2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷1，共39页。

2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•金山区期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021秋•徐汇区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B．（a＞b＞0）
C． D．
3．（2021秋•杨浦区校级期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021秋•金山区期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021秋•徐汇区校级期中）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0 B．x2+﹣5＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0
6．（2021秋•金山区期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（　　）
A．0 B．2 C．1 D．﹣2
7．（2021秋•徐汇区校级期中）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是（　　）
①互为邻补角的两个角的平分线；
②互为对顶角的两个角的平分线；
③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；
④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021秋•杨浦区校级期中）若方程x2+3xy﹣2y2＝0的两个解是x1＝y，x2＝y，那么x2+3xy﹣2y2在实数范围内分解因式是（　　）
A．（x+2y）（x+y）
B．（x﹣）（x﹣）
C．（x﹣y）（x﹣y）
D．（x﹣y）（x﹣y）
9．（2021秋•徐汇区校级期中）三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，则CD的长是（　　）

A． B． C．4﹣ D．3﹣
10．（2021秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　）

A．DA＝DE B．AC＝EC C．AH＝EH D．CD＝ED
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•金山区期中）写出的一个有理化因式是 　 　．
12．（2021秋•金山区期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则ba＝　 　．
13．（2021秋•静安区校级期中）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为　 　．
14．（2021秋•杨浦区期中）二次根式、中与是同类二次根式的是　 　．
15．（2021秋•浦东新区期中）若最简二次根式2与3是同类二次根式，则x＝　 　．
16．（2021秋•嘉定区期中）在等腰三角形ABC中，BC＝6，AB，AC的长是关于的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是　 　．
17．（2021秋•嘉定区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，函数y＝（k＞0，x＞0）交BC于点D，交AB于点E．若BD＝2CD，S四边形ODBE＝4，则k的值为　 　．

18．（2021秋•嘉定区期中）若y＝（4﹣2a）x是反比例函数，则a的值是　 　．
19．（2021秋•静安区校级期中）如图所示，△ABC中，O为AB边上的中点，OC＝OB，若∠A＝30°，则∠ACB的度数为　 　．

20．（2021秋•静安区校级期中）如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝70°，则∠2的度数是　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•金山区期中）计算：．
22．（2021秋•金山区期中）计算：．
23．（2021秋•松江区期中）计算：（+1）2﹣﹣（﹣）0．
24．（2021秋•浦东新区期中）化简求值：已知a＝，b＝，求[﹣（）]•（）的值．
25．（2021秋•嘉定区期中）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
（1）抗生素服用　 　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　 　微克；
（2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
（3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．

26．（2021秋•金山区期中）如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分布为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：
（1）乙到达终点用了 　 　秒；
（2）第 　 　秒时，乙追上了甲；
（3）比赛全程中，乙的速度是 　 　米/秒；
（4）甲从点A到点B这段路的速度是 　 　米/秒；
（5）乙在整个过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式：　 　．

27．（2021秋•松江区期中）一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，那么油箱中的余油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，平均每千米的耗油量为0.1升．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）汽车最多可行驶多少千米？
（3）汽车行驶200千米时，油箱中还有多少油？
（4）写出自变量x的取值范围．
28．（2021秋•浦东新区期中）如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽．

29．（2021秋•松江区期中）如图，在长方形ABCD中，点E在折线B﹣C﹣D上运动，且长方形ABCD的面积为32cm2．
（1）当E在BC上运动时，若线段BE的长度比长方形ABCD的边AB长少2cm，且△ABE的面积为4cm2，求边AB的长；
（2）在（1）的条件下，设线段BE的长为xm，△ABE的面积为ycm2，试求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）在（1）所确定的长方形中，如果点E的运动路程为x，当x为何值时，直线AE把长方形的面积分为1：3的两部分？

30．（2021秋•嘉定区期中）在平面直角坐标系中，OA＝AB＝10，点A（6，8）在正比例函数上，点B的坐标为（12，0），联结AB．
（1）求该正比例函数的解析式
（2）若点Q在直线AO上运动，且△OBQ的面积为6，求点Q的坐标；
（3）若点Q在线段AO上由点A向点O运动，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由B向O运动，点C是线段AB的中点，两点同时运动，同时停止，设运动时间为t秒，联结PQ，在运动过程中，△OPQ与△BPC是否会全等？如果全等，请求点Q运动的速度，如果不全等，请说明理由？


