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2021年四川省自贡市贡井区中考数学模拟试卷 解析版
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这是一份2021年四川省自贡市贡井区中考数学模拟试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答趣．等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．2
2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（ ）
A．5.47×108B．0.547×108C．547×105D．5.47×107
4．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率
B．即将发射的气象卫星的零部件质量
C．盐城市居民6月份人均网上购物的次数
D．长城新能源汽车的最大续航里程
6．（4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
7．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
8．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
9．（4分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13
10．（4分）若a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2006B．2005C．2004D．2002
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．（4分）买单价3元的圆珠笔m支，应付 元．
14．（4分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，则小型汽车比中型汽车多 辆．
15．（4分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ．
16．（4分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D．点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为 ．
18．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．
三、解答趣．（本大题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣1）4﹣|1﹣|+6tan30°﹣（3﹣）0．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
21．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
22．（8分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2所示，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3所示，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，请直接写出AB，AN，AM三者的等量关系式．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2021年四川省自贡市贡井区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：A．
2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：C．
3．（4分）安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（ ）
A．5.47×108B．0.547×108C．547×105D．5.47×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：54700000用科学记数法表示为：5.47×107．
故选：D．
4．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率
B．即将发射的气象卫星的零部件质量
C．盐城市居民6月份人均网上购物的次数
D．长城新能源汽车的最大续航里程
【分析】根据抽样调查与全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽样调查，故A选项不符合题意；
B．即将发射的气象卫星的零部件质量，适合全面调查，故B选项符合题意；
C．盐城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽样调查，故C选项不符合题意；
D．长城新能源汽车的最大续航里程，适合抽样调查，故D选项不符合题意；
故选：B．
6．（4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
7．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是3a2，故本选项不符合题意；
B、x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
D、结果是﹣27x6，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝﹣中，k＝﹣（a2+1）＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
∵3＞2＞0，
∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第四象限，
∴y2＜0，y3＜0，
∵3＞2，
∴y2＜y3＜0．
∴y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2．
故选：B．
9．（4分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；
故选：D．
10．（4分）若a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2006B．2005C．2004D．2002
【分析】利用根与系数的关系，求出x2+2x＝2006，a+b＝﹣2，即可解决．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，
∴x2+2x＝2006，a+b＝﹣2
则a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2006﹣2
＝2004
故选：C．
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
12．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】连接OE、OD，如图，根据切线的性质得到∠OED＝90°，则DE＝，所以当OD最小时，DE最小，利用垂线段最短得到当OD⊥AB时，OD最短，此时可证明△BOD∽△BAC，利用相似比OD的长，从而得到DE的最小值．
【解答】解：连接OE、OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OED＝90°，
∴DE＝＝，
当OD最小时，DE最小，
而当OD⊥AB时，OD最短，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∵∠BDO＝∠BCA，∠OBD＝∠ABC，
∴△BOD∽△BAC，
∴OD：AC＝BO：BA，即OD：8＝5：10，解得OD＝4，
∴DE的最小值为＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．（4分）买单价3元的圆珠笔m支，应付 3m 元．
【分析】根据总价＝单价×数量列出代数式．
【解答】解：依题意得：3m．
故答案是：3m．
14．（4分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，则小型汽车比中型汽车多 6 辆．
【分析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，由题意：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，列出方程组，解方程组，即可求解．
【解答】解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：，
解得：，
则y﹣x＝6，
即小型汽车比中型汽车多6辆，
故答案为：6．
15．（4分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ．
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9，
所以两次都摸到红球的概率为＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ．
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D．点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为 ．
【分析】延长CO交⊙O于E，连接DE交AO于P，此时PC+PD最小，根据tanB两种表示形式，可求出CD的长，同理根据tanE＝，即可求出OP的长．
【解答】解：延长CO交⊙O于E，连接DE交AO于P，此时PC+PD最小，
∵点C为OB的中点，
∴BC＝2，
∵tanB＝＝，
∴CD＝，
∵tanE＝，
∵，
∴OP＝．
故答案为：．
18．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA+PB+PC的最小值为 2 ．
【分析】将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接CC'，PP'，则△BPP'，△BCC'是等边三角形，个PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C，则当A、P、P'、C'共线时，PA+PB+PC最小值即为AC'的长，利用勾股定理求AC'的长即可．
