2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷2，共35页。

A．30°B．50°C．60°D．100°
2．（2021秋•广州期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
3．（2021秋•广州期中）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（1，1）、（5，1）、（2，3），若△ABD与△ABC全等（点C与点D不重合），则点D的坐标不可能是（ ）
A．（4，3）B．（6，3）C．（2，﹣1）D．（4，﹣1）
4．（2018秋•南京期末）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
5．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为20，AC＝8，则DC为（ ）
A．6B．8C．9D．10
6．（2021秋•广州期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．7，8，15C．5，6，10D．3，3，6
7．（2021秋•广州期中）如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝20°，则∠E＝（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
8．（2021秋•越秀区校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（ ）
A．24°B．28°C．32°D．36°
9．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝20，BC＝15，AC＝12，则△ADE的周长是（ ）
A．27B．30C．32D．35
10．（2021秋•广州期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，已知AB＝AC，添加下列一个条件后仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BE＝CDD．BD＝CE
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，则图中全等三角形共有 对．
12．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，AC＝8，BC＝6，则△ACD的面积为 ．
13．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长n次后得到的△A2016B2016C2016的面积为 ．
14．（2021秋•番禺区期中）如图所示，在△ABC中，D在AC上，连接BD，且∠ABC＝∠C＝∠1，∠A＝∠3，则∠A的度数为 ．
15．（2021秋•广州期中）工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 ．
16．（2021秋•增城区期中）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，点E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论，①AD＝BE；②CP＝CQ；③OB＝DE；④PQ∥AE，一定成立的结论有 （请把正确结论的序号填在横线上）．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•越秀区校级期中）如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝105°，求∠C的度数．
18．（2021秋•广州期中）一个多边形的内角和比六边形的内角和多360°，求这个多边形的边数．
19．（2021秋•广州期中）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点O，∠A＝50°，∠ABE＝30°，∠ACD＝35°，求∠BOD的度数．
20．（2021秋•越秀区校级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）连接AF，求证：AF＝CF．
21．（2021秋•广州期中）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点D在线段AE上时，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．易证：DE＝BD﹣CE．
（1）如图②，点D在线段AE的延长线时，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请证明．
（2）如图③，点D在线段EA的延长线时，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
22．（2021秋•花都区期中）如图1，△ABC中，点D是BC的中点，BE∥AC，过点D的直线EF交BE于点E，交AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，过点D作DG⊥DF交AB于点G，连接GF，请你判断BG+CF与GF的大小关系，并说明理由．
23．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点
（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．
（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．
24．（2021秋•增城区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．
2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC≌△DEF，点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，则∠E等于（ ）
A．30°B．50°C．60°D．100°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
2．（2021秋•广州期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1B．2C．3D．4
【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据等边三角形的性质可得BD＝CD，再根据平行线的性质可得∠BED＝∠EDB＝60°，可得△BED是等边三角形，即可得出BD＝ED＝BE，再根据BD＝CD，ED∥AC，可得ED是△ABC的中位线，即可得出BE＝AE，即可得出答案．
【解答】解：∵AD是BC上的高，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠EDB＝60°，∠B＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BD＝ED＝BE，
∵BD＝CD，ED∥AC，
∴ED是△ABC的中位线，
∴BE＝AE，
∴BD＝AE．
∴图中与BD（BD除外）相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形判定及性质及平行线的性质，熟练应用等边三角形判定及性质及平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
3．（2021秋•广州期中）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（1，1）、（5，1）、（2，3），若△ABD与△ABC全等（点C与点D不重合），则点D的坐标不可能是（ ）
A．（4，3）B．（6，3）C．（2，﹣1）D．（4，﹣1）
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据题意画出图形，根据全等三角形的性质判断即可．
【解答】解：如图所示，点D的坐标可能是（4，3），（2，﹣1），（4，﹣1），
不可能是（6，3），
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、坐标与图形性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
4．（2018秋•南京期末）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【专题】几何图形；推理能力．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
5．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为20，AC＝8，则DC为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的周长公式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC周长为20，
∴AB+BC+AC＝20，
∵AC＝8，
∴AB+BC＝12，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝6，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝6，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（2021秋•广州期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．7，8，15C．5，6，10D．3，3，6
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、3+4＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、7+8＝15，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、5+6＞10，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．（2021秋•广州期中）如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝20°，则∠E＝（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【分析】根据平行线的性质，得出∠AOC＝∠A＝50°，再根据∠AOC是△COE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠AOC＝∠A＝50°，
