2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷3，共33页。

2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•杨浦区校级期中）在，0.1010010001…（每2个1之间依次多1个0），，3.14，0.，，这7个数中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021秋•浦东新区期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3
C．x2﹣2x﹣4 D．2x2﹣4xy+5y2
3．（2021秋•杨浦区期中）已知三角形两边长分别是1和2，第三边的长为2x2﹣5x+3＝0的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．4 B． C．4或 D．不存在
4．（2021秋•杨浦区校级期中）在①一个数的平方根是它本身，这个数只能是零；②64的平方根的立方根为±2；③；④（﹣3）2的平方根是﹣3；⑤是2的平方根中，正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021秋•普陀区期中）若＝5﹣a，则a的取值范围是（　　）
A．a≥5 B．a≤5 C．0≤a≤5 D．一切实数
6．（2021秋•普陀区期中）若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（　　）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
7．（2021秋•闵行区期中）下列方程中没有实数根的是（　　）
A．x2﹣3x＝0 B．x2﹣3x﹣2＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2﹣3x+2＝0
8．（2021秋•虹口区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为（　　）
A．3 B．0 C．﹣3 D．±3
9．（2021秋•杨浦区校级期中）的一个有理化因式是（　　）
A．0 B． C． D．
10．（2021秋•普陀区期中）当k＞0时，下列方程中一定有实数根的是（　　）
A．kx2+3＝0 B．（x+k）2+12＝0
C．kx2﹣4kx+1＝0 D．x2﹣x﹣k2＝0
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•闵行区期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x﹣1＝0是一元二次方程的条件是　 　．
12．（2021秋•杨浦区校级期中）已知，则x的取值范围是　 　．
13．（2021秋•杨浦区校级期中）的平方根是　 　．
14．（2021秋•杨浦区校级期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，则x＝　 　．
15．（2021秋•杨浦区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD，则△COD是等边三角形；当α＝　 　时，△AOD是以OD为底的等腰三角形．

16．（2021秋•普陀区期中）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了210次手，那么参加此次会议的有　 　人．
17．（2021秋•嘉定区期中）写出的一个有理化因式　 　．
18．（2021秋•普陀区期中）方程x2＝的解为　 　；方程4x2+3x＝0的解是　 　．
19．（2021秋•杨浦区校级期中）在△ABC中，AB＝AC＝25，△ABC的面积为100，CF是AB边上的高，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PD与PE的长度和为　 　．

20．（2021秋•普陀区期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x＝1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•杨浦区校级期中）化简：．
22．（2021秋•杨浦区校级期中）化简：．
23．（2021秋•嘉定区期中）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
24．（2021秋•闵行区期中）计算：
（1）﹣+；
（2）3×÷2（x＞0，y＞0）．
25．（2021秋•杨浦区校级期中）解方程：（3x+2）2＝4（x﹣3）2．
26．（2021秋•松江区期中）解方程：2（3x﹣2）＝（2﹣3x）（x+3）
27．（2021秋•徐汇区期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
28．（2021秋•普陀区期中）某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件．
（1）如果每天的利润要达到700元，售价应定为每件多少元？
（2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？
29．（2021秋•上海期中）如图，现准备用32米长的木板建一个面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．
（1）如果墙长16米，求仓库的长和宽；
（2）如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长a米至少要多少米？

30．（2021秋•普陀区期中）如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作直角三角形ADE，且AD＝AE．
解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图a，联结线段CE，那么CE、BD之间的位置关系为　 　，数量关系为　 　；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图b，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如果点D在线段BC上运动，如图c，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作∠EAD＝45°，交边BC于E点，请问线段BD、DE、EC所围所成的三角形的形状，并说明理由．