【解答】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接CC'，PP'，
则△BPP'，△BCC'是等边三角形，
∴PP'＝BP，P'C＝PC，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C，
∴当A、P、P'、C'共线时，PA+PB+PC最小值即为AC'的长，
过点C'作C'H⊥AD于H，交BC于G，
∵BC＝6，△BCC'是等边三角形，
∴BG＝AH＝3，CG＝tan60•×BG＝3，
∴C'H＝HG+C'G＝5，
在Rt△AC'H中，由勾股定理得：AC'＝，
∴PA+PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答趣．（本大题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣1）4﹣|1﹣|+6tan30°﹣（3﹣）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+6×﹣1
＝1﹣+1+2﹣1
＝1+．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
21．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 80 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；
（3）由360°乘以A组所占的百分比即可；
（4）画出树状图，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：
（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；
（4）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
22．（8分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．
【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，求得∠ABC＝∠BAC，得到BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝60米．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．
答：这条河的宽度为30米．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP＝•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，
∴y＝，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP＝•PC•yA＝4，
∴×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB＝＝，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2所示，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3所示，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，请直接写出AB，AN，AM三者的等量关系式．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝2，
∴AD＝BD＝DC＝，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，
解得，DM＝，
∴AM＝AD﹣DM＝；
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE＝AF；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，
∴∠AME＝90°，
则AE＝AM，∠E＝45°，
∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，
∴∠BME＝∠AMN，
在△BME和△NMA中，
，
∴△BME≌△NMA（ASA），
∴BE＝AN，
∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．2
2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（ ）
A．5.47×108B．0.547×108C．547×105D．5.47×107
4．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率
B．即将发射的气象卫星的零部件质量
C．盐城市居民6月份人均网上购物的次数
D．长城新能源汽车的最大续航里程
6．（4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
7．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
8．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
9．（4分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13
10．（4分）若a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2006B．2005C．2004D．2002
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．（4分）买单价3元的圆珠笔m支，应付 元．
14．（4分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，则小型汽车比中型汽车多 辆．
15．（4分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ．
16．（4分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D．点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为 ．
18．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA+PB+PC的最小值为 ．
三、解答趣．（本大题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣1）4﹣|1﹣|+6tan30°﹣（3﹣）0．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
21．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
22．（8分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2所示，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3所示，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，请直接写出AB，AN，AM三者的等量关系式．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2021年四川省自贡市贡井区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：A．
2．（4分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：C．
3．（4分）安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（ ）
A．5.47×108B．0.547×108C．547×105D．5.47×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：54700000用科学记数法表示为：5.47×107．
故选：D．
4．（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．中央电视台《开学第一课》的收视率
B．即将发射的气象卫星的零部件质量
C．盐城市居民6月份人均网上购物的次数
D．长城新能源汽车的最大续航里程
【分析】根据抽样调查与全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．中央电视台《开学第一课》的收视率，适合抽样调查，故A选项不符合题意；
B．即将发射的气象卫星的零部件质量，适合全面调查，故B选项符合题意；
C．盐城市居民6月份人均网上购物的次数，适合抽样调查，故C选项不符合题意；
D．长城新能源汽车的最大续航里程，适合抽样调查，故D选项不符合题意；
故选：B．
6．（4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
7．（4分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是3a2，故本选项不符合题意；
B、x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
D、结果是﹣27x6，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝﹣中，k＝﹣（a2+1）＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
∵3＞2＞0，
∴B（2，y2），C（3，y3）两点在第四象限，
∴y2＜0，y3＜0，
∵3＞2，
∴y2＜y3＜0．
∴y1，y2，y3的大小关系为y1＞y3＞y2．
故选：B．
9．（4分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ）
A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；
故选：D．