2021-2022学年上学期上海市初中数学八年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•金山区期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（2021秋•徐汇区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B．（a＞b＞0）
C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．
【解答】解：A、原式＝，故A不符合题意．
B、原式＝，故B符合题意．
C、原式＝3，故C不符合题意．
D、原式＝，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
3．（2021秋•杨浦区校级期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】立方根；同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先化简各二次根式，再根据同类二次根式的概念求解可得．
【解答】解：A．，与不是同类二次根式，不符合题意；
B．，与不是同类二次根式，不符合题意；
C．，与不是同类二次根式，不符合题意；
D．，与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．（2021秋•金山区期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】依次化简各二次根式得：﹣是最简形式，﹣＝，＝1，﹣＝﹣2，由此可求解．
【解答】解：A.﹣是最简形式，不符合题意；
B.﹣＝3﹣＝，符合题意；
C.＝＝1，不符合题意；
D.﹣＝﹣2，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法运算方法，能准确化简二次根式是解题的关键．
5．（2021秋•徐汇区校级期中）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+y﹣2＝0 B．x2+﹣5＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．
【解答】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、方程中含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解本题的关键．
6．（2021秋•金山区期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（　　）
A．0 B．2 C．1 D．﹣2
【考点】方程的定义；一元二次方程的定义；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用新定义得到“月亮”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+1999a+1＝0，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得“月亮”方程的一个解为x＝﹣1，
∵方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，
∴a2+1999a+1＝0，
∴a2+1999a＝﹣1，a2+1＝﹣1999a，
∴＝﹣1+＝﹣1﹣1＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
7．（2021秋•徐汇区校级期中）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是（　　）
①互为邻补角的两个角的平分线；
②互为对顶角的两个角的平分线；
③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；
④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角；垂线．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线的性质，线段垂直定义、对顶角定义分别进行分析即可．
【解答】解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故①正确；
②互为对顶角的两个角的平分线在同一直线上，故②不正确；
③若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故③正确；
④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行，故④不正确．
一定能得到结论为“互相垂直”的个数有2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线、对顶角、邻补角的性质，关键是掌握握垂线定义．
8．（2021秋•杨浦区校级期中）若方程x2+3xy﹣2y2＝0的两个解是x1＝y，x2＝y，那么x2+3xy﹣2y2在实数范围内分解因式是（　　）
A．（x+2y）（x+y）
B．（x﹣）（x﹣）
C．（x﹣y）（x﹣y）
D．（x﹣y）（x﹣y）
【考点】实数范围内分解因式；高次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】直接根据x2+3xy﹣2y2＝（x﹣x1）（x﹣x2），进而分解因式即可．
【解答】解：∵方程x2+3xy﹣2y2＝0的两个解是x1＝y，x2＝y，
∴x2+3xy﹣2y2＝（x﹣y）（x﹣y），
故选：D．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，若方程ax2+px+q＝0的两根为x1，x2，则ax2+px+q＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
9．（2021秋•徐汇区校级期中）三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，则CD的长是（　　）

A． B． C．4﹣ D．3﹣
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4．
∴BC＝，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∴BM＝BC＝，
∴CM＝＝3，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝3﹣，
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意构造直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
10．（2021秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　）