2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•杨浦区校级期中）在，0.1010010001…（每2个1之间依次多1个0），，3.14，0.，，这7个数中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】算术平方根；无理数．菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
3.14是有限小数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有：0.1010010001…（每2个1之间依次多1个0），，共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2021秋•浦东新区期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A．6x2+x﹣15 B．3y2+7y+3
C．x2﹣2x﹣4 D．2x2﹣4xy+5y2
【考点】实数范围内分解因式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可．
【解答】解：6x2+x﹣15＝0
△＝1+4×6×15＝361＞0，A在实数范围内能因式分解；
3y2+7y+3＝0
△＝49﹣4×3×3＝13＞0，B在实数范围内能因式分解；
x2﹣2x﹣4＝0
△＝4+4×1×4＝20＞0，C在实数范围内能因式分解；
2x2﹣4xy+5y2＝0
△＝16y2﹣4×2×5y2＝﹣24y2＜0，D在实数范围内不能因式分解；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．（2021秋•杨浦区期中）已知三角形两边长分别是1和2，第三边的长为2x2﹣5x+3＝0的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．4 B． C．4或 D．不存在
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】因式分解．
【分析】用十字相乘法因式分解，求出方程的两个根，分别是1和，再讨论三角形三边的关系，确定三角形第三边的长度，求出三角形的周长．
【解答】解：2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝1，x2＝．
因为三角形两边长分别是1和2，则第三边长不能是1，只能是，
所以周长是4．
故选：B．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，确定方程的解中是三角形的第三边，然后求出三角形的周长．
4．（2021秋•杨浦区校级期中）在①一个数的平方根是它本身，这个数只能是零；②64的平方根的立方根为±2；③；④（﹣3）2的平方根是﹣3；⑤是2的平方根中，正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平方根；算术平方根；立方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】①根据平方根的定义判断；
②根据立方根的定义判断；
③根据算术平方根的定义判断；
④⑤根据平方根的定义判断．
【解答】解：①一个数的平方根是它本身，这个数只能是零；说法正确；
②64的平方根的立方根为±2，故②说法正确；
③，故③说法错误；
④（﹣3）2的平方根是±3，故④说法错误；
⑤是2的平方根；说法正确；
所以正确的是①②⑤共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
5．（2021秋•普陀区期中）若＝5﹣a，则a的取值范围是（　　）
A．a≥5 B．a≤5 C．0≤a≤5 D．一切实数
【考点】二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵≥0，
∴5﹣a≥0，
∴a≤5，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．（2021秋•普陀区期中）若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（　　）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
【考点】分母有理化．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由于a+b≠0，ab≠±1，
∴a与b不是互为相反数，倒数、负倒数，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解倒数、相反数、负倒数的概念，本题属于基础题型．
7．（2021秋•闵行区期中）下列方程中没有实数根的是（　　）
A．x2﹣3x＝0 B．x2﹣3x﹣2＝0 C．x2﹣3x+3＝0 D．x2﹣3x+2＝0
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：（A）∵a＝1，b＝﹣3，c＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，故A有实数根．
（B）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，故B有实数根．
（C）∵a＝1，b＝﹣3，c＝3
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3，故C没有实数根．
（D）∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝4＞0，故D有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8．（2021秋•虹口区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为（　　）
A．3 B．0 C．﹣3 D．±3
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；数据分析观念．
【分析】方程整理为一般形式，根据常数项为0确定出m的值即可．
【解答】解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，
由常数项为0，得到m2﹣9＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，
则m＝﹣3，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
9．（2021秋•杨浦区校级期中）的一个有理化因式是（　　）
A．0 B． C． D．
【考点】分母有理化．菁优网版权所有
【专题】二次根式；数感．
【分析】写出原式的有理化因式即可．
【解答】解：的一个有理化因式是﹣1﹣．
故选：C．
【点评】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
10．（2021秋•普陀区期中）当k＞0时，下列方程中一定有实数根的是（　　）
A．kx2+3＝0 B．（x+k）2+12＝0
C．kx2﹣4kx+1＝0 D．x2﹣x﹣k2＝0
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．
【解答】解：A．由kx2+3＝0得x2＝﹣＜0，没有实数根；
B．由（x+k）2+12＝0得（x+k）2＝﹣12＜0，没有实数根；
C．kx2﹣4kx+1＝0中Δ＝（﹣4k）2﹣4k＝16k2﹣4k，不一定有实数根；
D．x2﹣x﹣k2＝0中，Δ＝（﹣1）2﹣4××（﹣k2）＝1+2k2＞0，一定有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•闵行区期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x﹣1＝0是一元二次方程的条件是　m≠1　．
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m﹣1≠0，继而即可得出m的取值范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m﹣1≠0，
解得m≠1．
故答案为：m≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
12．（2021秋•杨浦区校级期中）已知，则x的取值范围是　x≥1且x≠2　．
【考点】立方根；二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，x2﹣4≠0，
解得，x≥1且x≠2，
故答案为：x≥1且x≠2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、立方根的概念、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
13．（2021秋•杨浦区校级期中）的平方根是　±　．
【考点】平方根；算术平方根．菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据平方根的定义求出答案即可．
【解答】解：∵＝15，
∴的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】此题考查了算术平方根和平方根，需要熟练掌握算术平方根和平方根的定义和求法，是一道基础题．
14．（2021秋•杨浦区校级期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，则x＝　1　．
【考点】最简二次根式；同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：∵＝8，
又∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴3x+2＝5，
∴x＝1；
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
15．（2021秋•杨浦区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD，则△COD是等边三角形；当α＝　125°　时，△AOD是以OD为底的等腰三角形．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由旋转的可得∠BOC＝∠ADC＝α，由等腰三角形的性质可求∠AOD＝∠ADO＝∠ADC﹣60°＝α﹣60°，即可求解．
【解答】解：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC＝α，
∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，
∴∠AOD＝∠ADO＝∠ADC﹣60°＝α﹣60°，
∵110°+α+（60°+∠AOD）＝360°，
∴110°+α+（60°+α﹣60°）＝360°，
解得α＝125°，
故答案为：125°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
16．（2021秋•普陀区期中）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了210次手，那么参加此次会议的有　21　人．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为x（x﹣1），根据一共握了210次手列出方程求解．
【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，x（x﹣1）＝210，
整理，得x2﹣x﹣420＝0
解得x1＝21，x2＝﹣20，（舍去）
则参加这次会议的有21人．
故答案为：21．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为x（x﹣1）．
17．（2021秋•嘉定区期中）写出的一个有理化因式　（答案不唯一）　．
【考点】分母有理化．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用有理化因式的定义求解．
【解答】解：的一个有理化因式（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是熟记有理化因式的定义．
18．（2021秋•普陀区期中）方程x2＝的解为　x＝±　；方程4x2+3x＝0的解是　x1＝0，x2＝﹣　．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】因式分解；一元二次方程及应用．
【分析】利用直接开平方法解方程；利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2＝，
x2＝13，
x＝±；

