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
【答案】B
【分析】
圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，

AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
【】
本题是勾股定理在实际生活中的应用，把木棒、圆桶的直径、桶高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．
4．如图，在中，，为上一点，且，又的面积为10，则的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
由和DA=5可得BC=4，然后在Rt△BCD中运用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵
∴DA·BC=20
∵DA=5
∴BC=4
在Rt△BCD中，BC=4,DB=5
∴CD=．
故选B．
【】
本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形，解题的关键是根据已知条件确定BC的长以及勾股定理的灵活应用．
5．放学以后，红红和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为（　　）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据题意画出图形，在Rt△AOB中，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，∵红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，

∴OA=50×12=600（米），OB=50×16=800（米），
在Rt△AOB中，
∵AB2=OA2+OB2，
∴AB==1000（米）．
故选：C．
【】
本题考查的是勾股定理的应用，能够准确的画出示意图，把实际问题转换为解直角三角形的问题是解决问题的关键．
6．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ）

A． B． C． D．32
【答案】A
【分析】
根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可．
【详解】
解：在图①中，正方形的边长为4，
∴等腰直角三角形①的直角边长为：
∴等腰直角三角形①的面积=

在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是
故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2

∴
如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为

∴
=
=
=
=
由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n，
故选A．
【】
此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和．
7．下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在中，，互相垂直的线段将正方形分为面积相等的四部分，这四个部分和以为边的正方形恰好拼成一个以为边的正方形．若正方形的面积为5，的面积为1，则正方形的面积为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】
观察图形可知，正方形PMQN的面积=5+1×4=9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．
【详解】
解：连接PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，
观察图形可知，正方形PMQN的面积=作出小正方形的面积=5+1×4=9，
则正方形CBFH的面积9+1×4=13．
故选：C．

【】
本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．168 B．84 C．84或36 D．168或72
【答案】C
【分析】
高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
【详解】
解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝＝6，
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝＝15，
当AD在三角形的内部时，BC＝BD+CD＝15+6＝21，
所以△ABC的面积为×21×8＝84；
当AD在三角形的外部时，BC＝CD－BD ＝15﹣6＝9，
所以△ABC的面积为×9×8＝36．
故选：C．

【】
本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，当涉及到有关高的题目时，注意由于高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，所以要注意考虑多种情况．
9．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【详解】
解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2＋y2＝AB2＝49，故本选项正确；
②由图可知，x−y=CE==2，故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy＋4＝49，即2xy＋4＝49；
故本选项正确；
④由2xy＋4＝49可得2xy＝45①，
又∵x2＋y2＝49②，
∴①＋②得，x2＋2xy＋y2＝49＋45，
整理得，（x＋y）2＝94，
x＋y＝≠9，
故本选项错误．
∴正确结论有①②③．
故选A．

【】
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
10．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若按照图中所标注的数据，则△ABC的周长是（ ）

A．15＋3 B．15 C．20 D．23
【答案】A
【分析】
求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∠FEA=∠BAG，根据AAS证△FEA≌△GAB，推出AG=EF=6，AF=BG=3，同理CG=DH=4，BG=CH=2，在用勾股定理求出AB即可求解．
【详解】
解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中
∴△FEA≌△GAB（AAS），
∴AG=EF=6，AF=BG=3，
同理CG=DH=4，BG=CH=3，
∴

∴的周长
故选：A
【】
本题考查了三角形的周长，全等三角形的性质和判定等知识点，证明△FEA≌△GAB是解题的关键．

第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．小红向北走60m后，沿另一方向又走了80m，再沿第三个方向走100m回到原地，小红第二次是沿______方向走的．
【答案】东或西．
【分析】
小红走的路线正好是一个直角三角形三边，故可解答．
【详解】
三角形三边为60m、80m、100 m，
∵602+802=1002
∴此三角形是直角三角形，
∴小红向北走60m后是向东或西方向走的．
故答案为：东或西．
【】
本题考查勾股定理逆定理，解题关键是观察三边的关系．
12．在如图所示的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，则点C到AB的距离为_____．

