2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷3，共31页。
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2021秋•海珠区校级期中）如图，△ABC≌△A'B'C，∠ACB＝90°，∠A'CB＝20°，则∠ACB'的度数为（ ）
A．120°B．140°C．150°D．160°
3．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
4．（2021秋•海珠区校级期中）如图，BC＝BE，CD＝ED，则△BCD≌△BED，其依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
5．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，△ABD≌△BAC，如果AB＝4cm，BD＝3cm，AD＝5cm，那么BC的长是（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．无法确定
6．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠CC．∠BDA＝∠CDAD．BD＝CD
7．（2021秋•番禺区校级期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定
8．（2021秋•天河区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．7cmB．16cmC．19cmD．17cm或19cm
9．（2021秋•越秀区校级期中）如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E、D，BD、CE交于点O，AB＝AC，∠B＝20°，则∠AOD＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．55°
10．（2021秋•越秀区校级期中）如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AE，交AC的延长线于点F，且垂足为E，则下列结论①AD＝BF；②BF＝AF；③AC+CD＝AB；④AB＝BF：⑤AD＝2BE．其中正确的结论有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3，则点D到AB的距离是 ．
12．（2021秋•越秀区校级期中）等腰三角形的一边是4cm，另一边是9cm，则它的腰长是 cm．
13．（2021秋•越秀区期中）等腰三角形中，已知两边的长分别是9和6，则周长为 ．
14．（2021秋•海珠区校级期中）如图：DC∥AB，要证△ABD≌△CDB，根据“SAS”可知，需要添加一个条件： ．
15．（2021秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加 条件时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个你认为正确的条件）
16．（2021秋•海珠区校级期中）如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，E是AC上一点，DF⊥AB，若DB＝ED，EC＝FB，则下列结论：①DC＝DF；②AD平分∠CAB；③AC＝AD；④AE+AB＝2AC中，正确的是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD＝2，求△ABD的面积．
18．（2021秋•海珠区校级期中）Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BC＝10．
（1）作∠C的平分线，交AB于D（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）求△BCD的面积．
19．（2021秋•天河区校级期中）如图，在△ABC中，
（1）作AC边上的高
（2）作AB边的高
20．（2021秋•越秀区校级期中）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣4），C（2，﹣3）．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，线段AC在平移过程中扫的面积为 ；
（2）作出△A1B1C1关于y轴对称的图形△A2B2C2，则坐标C2为 ；
（2）若△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为 （点C与点D不重合）
21．（2021秋•越秀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE＝2cm，求BC的长．
22．（2021秋•越秀区校级期中）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAC＝77°，求∠BPC的度数．
23．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且DE⊥AB，DF⊥AC．
（1）若点D为BC中点，求证：DE＝DF；
（2）若点D为边BC上任意一点，且AB＝4，△ABC的面积为6，求DE+DF的值．
24．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，△ABC为等边三角形，点D为△ABC外一点，AD交BC于点O，∠BDC＝120°．
（1）如图1所示，若DB＝DC，求证：AD⊥BC；
（2）如图2所示，若DB≠DC，试判断∠ADB与∠ADC的大小关系，并证明你的结论．
2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•海珠区校级期中）若一个正多边形的内角和小于外角和，则该正多边形的每个内角度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】可以设这个正多边形为n边形，根据正n边形内角和定理即可求出n的值，进而求得每个内角的度数．
【解答】解：设这个正多边形为n边形，
根据题意，得：
（n﹣2）×180°＜360°，
解得n＜4．
所以该正多边形为等边三角形，
所以该正多边形的每个内角度数为60°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理．
2．（2021秋•海珠区校级期中）如图，△ABC≌△A'B'C，∠ACB＝90°，∠A'CB＝20°，则∠ACB'的度数为（ ）
A．120°B．140°C．150°D．160°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A′CB′＝∠ACB＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴∠ACB'＝∠A′CB′+∠ACB﹣∠A'CB＝160°，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案为：6，
故选：C．
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
4．（2021秋•海珠区校级期中）如图，BC＝BE，CD＝ED，则△BCD≌△BED，其依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据题目中的条件，可以写出△BCD≌△BED的依据，从而可以解答本题．
【解答】解：在△BCD和△BED中，
，
∴△BCD≌△BED（SSS），
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形全等的判定方法解答．
5．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，△ABD≌△BAC，如果AB＝4cm，BD＝3cm，AD＝5cm，那么BC的长是（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．无法确定
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据△ABD≌△BAC，AD＝5，可以得到AD＝BC＝5cm，本题得以解决．
【解答】解：∵△ABD≌△BAC，AD＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质解答．
6．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠CC．∠BDA＝∠CDAD．BD＝CD
【考点】全等三角形的判定．
【专题】常规题型．
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定；熟记三角形全等的判定方法是关键．
7．（2021秋•番禺区校级期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定
【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
故1＜AD＜7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
8．（2021秋•天河区校级期中）已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．7cmB．16cmC．19cmD．17cm或19cm