4x2+3x＝0，
x（4x+3）＝0，
x＝0或4x+3＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣．
故答案是：x＝±；x1＝0，x2＝﹣．
【点评】考查了因式分解法和直接开平方法解一元二次方程．因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．（2021秋•杨浦区校级期中）在△ABC中，AB＝AC＝25，△ABC的面积为100，CF是AB边上的高，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PD与PE的长度和为　8　．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】可连接AP，由图得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【解答】解：连接AP，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，AB＝AC＝25，△ABC的面积为100，
∴100＝×25×PD+×25×PE＝12.5（PD+PE），
∴PD+PE＝8．
故答案为：8．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
20．（2021秋•普陀区期中）关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x＝1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣2且a≠﹣1　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x＝1，即（a+1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×（a+1）×（﹣1）＝4a+8＞0，
解得：a＞﹣2，
又a+1≠0，
∴a≠﹣1，
则a＞﹣2且a≠﹣1，
故答案为：a＞﹣2且a≠﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，也考查了一元二次方程的定义．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•杨浦区校级期中）化简：．
【考点】分母有理化；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先分母有理化，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣（+）+×
＝﹣﹣+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（2021秋•杨浦区校级期中）化简：．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先将分母有理化，然后再通分化简，即可得出答案．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝+
＝+．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则及同类二次根式的合并，难度一般．
23．（2021秋•嘉定区期中）先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；二次根式．
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝＝3﹣2，
∴x﹣2＝1﹣2＜0，
则原式＝x﹣1+
＝x﹣1﹣1
＝x﹣2
＝1﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
24．（2021秋•闵行区期中）计算：
（1）﹣+；
（2）3×÷2（x＞0，y＞0）．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）先化简各二次根式，再计算加减可得；
（2）根据二次根式的乘除运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+＝；