10．（4分）若a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2006B．2005C．2004D．2002
【分析】利用根与系数的关系，求出x2+2x＝2006，a+b＝﹣2，即可解决．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，
∴x2+2x＝2006，a+b＝﹣2
则a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2006﹣2
＝2004
故选：C．
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
12．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】连接OE、OD，如图，根据切线的性质得到∠OED＝90°，则DE＝，所以当OD最小时，DE最小，利用垂线段最短得到当OD⊥AB时，OD最短，此时可证明△BOD∽△BAC，利用相似比OD的长，从而得到DE的最小值．
【解答】解：连接OE、OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OED＝90°，
∴DE＝＝，
当OD最小时，DE最小，
而当OD⊥AB时，OD最短，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∵∠BDO＝∠BCA，∠OBD＝∠ABC，
∴△BOD∽△BAC，
∴OD：AC＝BO：BA，即OD：8＝5：10，解得OD＝4，
∴DE的最小值为＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
13．（4分）买单价3元的圆珠笔m支，应付 3m 元．
【分析】根据总价＝单价×数量列出代数式．
【解答】解：依题意得：3m．
故答案是：3m．
14．（4分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，则小型汽车比中型汽车多 6 辆．
【分析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，由题意：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，列出方程组，解方程组，即可求解．
【解答】解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：，
解得：，
则y﹣x＝6，
即小型汽车比中型汽车多6辆，
故答案为：6．
15．（4分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ．
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9，
所以两次都摸到红球的概率为＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ．
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D．点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为 ．
【分析】延长CO交⊙O于E，连接DE交AO于P，此时PC+PD最小，根据tanB两种表示形式，可求出CD的长，同理根据tanE＝，即可求出OP的长．
【解答】解：延长CO交⊙O于E，连接DE交AO于P，此时PC+PD最小，
∵点C为OB的中点，
∴BC＝2，
∵tanB＝＝，
∴CD＝，
∵tanE＝，
∵，
∴OP＝．
故答案为：．
18．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PA+PB+PC的最小值为 2 ．
【分析】将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接CC'，PP'，则△BPP'，△BCC'是等边三角形，个PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C，则当A、P、P'、C'共线时，PA+PB+PC最小值即为AC'的长，利用勾股定理求AC'的长即可．
【解答】解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接CC'，PP'，
则△BPP'，△BCC'是等边三角形，
∴PP'＝BP，P'C＝PC，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C，
∴当A、P、P'、C'共线时，PA+PB+PC最小值即为AC'的长，
过点C'作C'H⊥AD于H，交BC于G，
∵BC＝6，△BCC'是等边三角形，
∴BG＝AH＝3，CG＝tan60•×BG＝3，
∴C'H＝HG+C'G＝5，
在Rt△AC'H中，由勾股定理得：AC'＝，
∴PA+PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答趣．（本大题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：（﹣1）4﹣|1﹣|+6tan30°﹣（3﹣）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+6×﹣1
＝1﹣+1+2﹣1
＝1+．
20．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
21．（8分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是 80 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【分析】（1）由B组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
（2）求出D组人数，从而补全条形统计图；
（3）由360°乘以A组所占的百分比即可；
（4）画出树状图，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%＝80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（名），把条形统计图补充完整如图：
（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×＝72°；
（4）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
22．（8分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．
【分析】如图，作AD⊥BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，求得∠ABC＝∠BAC，得到BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝60米．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．
答：这条河的宽度为30米．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP＝•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，
∴y＝，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP＝•PC•yA＝4，
∴×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据等边对等角得∠CPB＝∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC＝90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠APO＝60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB＝∠CBP＝60°，求得BC＝1，根据勾股定理得到OB＝＝，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠CPB＝∠APO，
∴∠CBP＝∠APO，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
即：∠OBC＝90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，
∴∠APO＝60°，
∴∠BPD＝∠APO＝60°，
∵PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB＝∠CBP＝60°，
∴∠OBP＝∠POB＝30°，
∴OP＝PB＝PC＝1，
∴BC＝1，
∴OB＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；
（2）如图2所示，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3所示，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，请直接写出AB，AN，AM三者的等量关系式．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵AB＝2，
∴AD＝BD＝DC＝，
∵∠AMN＝30°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，
解得，DM＝，
∴AM＝AD﹣DM＝；
（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA）
∴BE＝AF；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，
∴∠AME＝90°，
则AE＝AM，∠E＝45°，
∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，
∴∠BME＝∠AMN，
在△BME和△NMA中，
，
∴△BME≌△NMA（ASA），
∴BE＝AN，
∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．
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