A．DA＝DE B．AC＝EC C．AH＝EH D．CD＝ED
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【分析】延长ED交AC于F，先由平行线的性质得∠AFD＝∠ACB＝90°，∠DEH＝∠B，再由角平分线的性质得DF＝DH，∠DHE＝90°，然后证明△CDF≌△EDH（ASA），得出CD＝ED即可．
【解答】解：一定正确的是CD＝ED，理由如下：
延长ED交AC于F，如图所示：
∵DE∥BC，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∠DEH＝∠B，
∴DF⊥AC，∠DFC＝90°，
∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，
∴DF＝DH，∠DHE＝90°，
在△CDF和△EDH中，
，
∴△CDF≌△EDH（ASA），
∴CD＝ED，
故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•金山区期中）写出的一个有理化因式是 　﹣1（答案不唯一）　．
【考点】分母有理化．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据平方差公式可求+1的有理化．
【解答】解：+1的有理化因式﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查有理化因式，熟练掌握平方差公式，有理化因式的求法是解题的关键．
12．（2021秋•金山区期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则ba＝　8　．
【考点】最简二次根式；同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．由定义可得方程a﹣1＝2，b+1＝3，求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a﹣1＝2，b+1＝3，
∴a＝3，b＝2，
∴ba＝23＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13．（2021秋•静安区校级期中）已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为　　．
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质把原式化简，把a+b＝﹣8，ab＝6代入计算，得到答案．
【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝6，
∴a＜0，b＜0，
∴+
＝﹣﹣
＝﹣×
＝﹣×（）
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
14．（2021秋•杨浦区期中）二次根式、中与是同类二次根式的是　　．
【考点】同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；数感．
【分析】根据二次根式的性质，可得最简二次根式，根据被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．
【解答】解：∵＝3，＝，＝2，
∴与是同类二次根式的是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，关键在于进一步对二次根式进行化简，化为最简二次根式．
15．（2021秋•浦东新区期中）若最简二次根式2与3是同类二次根式，则x＝　﹣2　．
【考点】最简二次根式；同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据同类二次根式的定义，求出x的值．
【解答】解：因为最简二次根2与3是同类二次根式，
所以x+7＝9﹣x2，且x+7≥0、9﹣x2≥0，
解得x1＝﹣2．x2＝1，
x＝1时，不是最简二次根式，故舍去，
∴x＝﹣2
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义．即二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
16．（2021秋•嘉定区期中）在等腰三角形ABC中，BC＝6，AB，AC的长是关于的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是　25或24　．
【考点】一元二次方程的解；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；三角形；应用意识．
【分析】当AB＝AC时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0；当AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，把x＝6代入方程得36﹣60+m＝0，然后分别解关于m的方程即可．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，
当AB＝AC时，Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0，解得m＝25，此时AB＝AC＝5，满足条件；
当AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，把x＝6代入方程得36﹣60+m＝0，解得m＝24，解得x1＝6，x2＝4，即AB、AC的长为6、4，满足条件；
综上所述，m的值为25或24．
故答案为25或24．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
17．（2021秋•嘉定区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，函数y＝（k＞0，x＞0）交BC于点D，交AB于点E．若BD＝2CD，S四边形ODBE＝4，则k的值为　2　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据反比例函数k的几何意义得，S△OAE＝S△OCD＝|k|，根据OABC是矩形，求出S△OEB＝S△ODB＝S四边形ODBE＝2，再根据BD＝2CD，进而S△OAE＝S△OEB＝1＝|k|，求出k的值即可．
【解答】解：连接OB，由反比例函数k的几何意义得，S△OAE＝S△OCD＝|k|，
∵OABC是矩形，
∴S△OAB＝S△OBC，
∴S△OEB＝S△ODB＝S四边形ODBE＝2，
∵BD＝2CD，
∴S△OAE＝S△OEB＝1＝|k|，
∴k＝2或k＝﹣2（舍去），
故答案为2．

【点评】考查反比例函数k的几何意义，矩形的性质，掌握矩形的性质和反比例函数k的几何意义是解决问题的前提．
18．（2021秋•嘉定区期中）若y＝（4﹣2a）x是反比例函数，则a的值是　﹣2　．
【考点】反比例函数的定义．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；数感．
【分析】根据反比例函数形式y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），即可得出关于a的关系式，进而得到a的值．
【解答】解：∵y＝（4﹣2a）x是反比例函数，
∴4﹣2a≠0，且a2﹣5＝﹣1，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，解题时关键是注意y＝kx﹣1的形式中k≠0．
19．（2021秋•静安区校级期中）如图所示，△ABC中，O为AB边上的中点，OC＝OB，若∠A＝30°，则∠ACB的度数为　90°　．

【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACO＝30°，∠B＝∠BCO，根据三角形的外角性质求出∠COB，根据三角形的内角和定理求出∠BCO，即可求出答案．
【解答】解：∵O为AB边上的中点，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝60°，
∴∠BCO＝∠B＝（180°﹣∠COB）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO）＝30°+60°＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
20．（2021秋•静安区校级期中）如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1＝70°，则∠2的度数是　110°　．

