2022年高考数学一轮复习《不等式》基础强化练习卷（解析版）

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这是一份2022年高考数学一轮复习《不等式》基础强化练习卷（解析版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.ac＞bd B.ac＜bd C.ad＜bc D.ad＞bc
【答案解析】答案为：B；
解析：根据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.
如果a＞0＞b且a2＞b2，那么以下不等式中正确的个数是( )
①a2b＜b3；②eq \f(1,a)＞0＞eq \f(1,b)；③a3＜ab2.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案解析】答案为：C
解析：因为a2>b2，b<0，所以a2bb2，a>0，所以a3>ab2，故③错误；所以正确的个数为2，故选C.
若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A；
解析：对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq \f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq \f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分条件；反之，若a=－1，b=2，结论“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分不必要条件.
若(x－1)(x－2)＜2，则(x＋1)(x－3)的取值范围是( )
A.(0，3) B.[－4，－3) C.[－4，0) D.(－3，4]
【答案解析】答案为：C；
解析：由(x－1)(x－2)＜2解得0＜x＜3，令f(x)=(x＋1)·(x－3)=x2－2x－3(0＜x＜3)，则f(x)图象的对称轴是直线x=1，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，f(x)在x=1处取得最小值－4，在x=3处取得最大值0，故(x＋1)(x－3)的取值范围为[－4，0).
若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )
A.(－3,1) B.(－∞，－3)∪(1，＋∞) C.∅ D.(0,1)
【答案解析】答案为：B
解析：x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，所以Δ=4a2－4a＜0，所以0＜a＜1，
所以函数y=ax是减函数，由at2＋2t－3＜1可得t2＋2t－3＞0，
解得t＜－3或t＞1，故选B.
若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.(0，＋∞) B.[－1，＋∞) C.[－1，1] D.[0，＋∞)
【答案解析】答案为：B；
解析：当x=0时，不等式1≥0恒成立，
当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－(x+ SKIPIF 1 < 0 )，
又－(x+ SKIPIF 1 < 0 )≤－2，当且仅当x=1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，
所以实数a的取值范围为[－1，＋∞).
若一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(- eq \f(1,2),eq \f(1,3))，则a＋b的值是( )
A.10 B.－10 C.14 D.－14
【答案解析】答案为：D
解析：因为一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(- eq \f(1,2),eq \f(1,3))，
所以－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)是一元二次方程ax2＋bx＋2=0的两个根，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a－\f(1,2)b＋2＝0，,\f(1,9)a＋\f(1,3)b＋2＝0，))解得a=－12，b=－2，则a＋b=－14.
若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤－x＋1，,y≤x＋1，,y≥0，))则3x＋5y的取值范围是( )
A.[－5,3] B.[3,5] C.[－3,3] D.[－3,5]
【答案解析】答案为：D
解析：做出如图所示的可行域及l0：3x＋5y=0，平行移动l0到l1过点A(0,1)时，
3x＋5y有最大值5，平行移动l0至l2过点B(－1,0)时，3x＋5y有最小值－3.故选D.
设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(,x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z=3x＋5y最大值为( )
A.6 B.19 C.21 D.45
【答案解析】答案为：C.
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y=－eq \f(3,5)x，平移该直线，
当经过点C时，z取得最大值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝1，,x＋y＝5))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))即C(2,3)，
所以zmax=3×2＋5×3=21，故选C.
若2x＋2y=1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[－2,0] C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
【答案解析】答案为：D.
解析：∵1=2x＋2y≥2eq \r(2x·2y)=2eq \r(2x＋y)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当2x＝2y＝\f(1,2)，即x＝y＝－1时等号成立))，
∴eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，得x＋y≤－2.
当x>0时, 的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.4
【答案解析】答案为：B；
已知a＞0，b＞0，a＋b=eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A.4 B.2eq \r(2) C.8 D.16
【答案解析】答案为：B；
解析：由a＞0，b＞0，a＋b=eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)=eq \f(a＋b,ab)，得ab=1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))=2eq \r(2).
当且仅当eq \f(1,a)=eq \f(2,b)，即a=eq \f(\r(2),2)，b=eq \r(2)时等号成立，故选B.
二、填空题
不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为________.
【答案解析】答案为：{x|－a＜x＜3a}
解析：∵x2－2ax－3a2＜0⇔(x－3a)·(x＋a)＜0，a＞0，∴－a＜3a，
则不等式的解集为{x|－a＜x＜3a}.