∵∠AOC是△COE的外角，∠C＝20°，
∴∠E＝∠AOC﹣∠C＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．（2021秋•越秀区校级期中）如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（ ）
A．24°B．28°C．32°D．36°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】数形结合；方程思想；三角形；运算能力；推理能力．
【分析】结合图形，由三角形的外角性质可得∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2；由折叠可得，∠A＝∠A'，结合已知条件∠1＝80°，∠2＝24°，可得关于∠A的方程，求解即可．
【解答】解：如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB＝20，BC＝15，AC＝12，则△ADE的周长是（ ）
A．27B．30C．32D．35
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．求证∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DOB＝∠DBO，∠COE＝∠BCO，即BD＝DO，OE＝CE，然后利用等量代换即可求出结论．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+AE+EC＝AB+AC．
∵AB＝20，AC＝12，
∴△ADE的周长＝20+12＝32．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的性质和等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（2021秋•广州期中）如图，点D在AB上，点E在AC上，已知AB＝AC，添加下列一个条件后仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BE＝CDD．BD＝CE
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
B、在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
C、根据AB＝AC，BE＝CD和∠A＝∠A不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
D、∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AD＝AE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，则图中全等三角形共有 3 对．
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理SSS证得△ABD≌△ACD；根据SAS证得△ABE≌△ACE；根据SSS证得△BDE≌△CDE；因为D是BC的中点，所以BD＝DC，又因为AB＝AC，AD＝AD，所以可根据SSS判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AE为∠BAC的平分线，即∠BAE＝∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∵△ABE≌△ACE，
∴BE＝CE，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
共有3对全等三角形．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
12．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，AC＝8，BC＝6，则△ACD的面积为 12 ．
【考点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴S△ACB＝AC•BC＝6×8＝24，
∵CD是AB边上的中线，
∴BD＝AD，
∴△ACD的面积＝S△ACB＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
13．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长n次后得到的△A2016B2016C2016的面积为 72016 ．
【考点】规律型：图形的变化类；三角形的面积．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此类推写出即可．
【解答】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，S△A1B1C1＝7S△ABC，
同理S△A2B2C2＝7S△A1B1C1，＝72S△ABC，
依此类推，S△A2016B2016C2016＝72016S△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴S△A2016B2016C2016＝72016．
故答案为：72016．
【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
14．（2021秋•番禺区期中）如图所示，在△ABC中，D在AC上，连接BD，且∠ABC＝∠C＝∠1，∠A＝∠3，则∠A的度数为 36° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】设∠A＝∠3＝x°，得出∠1＝∠A+∠3＝2x°，得出∠ABC＝∠C＝∠1＝2x°，根据∠A+∠ABC+∠C＝180°得出方程x+2x+2x＝180，求出即可．
【解答】解：设∠A＝∠3＝x°，
则∠1＝∠A+∠3＝2x°，
∵∠ABC＝∠C＝∠1，
∴∠ABC＝∠C＝∠1＝2x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠A＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想．
15．（2021秋•广州期中）工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【考点】三角形的稳定性．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
16．（2021秋•增城区期中）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A，点E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论，①AD＝BE；②CP＝CQ；③OB＝DE；④PQ∥AE，一定成立的结论有 ①②④ （请把正确结论的序号填在横线上）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以①正确，对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明△ACP与△BCQ全等，根据全等三角形对应角相等可得PC＝PQ，所以②正确；从而得到△CPQ是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明PQ∥AE，所以④正确
【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，PC＝QC，故②正确；
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故④正确；
由图象可知：DE的长度变小时，OB的长变大，
∴DE不一定等于OB，
故③错误；
故答案为①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，要多次证明三角形全等，综合性质较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•越秀区校级期中）如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝105°，求∠C的度数．
【考点】平行线的性质；多边形内角与外角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；应用意识．
【分析】过点B在B的右侧作BF∥AE，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：过点B在B的右侧作BF∥AE．
∵BF∥AE，∠A＝140°，
∴∠ABF＝180°﹣140°＝40°，
∵∠B＝105°，
∴∠FBC＝105°﹣∠ABF＝65°，
又AE∥CD，BF∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠FBC＝115°．
【点评】本题考查平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
18．（2021秋•广州期中）一个多边形的内角和比六边形的内角和多360°，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，由此列出方程解出边数．
【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
设这个多边形的边数为n，
则有（n﹣2）•180°＝360°+720°，
解得n＝8．
答：这个多边形的边数是8．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即可解决问题，难度适中．
19．（2021秋•广州期中）如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点O，∠A＝50°，∠ABE＝30°，∠ACD＝35°，求∠BOD的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BDC＝85°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠ACD＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝85°，