【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】因为∠2与∠EFD互补，所以欲求∠2只要知道∠EFD的度数，∠EFD与∠1是同位角，根据平行线的性质即可解决．
【解答】解：∵AB∥DC，∠1＝70°，
∴∠1＝∠EFD＝70°，
∵∠2+∠EFD＝180°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°，
故答案为110°．
【点评】本题考查平行线的性质、邻补角互补等知识，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键，属于基础题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•金山区期中）计算：．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先化简每一个二次根式为最简二次根式，再进行加减运算．
【解答】解：
＝﹣+3x•
＝．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则，能够准确地化简二次根式是解题的关键．
22．（2021秋•金山区期中）计算：．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2××2
＝
＝6a．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
23．（2021秋•松江区期中）计算：（+1）2﹣﹣（﹣）0．
【考点】零指数幂；分母有理化；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用完全平方公式、分母有理化和零指数幂的意义计算．
【解答】解：原式＝3+2+1﹣2（+1）﹣1
＝4+2﹣2﹣2﹣1
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（2021秋•浦东新区期中）化简求值：已知a＝，b＝，求[﹣（）]•（）的值．
【考点】分母有理化；二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先分母有理化得到a＝+1，b＝﹣1，再利用因式分解的方法化简[﹣（）]•（）得到2a+2，然后把a＝+1，b＝﹣1代入计算即可．
【解答】解：∵a＝＝+1，b＝＝﹣1，
∴[﹣（）]•（）
＝[﹣﹣+]•（+）
＝（+﹣+]•（+）
＝2（+）
＝2a+2，
把a＝+1，b＝﹣1代入得，原式＝2（+1）+2
＝2+2+2
＝2+4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
25．（2021秋•嘉定区期中）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
（1）抗生素服用　4　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　6　微克；
（2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
（3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．

【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）由图象可得到结论；
（2）由待定系数法可求得y与x之间的函数解析式，由图象可得函数定义域；
（3）把x＝10代入反比例函数解析式可求得y．
【解答】解：（1）由图象可知，抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克，
故答案为：4，6；
（2）设y与x之间的函数解析式为y＝，
把x＝4时，y＝6代入上式得：6＝，
解得：k＝24，
则y＝（x＞4）；
（3）当x＝10时，y＝＝2.4（微克），
答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解决问题的关键．
26．（2021秋•金山区期中）如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分布为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：
（1）乙到达终点用了 　50　秒；
（2）第 　40　秒时，乙追上了甲；
（3）比赛全程中，乙的速度是 　8　米/秒；
（4）甲从点A到点B这段路的速度是 　　米/秒；
（5）乙在整个过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式：　s＝8t（0≤t≤8）　．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）（2）观察图象，直接得出结论；
（3）（4）根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可；
（5）根据乙的速度可列出函数关系式．
【解答】解：（1）由图象可知，乙到达终点用了50秒；
故答案为：50；
（2）由图象可知，第40秒时，乙追上了甲；
故答案为：40；
（3）比赛全程中，乙的速度是：400÷50＝8（米/秒），
故答案为：8；
（4）甲从点A到点B这段路的速度是：（400﹣200）÷（55﹣20）＝（米/秒），
故答案为：；
（5）乙在整个过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为：s＝8t（0≤t≤8）．
故答案为：s＝8t（0≤t≤8）．
【点评】本题考查了一次函数的应用．关键是学会观察图象，利用数形结合的方法解题．
27．（2021秋•松江区期中）一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，那么油箱中的余油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，平均每千米的耗油量为0.1升．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）汽车最多可行驶多少千米？
（3）汽车行驶200千米时，油箱中还有多少油？
（4）写出自变量x的取值范围．
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）每行程x千米，耗油0.1x升，即总油量减少0.1x升，则油箱中的油剩下（50﹣0.1x）升；
（2）剩余油量为0时，行驶的路程最多，代入关系式计算即可；
（3）将x＝200时，代入第一问中求出的x，y的关系式即可得出答案；
（4）从实际出发，x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能为负数，又行驶中的耗油量为0.1x，不能超过油箱中的汽油量50L．
【解答】解：（1）根据题意，每行程x千米，耗油0.1x升，即总油量减少0.1x升，
则油箱中的油剩下（50﹣0.1x）升，
∴y与x的函数关系式为：y＝50﹣0.1x；

（2）当y＝0时，50﹣0.1x＝0，
解得x＝500，
所以汽车最多可行驶500千米；

（3）当x＝200时，代入x，y的关系式：
y＝50﹣0.1×200＝30．
所以，汽车行驶200km时，油桶中还有30升汽油；

（4）因为x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能为负数，即x≥0；
又行驶中的耗油量为0.1x，不能超过油箱中现有汽油量的值50，
即0.1x≤50，
解得，x≤500．
综上所述，自变量x的取值范围是0≤x≤500．
【点评】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及应用一次函数的知识解决实际问题的能力，难度不大，但比较繁琐，尤其是第（4）问要从实际考虑得出x的范围．
28．（2021秋•浦东新区期中）如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽．