若x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))则z=x＋y的最大值为________.
【答案解析】答案为：9
解析：由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分)，
由图可知，当直线x＋y－z=0经过点A(5，4)时，z=x＋y取得最大值，
最大值为zmax=5＋4=9.
已知a，b∈R，且a－3b＋6=0，则2a＋eq \f(1,8b)的最小值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,4).
解析：∵a－3b＋6=0，∴a－3b=－6，∴2a＋eq \f(1,8b)=2a＋2－3b≥2eq \r(2a·2－3b)=2eq \r(2a－3b)=2eq \r(2－6)=eq \f(1,4).
当且仅当2a=2－3b，即a=－3，b=1时，2a＋eq \f(1,8b)取得最小值eq \f(1,4).
三、解答题
已知函数f(x)=eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为eq \f(\r(2),2)，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
【答案解析】解：(1)因为函数f(x)=eq \r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a=0时，1≥0恒成立.
当a≠0时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝（2a）2－4a≤0，))解得0＜a≤1，
综上可知，a的取值范围是[0，1].
(2)因为f(x)= eq \r(ax2＋2ax＋1)= eq \r(a（x＋1）2＋1－a)，
a＞0，所以当x=－1时，f(x)min=eq \r(1－a)，
由题意得，eq \r(1－a)=eq \f(\r(2),2)，所以a=eq \f(1,2)，
所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－eq \f(3,4)＜0.解得－eq \f(1,2)＜x＜eq \f(3,2)，
所以不等式的解集为(－eq \f(1,2),eq \f(3,2)).
已知lg(3x)＋lg y=lg(x＋y＋1).
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值.
【答案解析】解：由lg(3x)＋lg y=lg(x＋y＋1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0，,3xy＝x＋y＋1.))
(1)因为x＞0，y＞0，所以3xy=x＋y＋1≥2eq \r(xy)＋1.
所以3xy－2eq \r(xy)－1≥0，即3(eq \r(xy))2－2eq \r(xy)－1≥0.
所以(3eq \r(xy)＋1)(eq \r(xy)－1)≥0.所以eq \r(xy)≥1.所以xy≥1.
当且仅当x=y=1时，等号成立.所以xy的最小值为1.
(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y＋1=3xy≤3·( SKIPIF 1 < 0 )2.
所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.
所以x＋y≥2.当且仅当x=y=1时取等号.
所以x＋y的最小值为2.
已知一元二次不等式(m-2)x2＋2(m-2)x＋4＞0的解集为R.求m的取值范围．
【答案解析】解：因为y=(m-2)x2＋2(m-2)x＋4为二次函数，所以m≠2.
因为二次函数的值恒大于零，即(m-2)x2＋2(m-2)x＋4＞0的解集为R.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＞0，,Δ＜0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＞2，,4（m－2）2－16（m－2）＜0，))解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＞2，,2＜m＜6.))
所以m的取值范围为{m|2＜m＜6}．
若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案解析】解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝22－4×2a<0，))解得a>eq \f(1,2).
综上，所求实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
设x，y都是正数且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)=3，求2x＋y的最小值；
【答案解析】解：2x＋y=eq \f(32x＋y,3)=eq \f(1,3)(eq \f(1,x)＋eq \f(2,y))(2x＋y)=eq \f(1,3)(eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)＋4)≥eq \f(1,3)(2eq \r(4)＋4)=eq \f(8,3).
当且仅当eq \f(y,x)=eq \f(4x,y)时等号成立，即y2=4x2.∴y=2x.
又∵eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)=3，得x=eq \f(2,3)，y=eq \f(4,3).∴当x=eq \f(2,3)，y=eq \f(4,3)时，2x＋y取得最小值为eq \f(8,3).
已知x<－2，求函数y=2x＋eq \f(1,x＋2)的最大值.
【答案解析】解：∵x<－2，∴x＋2<0，－(x＋2)>0.
∴y=2(x＋2)＋eq \f(1,x＋2)－4=－[－2(x＋2)＋eq \f(－1,x＋2)]－4
≤－2eq \r(－2x＋2·\f(－1,x＋2))－4=－2eq \r(2)－4.
当且仅当－2(x＋2)=eq \f(－1,x＋2)(x<－2)，即x=－2－eq \f(\r(2),2)时，y取最大值－2eq \r(2)－4.