∵∠ABE＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝65°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，利用应用三角形外角的性质是解本题的关键．
20．（2021秋•越秀区校级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）连接AF，求证：AF＝CF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）由D为BC的中点得出CD＝DB，再由等腰直角三角形结合垂直、平行的性质得出BF＝DB，∠CBF＝∠ACD，由BC＝AC，即可证出△ACD≌△CBF；
（2）由（1）得△BDF是等腰直角三角形，由等腰三角形三线合一可得BE垂直平分DF，根据线段垂直平分线的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝CB，∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，∠BDE＝45°，
又∵BF∥AC
∴∠CBF＝90°，
∴∠BFD＝∠BDE＝45°，∠CBF＝∠ACD＝90°，
∴BF＝DB，
∵D为BC的中点，
∴CD＝DB，
∴BF＝CD，
在Rt△CBF和Rt△ACD中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知：BF＝DB，∠CBF＝90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
又∵DE⊥AB，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵△ACD≌△CBF，
∴CF＝AD，
∴AF＝CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是关键．
21．（2021秋•广州期中）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点D在线段AE上时，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．易证：DE＝BD﹣CE．
（1）如图②，点D在线段AE的延长线时，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请证明．
（2）如图③，点D在线段EA的延长线时，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】（1）DE＝CE﹣BD成立，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD＝AE，AD＝CE，因为AD＝AE+ED，所以DE＝CE﹣BD；
（2）DE＝BD+CE，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD＝AE，AD＝CE，因为DE＝AD+AE，所以DE＝BD+CE．
【解答】解：（1）DE＝CE﹣BD，
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AD＝AE+ED，
∴CE＝BD+DE，
∴DE＝CE﹣BD；
（2）DE＝BD+CE；
∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝∠DEB+∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE，
∴DE＝BD+CE．
【点评】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
22．（2021秋•花都区期中）如图1，△ABC中，点D是BC的中点，BE∥AC，过点D的直线EF交BE于点E，交AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，过点D作DG⊥DF交AB于点G，连接GF，请你判断BG+CF与GF的大小关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；推理能力．
【分析】（1）先利用ASA判定△BED≌△CFD，从而得出BE＝CF；
（2）连接GE，利用全等的性质可得ED＝FD，再有DG⊥DF，从而得出EG＝GF，两边和大于第三边从而得出BG+CF＞GF．
【解答】解：（1）证明
∵BE∥AC，
∴∠DBE＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDE＝∠CDF，
在△BED与△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD（ASA）．
∴BE＝CF．
（2）BG+CF＞GF．理由如下：
连接GE，
∵△BED≌△CFD，
∴ED＝FD，BE＝CF．
又∵DG⊥FE，
∴EG＝FG（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BG+BE＞EG，
即BG+CF＞GF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点
（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．
（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；数形结合；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）以SAS判定△COF≌△CAE，即可得结论；
（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，再证明△GCF≌△ECF（SAS），从而S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF，将相关三角形和正方形的面积代入即可求得答案
【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴
∴∠ABO＝∠ACO＝90°
∵∠BOC＝90°
∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°
∴∠A＝∠BOC
∵C（0，4），A（4，4）
∴OC＝AC＝AB＝4
∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE
∴OF＝AE
在△COF和△CAE中
∴△COF≌△CAE（SAS）
∴CF＝CE．
（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，
则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°
∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°
∴∠GCF＝∠ECF
在△GCF和△ECF中
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∵S△ECF＝6
∴S△GCF＝6
∴S△ECA+S△OCF＝6
∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形
∴S四边形OBAC＝4×4＝16
∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4
∴S△BEF的值为4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形、三角形的面积计算，熟练掌握相关判定定理及其性质，是解题的关键．
24．（2021秋•增城区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到OC＝DC，∠BCO＝∠ACD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ODC＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，得到所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，∠BCO＝∠ACD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠BCO+∠OCA＝60°，
∴∠ACD+∠OCA＝60°，即∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°，
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°，
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°，
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°，
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°，
综上所述，当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
7．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
8．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
9．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
10．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
12．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
13．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
17．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
19．三角形综合题
三角形综合题．
20．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．