【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设这个长方形花圃的宽为x米，平行于墙的边长为（30﹣3x）米，根据面积为63平方米，可列方程求解．
【解答】解：设这个长方形花圃的宽为x米，
依题意得：x（30﹣3x）＝63，
解得：x1＝3，x2＝7，
当x＝3时，30﹣3x＝21＞20（舍去）．
当x＝7时，30﹣3x＝9＜20．
答：这个长方形花圃的长为9米，宽为7米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
29．（2021秋•松江区期中）如图，在长方形ABCD中，点E在折线B﹣C﹣D上运动，且长方形ABCD的面积为32cm2．
（1）当E在BC上运动时，若线段BE的长度比长方形ABCD的边AB长少2cm，且△ABE的面积为4cm2，求边AB的长；
（2）在（1）的条件下，设线段BE的长为xm，△ABE的面积为ycm2，试求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）在（1）所确定的长方形中，如果点E的运动路程为x，当x为何值时，直线AE把长方形的面积分为1：3的两部分？

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；应用意识．
【分析】（1）如图1中，设AB＝mcm，则BE＝（m﹣2）cm，根据三角形的面积构建方程求解即可．
（2）利用矩形的面积公式求出BC的长，再根据思考下的面积求解即可．
（3）分两种情形：当点E是BC或CD的中点时，直线AE把长方形的面积分为1：3的两部分，分别求出点E的运动路径即可．
【解答】解：（1）如图1中，设AB＝mcm，则BE＝（m﹣2）cm，

由题意，•（x＝m﹣2）•m＝4，
解得，m＝4或﹣2（舍弃），
∴AB＝4（cm）．

（2）如图1中，∵AB＝4cm，AB•BC＝32，
∴BC＝8（cm），
y＝×x×4＝2x（0＜x≤8）．

（3）当点E是BC或CD的中点时，直线AE把长方形的面积分为1：3的两部分．
当BE＝EC时，x＝BE＝4（cm），
当CE＝DE时，点E的运动路程x＝8+2＝10（cm）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
30．（2021秋•嘉定区期中）在平面直角坐标系中，OA＝AB＝10，点A（6，8）在正比例函数上，点B的坐标为（12，0），联结AB．
（1）求该正比例函数的解析式
（2）若点Q在直线AO上运动，且△OBQ的面积为6，求点Q的坐标；
（3）若点Q在线段AO上由点A向点O运动，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由B向O运动，点C是线段AB的中点，两点同时运动，同时停止，设运动时间为t秒，联结PQ，在运动过程中，△OPQ与△BPC是否会全等？如果全等，请求点Q运动的速度，如果不全等，请说明理由？

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）设点Q（a，a），由面积公式可求解；
（3）由OA＝AB＝10得到∠QOP＝∠CBP，由△OPQ与△BPC全等可知：OP＝BC＝5，OQ＝BP或OQ＝BC＝5，OP＝PB，从而可求得点Q的运动速度．
【解答】解：（1）设正比例函数的解析式y＝kx，
把A（6，8）代入得：8＝6k．
解得：k＝，
∴该正比例函数的解析式为y＝x；
（2）设点Q（a，a），
∵△OBQ的面积为6，
∴×12×|a|＝6，
∴a＝或﹣，
∴点Q（，1）或（﹣，﹣1）；
（3）∵AO＝AB＝10，点C是线段AB的中点，
∴BC＝5．
∴∠QOP＝∠CBP．
若△OPQ与△BPC全等，
则有OP＝BC＝5，OQ＝BP或OQ＝BC＝5，OP＝PB．
①当OP＝BC＝5，OQ＝BP时，
∵OP＝5，
∴12﹣2t＝5．
解得：t＝．
∵OP＝5，
∴OQ＝BP＝7．
∴AQ＝3．
∴v＝3．
解得；v＝．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当OQ＝BC＝5，OP＝PB＝6时，
由OP＝PB＝OB＝6可知：2t＝6，
解得：t＝3．
∵OQ＝5，
∴AQ＝OA﹣OQ＝10﹣5＝5．
∴3v＝5．
解得：v＝．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，△OPQ与△BPC全等．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，全等三角形的性质、两点间的距离公式、三角形的面积公式，根据三角形全等得出对应边相等从而求得点P的运动时和点Q运动的距离是解题的关键．

考点卡片
1．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
7．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
8．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
9．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
10．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
12．方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程．
13．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
14．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
15．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
16．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
17．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
18．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
19．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
20．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
21．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
22．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
23．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
24．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
25．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
26．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
27．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
28．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
29．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
30．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

31．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
32．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
33．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
34．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
35．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
36．四边形综合题
四边形综合题．