（2）原式＝3××
＝•
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
25．（2021秋•杨浦区校级期中）解方程：（3x+2）2＝4（x﹣3）2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（3x+2）2＝4（x﹣3）2．
∴（3x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，
∴[（3x+2）+2（x﹣3）][（3x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，
则5x﹣4＝0或x+8＝0，
解得x1＝，x2＝﹣8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
26．（2021秋•松江区期中）解方程：2（3x﹣2）＝（2﹣3x）（x+3）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】先移项，然后通过提取公因式（3x﹣2）进行因式分解；
【解答】解：2（3x﹣2）＝（2﹣3x）（x+3），
2（3x﹣2）+（3x﹣2）（x+3）＝0，
（3x﹣2）（2+x+3）＝0，
则3x﹣2＝0或5+x＝0，
解得x1＝，x2＝﹣5．
【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
27．（2021秋•徐汇区期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；运算能力．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【解答】解：∵方程（2m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且2m﹣1≠0且m≥0即（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＞0且m≠且m≥0，
解得0≤m＜1且m≠．
故m的取值范围是0≤m＜1且m≠．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及根的判别式，利用根的判别式求得m的取值范围是的关键．
28．（2021秋•普陀区期中）某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件．
（1）如果每天的利润要达到700元，售价应定为每件多少元？
（2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大利润是多少？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用．
【分析】（1）如果设每件商品提高x元，可先用x表示出单件的利润以及每天的销售量，然后根据总利润＝单价利润×销售量列出关于x的方程，进而求出未知数的值．
（2）首先设应将售价提为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，根据题意可得：y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]，然后化简配方，即可得y＝﹣20（x﹣14）2+720，即可求得答案．
【解答】解：（1）设每件商品提高x元，
则每件利润为（10+x﹣8）＝（x+2）元，
每天销售量为（200﹣20x）件，
依题意，得：（x+2）（200﹣20x）＝700．
整理得：x2﹣8x+15＝0．
解得：x1＝3，x2＝5．
∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元；
若设每件商品降价x元，
则（2﹣x）（200+20x）＝700．
整理得：x2+8x+15＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣5，
∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元．
（2）设利润为y：
则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
＝﹣20x2+560x﹣3200
＝﹣20（x﹣14）2+720，
则当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
答：把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元，将售价定位每件14元时，能使每天可获的利润最大，最大利润是720元．
【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
29．（2021秋•上海期中）如图，现准备用32米长的木板建一个面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门．
（1）如果墙长16米，求仓库的长和宽；
（2）如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长a米至少要多少米？

【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设长方形的长为x，则宽为米，而仓库的面积为130m2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题；
（2）根据长方形的长＞宽列出不等式，并解答．
【解答】解：（1）设长方形的长为x，则宽为米，
由题意，得x•＝130
解得x＝13或x＝20
当x＝20时，显然20＞16，不符合题意，舍去
所以x＝13．
答：长方形的长为13，则宽为10米；

（2）∵宽为10米＞9米，
∴此时不符合题意．
当长为20米时，宽为6.5米＜9米，
∴a≥20米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
30．（2021秋•普陀区期中）如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作直角三角形ADE，且AD＝AE．
解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图a，联结线段CE，那么CE、BD之间的位置关系为　CE⊥BD　，数量关系为　CE＝BD　；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图b，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如果点D在线段BC上运动，如图c，联结AD，以AD为一边且在AD的右侧作∠EAD＝45°，交边BC于E点，请问线段BD、DE、EC所围所成的三角形的形状，并说明理由．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；三角形．
【分析】（1）根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
（2）先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到（1）中的结论仍然成立；
（3）作AF⊥AD，且AF＝AD，连接CF，EF，先证△BAD≌△CAF得BD＝CF，∠B＝∠ACF，由∠B+∠ACB＝90°知∠ECF＝90°，再证△DAE≌△FAE得DE＝EF，根据EC2+CF2＝EF2得EC2+BD2＝DE2，从而得出答案．
【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．
理由：如图a，

∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又 BA＝CA，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD．
∵∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．

（2）当点D在BC的延长线上时，（1）的结论仍成立．
如图b，

∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
又AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴CE＝BD，且∠ACE＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
即 CE⊥BD；

（3）如图，作AF⊥AD，且AF＝AD，连接CF，EF，

∴∠DAC+∠CAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，即∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠CAF＝∠BAD，
∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD＝CF，∠B＝∠ACF，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，即∠ECF＝90°，
∵∠DAE＝45°，∠DAF＝90°，
∴∠DAE＝∠FAE＝45°，
∵AD＝AF，AE＝AE，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴DE＝EF，
在Rt△ECF中，∵EC2+CF2＝EF2，
∴EC2+BD2＝DE2，
∴线段BD、DE、EC所围所成的三角形是直角三角形．
【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点．

考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
5．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
6．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
10．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
11．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
12．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
13．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
15．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
16．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
17．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
18．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
19．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
20．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
21．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
22．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
25．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
26．三角形综合题
三角形综合题．
27．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．