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】等腰三角形两边的长为5cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长＝5+5+7＝17cm；
②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长＝5+7+7＝19cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．
9．（2021秋•越秀区校级期中）如图，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分别为E、D，BD、CE交于点O，AB＝AC，∠B＝20°，则∠AOD＝（ ）
A．20°B．40°C．50°D．55°
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【分析】首先证明△BAD≌△CAE（AAS），推出AD＝AE，再证明Rt△AOE≌Rt△AOD（HL），可得∠AOD＝∠AOE，即可解决问题；
【解答】解：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∵∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（AAS），
∴AD＝AE，
∵AO＝AO，
∴Rt△AOE≌Rt△AOD（HL），
∴∠AOD＝∠AOE，
∵B＝20°，
∴∠EOD＝90°+20°＝110°，
∴∠AOD＝∠EOD＝55°，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2021秋•越秀区校级期中）如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AE，交AC的延长线于点F，且垂足为E，则下列结论①AD＝BF；②BF＝AF；③AC+CD＝AB；④AB＝BF：⑤AD＝2BE．其中正确的结论有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】根据∠ACB＝90°，BF⊥AE，得出∠ACB＝∠BED＝∠BCF＝90°，推出∠F＝∠ADC，证△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①②；假如AC+CD＝AB，求出∠F+∠FBC＝90°，即可判断③④，证根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，推出BE＝EF，即可判断⑤．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BF⊥AE，
∴∠ACB＝∠BED＝∠BCF＝90°，
∴∠F+∠FBC＝90°，∠BDE+∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠F＝∠ADC，
∵AC＝BC，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD＝BF，∴①正确；
∵AF＞AD，
∴BF≠AF②错误；
∵△BCF≌△ACD，
∴CD＝CF，
∴AC+CD＝AF，
∵△BCF≌△ACD，
∴CD＝CF，
∴AC+CD＝AF，
又∵AB＝AF，
∴AC+CD＝AB．
∴③正确；
∵BF＝AC，AC＜AF＝AB，
∴AB＞BF，
∴④错误；
由△BCF≌△ACD，
∴AD＝BF，
∵AE平分∠BAF，AE⊥BF，
∴∠BEA＝∠FEA＝90°，∠BAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，∴△BEA≌△FEA，
∴BE＝EF，
∴⑤正确；
综上所述，正确的结论是：①③⑤，共有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3，则点D到AB的距离是 3 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE＝CD．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE＝CD＝3，
∴点D到AB的距离为3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了角平分线的性质，此题比较简单，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．
12．（2021秋•越秀区校级期中）等腰三角形的一边是4cm，另一边是9cm，则它的腰长是 9 cm．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】分腰长为4cm和9cm两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行验证即可得出结论．
【解答】解：当腰长为4cm时，此时三角形的三边为4cm、4cm、9cm，此时4+4＜9，不满足三角形的三边关系，不合题意；
当腰长为9cm时，此时三角形的三边为9cm、9cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时腰长为9cm，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行验证．
13．（2021秋•越秀区期中）等腰三角形中，已知两边的长分别是9和6，则周长为 21或24 ．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】常规题型．
【分析】分9是底和腰两种情况进行讨论，利用三角形的三边关系来判断，再计算其周长即可．
【解答】解：当边长为9的边为底时，三角形的三边长为：9、6、6，满足三角形的三边关系，此时其周长为21；
当边长为9的边为腰时，三角形的三边长为：9、9、6，满足三角形的三边关系，此时其周长为24．
故答案为：21或24．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．
14．（2021秋•海珠区校级期中）如图：DC∥AB，要证△ABD≌△CDB，根据“SAS”可知，需要添加一个条件： AB＝CD ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据题目中的条件和证明三角形全等的判定方法，可以写出需要添加的条件．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵BD＝DB，
∴要证△ABD≌△CDB（SAS），需要添加一个条件AB＝CD，
故答案为：AB＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形全等的判定方法解答．
15．（2021秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加 BC＝DE 条件时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个你认为正确的条件）
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由AD＝CF利用等式的性质可得AC＝DF，再添加BC＝DE可利用SSS判定△ABC≌△FED．
【解答】解：∵AD＝CF，
∴AD+DC＝FC+DC，
即AC＝DF，
在△ABC和△FED中，
∴△ABC≌△FED（SSS），
故答案为：BC＝DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
16．（2021秋•海珠区校级期中）如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，E是AC上一点，DF⊥AB，若DB＝ED，EC＝FB，则下列结论：①DC＝DF；②AD平分∠CAB；③AC＝AD；④AE+AB＝2AC中，正确的是 ①②④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】推理填空题；图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形判定和性质，直角三角形性质，角平分线性质逐一进行证明即可判断．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
在Rt△DCE和Rt△DFB中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴DC＝DF；
所以①正确；
∵DC⊥AC，DF⊥AB，DC＝DF，
∴AD平分∠CAB；
所以②正确；
∵△ADC是直角三角形，
∴AD＞AC；
所以③错误；
在Rt△ADC和Rt△ADF中，
，
在Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴AC＝AF，
∵DC＝DF；
∴AE+AB＝AC﹣CE+AF+BF＝2AC．
所以④正确．
所以正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形性质，角平分线性质等．解题关键利用角平分线性质求解．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD＝2，求△ABD的面积．
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【分析】作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝2，