【答案】
【分析】
设点C到AB的距离为h，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：设点C到AB的距离为h，
∵AB＝＝5，
∴S△ABC＝×2×4＝×5×h，
∴h＝，
故答案为：．
【】
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．直角三角形斜边长是6，直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为___．
【答案】
【分析】
根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：由勾股定理得，直角三角形另一直角边，
故答案为：．
【】
本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．
14．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25．请你写出有以上规律的第④组勾股数：______．
【答案】
【分析】
分别观察所给的三组勾股数，总结出一般规律的表现形式，再根据表现形式直接写出第④组勾股数即可.
【详解】
解： ① ；
②；
③；
所以第④组勾股数为：；
故答案为：
【】
本题考查的是勾股数的规律探究，理解题意，归纳总结出规律是解题的关键.
15．如图，已知四边形A，B，C，D，E都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，D的面积依次为4，6，15，则正方形C的面积为________．

【答案】5
【分析】
由题意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，代入计算即可．
【详解】
解：由题意可知：SA+SB＝SE，SC+SE＝SD，
∵正方形A，B，D的面积依次为4，6，15，
∴SC＝SD﹣SA﹣SB＝15﹣6﹣4＝5，
故答案为：5．
【】
本题主要考查了勾股定理，熟练勾股定理的应用是解决本题的关键．
16．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．

【答案】5
【分析】
把这个长方体表面分别沿CB、ND、DC展开，将点A和点M放在同一平面内，在同一平面内A、M两点间线段最短，根据勾股定理计算，找出最短距离即可．
【详解】
解：如图1，将长方体沿CB展开，

当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M点，则，
如图2，将长方体沿ND展开，

当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M点，则，
如图3，将长方体沿DC展开，

当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M点，则，
比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5．
故答案为：5．
【】
本题考查最短路径问题，用勾股定理构造图形解决问题，学会分析从不同方向展开长方体表面，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键．
17．如图所示，在中，，，中线，则长为___________．

【答案】
【分析】
延长至，使，连接，先根据全等三角形的判定定理得出，再由勾股定理的逆定理可知，再根据勾股定理得到的长度，则．
【详解】
解：延长至，使，连接，
是的中线，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
∴，
，
在中，，
，
故答案为：．

【】
此题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，判断出的形状，再利用勾股定理算出的长度．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，在中，于点，，，．求与的面积．

【答案】，的面积为．
【分析】
利用勾股定理求得的长度，再次利用勾股定理可求得的长度，从而结合三角形的面积公式可求的面积．
【详解】
解：于点，，，
，
，
，
．
【】
本意主要考查了勾股定理，求三角形的面积，熟练掌握直角三角形中，两只角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
19．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法

（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是　 　三角形，结论是　 　（三边关系）
（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
【答案】（1）直角，a2+b2=c2；（2）见解析
【分析】
（1）根据勾股定理的定义即可解答；
（2）先分别运用梯形的面积公式和三角形面积公式表示出梯形的面积公式，然后化简即可．
【详解】
解：（1）有勾股定理的定义可知：勾股定理成立的条件是直角三角形，结论是a2+b2=c2；
故填：直角，a2+b2=c2；
（2）如图2可得梯形的面积为： （a+b）（a+b）或ab+ab+c2
∴ （a+b）（a+b）=ab+ab+c2，化简得a2+b2=c2．
【】
本题主要考查了勾股定理的定义和证明，掌握勾股定理定义和等面积法的灵活运用是解答本题的关键．
20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m
（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

【答案】（1）2.4米；（2）1.3m
【分析】
（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝=（米），
答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；
（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，
∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），
在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，
∴1.52＋B′C2＝2.52，
∴B′C＝2（m），
∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），
答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．
【】
此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．在数轴上画出表示，的点．
【答案】答案见详解
【分析】
作一个直角三角形，两直角边长分别是1和2，这个直角三角形的斜边长就是，再作一个直角三角形两直角边长分别是1和1，这个直角三角形的斜边长就是，然后在数轴上表示出，即可．
【详解】
解：如图所示：