∴S△ABD＝×AB×DE＝×8×2＝8．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．（2021秋•海珠区校级期中）Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，BC＝10．
（1）作∠C的平分线，交AB于D（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）求△BCD的面积．
【考点】角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作CD平分∠ACB；
（2）作DE⊥BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AB＝8，再利用面积法计算出DE＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，CD为所作；
（2）作DE⊥BC于E，如图，
∵∠A＝90°，AC＝6，BC＝10，
∴AB＝＝8，
∵CD平分∠ACB，DA⊥CA，DE⊥BC，
∴DE＝DA，
∵DA×6+DE×10＝×6×8，解得DE＝3，
∴S△BCD＝×3×10＝15．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
19．（2021秋•天河区校级期中）如图，在△ABC中，
（1）作AC边上的高
（2）作AB边的高
【考点】三角形的角平分线、中线和高；作图—基本作图．
【专题】作图题．
【分析】根据三角形的高的定义作图即可得．
【解答】解：（1）如图所示，BD即为AC边上的高；
（2）如图所示，CE即为AB边上的高．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握三角形高线的概念，并掌握钝角三角形高线的作法．
20．（2021秋•越秀区校级期中）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣4），C（2，﹣3）．
（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，线段AC在平移过程中扫的面积为 38 ；
（2）作出△A1B1C1关于y轴对称的图形△A2B2C2，则坐标C2为 （﹣6，3） ；
（2）若△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为 （2，1），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）． （点C与点D不重合）
【考点】全等三角形的性质；作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可，然后用一个矩形的面积分别减去四个直角三角形的面积去计算线段AC在平移过程中扫的面积；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）根据全等三角形的性质确定D点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；线段AC在平移过程中扫的面积＝11×7﹣2××4×6﹣2××5×3＝38；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2为的坐标为（﹣6，3）；
故答案为38；（﹣6，3）；（2，1），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换和全等三角形的性质．
21．（2021秋•越秀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE＝2cm，求BC的长．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图．
【专题】三角形．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）先求出AD＝CD，得出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝2DE＝10，再证∠BAD＝90°，得出BD＝2AD＝20，即可求出BC的长．
【解答】解：（1）线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4cm，∠BAD＝120°﹣30°＝90°，
∴BD＝2AD＝8cm，
∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质；利用线段垂直平分线得出线段相等、角相等是解题的关键．
22．（2021秋•越秀区校级期中）某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
（1）若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAC＝77°，求∠BPC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）连接AB，AC，作线段AB，AC的垂直平分线即可．
（2）证明点P是△ABC的外心，利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）连接PA，PB，PC，
∵点P在线段AB，AC的垂直平分线上，
∴PA＝PB＝PC，
∴点P是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC＝154°．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且DE⊥AB，DF⊥AC．
（1）若点D为BC中点，求证：DE＝DF；
（2）若点D为边BC上任意一点，且AB＝4，△ABC的面积为6，求DE+DF的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AD平分∠BAC，再利用角平分线的性质可证明结论；
（2）由三角形的面积公式可求S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•DF，再根据S△ABC＝6，AB＝AC＝4，可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝6，AB＝AC＝4，
∴S△ABC＝AB•DE+AC•DF＝×4•DE+×4•DF＝×4•（DE+DF）＝6，
解得DE+DF＝3．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，灵活运用面积法是解题的关键．
24．（2021秋•越秀区校级期中）如图所示，△ABC为等边三角形，点D为△ABC外一点，AD交BC于点O，∠BDC＝120°．
（1）如图1所示，若DB＝DC，求证：AD⊥BC；
（2）如图2所示，若DB≠DC，试判断∠ADB与∠ADC的大小关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC，利用线段垂直平分线的判定可得A点在线段BC的垂直平分线上，同理也可得D点在线段BC的垂直平分线上，进而可证明结论；
（2）将AD绕A点按逆时针方向旋转60°，连接CE，则AD＝AE，∠DAE＝60°，利用SAS证明△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝∠ABD，通过在D，C，E在同一条直线上，可证明△ADE为等边三角形，进而可证得∠ADB＝∠ADC＝60°．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴A点在线段BC的垂直平分线上，
∵DB＝DC，
∴D点在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC；
（2）∠ADB＝∠ADC．
证明：将AD绕A点按逆时针方向旋转60°，连接CE，则AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BDC＝120°，∠BAC＝60°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∴∠ACE+∠ACD＝180°，
∴D，C，E在同一条直线上，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADB＝∠ADC．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点的综合运用．
考点卡片
1．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
3．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
4．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
10．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
14．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
15．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
16．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
17．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
18．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．