①作出所表示的点：首先过表示2的点F作垂线，再截取FE＝1，然后连接OE，再以O为圆心，OE长为半径画弧，与原点左边的坐标轴的交点A为．
②作出所表示的点：OE长为半径画弧，与原点右边的坐标轴的交点G为，过点C作DC⊥OC，在DC上截取DC＝1，连接OD，以G为圆心，OD长为半径作弧，与原点右边的数轴交点B为．
【】
本题考查了无理数用数轴上的点表示的方法，能够熟练运用勾股定理进行计算．
22．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AD＝AC，AE⊥BC于点E，交CD于点F．

（1）若CD＝，且AB＝2AC，求AE的长；
（2）如图2，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC．
【答案】（1）AE的长为；（2）见解析．
【分析】
（1）在Rt△ACD中，根据勾股定理求得AC，进而得AB，在△ABC中，由勾股定理求得BC，最后由三角形的面积公式求得AE；
（2）过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN，垂直平分线性质得DN=CN，再证明△AFM≌△DNM，得AF=DN，证明△BDN≌△PAF，得BN=PF，问题便可得以解决．
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴AC2+AD2＝CD2，
∵AC＝AD，CD＝，
∴AC＝AD＝1，
∵AB＝2AC，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵，
∴；
（2）过A点作AM⊥CD于点M，与BC交于点N，连接DN，如图2所示，

∵∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴AM⊥CD，AM＝DM＝CM，∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，
∴DN＝CN，
∴∠NDM＝∠NCM，
∵AE⊥BC，
∴∠ECF+∠EFC＝∠MAF+∠AFM＝90°，
∵∠AFM＝∠EFC，
∴∠MAF＝∠ECF，
∴∠MAF＝∠MDN，
∵∠AMF＝∠AMN，
∴△AMF≌△DMN（ASA），
∴AF＝DN＝CN，
∵∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴∠DAM＝∠CAM＝∠ADM＝∠ACD＝45°，
∴∠NAP＝∠CDB＝135°，
∵∠MAF＝∠MDN，
∴∠PAF＝∠BDN，
∵AP＝DB，
∴△APF≌△DBN（SAS），
∴PF＝BN，
∵AF＝CN，
∴PF+AF＝CN+BN，
即PF+AF＝BC．
【】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式的应用，第（2）题关键是构造全等三角形．
23．如图1，在中，，，是边上的两点，且满足．以点为旋转中心，将按逆时针旋转，得到△（点与点重合，点到点处）连接．

（1）求证：；
（2）如图2，若AB⊥BC，其他条件不变．求证：DE2＝AD2＋EC2.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先根据可知，再由图形旋转的性质可知，，故可得出，由全等三角形的性质即可得出，故可得出结论；
（2）把逆时针旋转，由于是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点与点重合，，所以，由（1）证，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：，
，
由旋转而成，
，，
，
在与中，
，
，
；
（2）证明：如图所示：把逆时针旋转，连接，
，，
，
图形旋转后点与点重合，与重合，
，
，
，
在中，，
，
，
同（1）可得，
．

【】
本题考查了图形的旋转及勾股定理、三角形全等，解题的关键是熟知旋转前、后的图形全等．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．已知：如图，AB=12cm，AD=13cm，CD=4cm，BC=3cm，∠C=90°．求△ABD的面积．

【答案】
【分析】
先利用勾股定理，求得BD=5；再利用勾股定理的逆定理，证明三角形ABD是直角三角形，利用面积公式计算即可.
【详解】
，，，
，
，，
，
，
．
【】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握两个定理是解题的关键.
25．在和中，，且，．
（1）如图1，如果点D在BC上，且，，求DE的长；
（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且，求证：；
（3）如图3，若，绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出的值．

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）连接，根据同角的余角相等得到，继而证明，由全等三角形的性质，得到，，接着证明是直角三角形，最后根据勾股定理解题即可；
（2）先证明，再由全等三角形的性质得到，由等角的余角相等得到，继而可证，根据内错角相等，两直线平行得到，过点作交于点，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质解得，，接着证明，最后根据全等三角形对应边相等及线段的和差解题；
（3）由旋转的旋转，中点的性质得到，结合三角形中位线的性质即可解题．
【详解】
解：（1）连接，



又，，

，，


是直角三角形，
；

（2）











过点作交于点，
四边形是平行四边形
，





；

（3）绕着点A旋转，，，分别是，，的中点，
，，，
中，，
∴
连接，



．

【】
本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．