2021学年第二章 匀变速直线运动的研究4 自由落体运动导学案及答案

这是一份2021学年第二章 匀变速直线运动的研究4 自由落体运动导学案及答案，共32页。学案主要包含了自由落体运动，自由落体加速度，自由落体运动的规律等内容，欢迎下载使用。

一、自由落体运动
1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2．条件： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(初速度v0＝0,仅受重力))
3．实际运动：物体下落时由于受空气阻力的作用，物体的下落不是自由落体运动；只有当空气阻力比较小，可以忽略时，物体的下落可以近似看作自由落体运动。
让质量相同的纸片和纸团同时从同一高度下落，谁先落地？为什么？
提示：纸团先落地，纸片受到空气阻力影响大。
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫重力加速度。
2．方向：竖直向下。
3．大小：在地球上同一个地点，g的大小一定；在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在一般的计算中，g可以取9.8m/s2或10m/s2。
在著名的比萨斜塔实验中，轻重不同的两个小球为什么能同时落地？
提示：忽略空气阻力的影响下，两球自由下落的加速度相同。
三、自由落体运动的规律
1．自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动。
2．把初速度v0＝0和加速度a＝g分别代入匀变速直线运动的速度公式和位移公式中，就可以得到自由落体运动的速度公式和位移公式：v＝gt，x＝ eq \f(1,2) gt2，v2＝2gh。
给你一块石头和秒表，如何测得悬崖的高度？
提示：测得石头从悬崖自由下落的时间，用x＝ eq \f(1,2) gt2计算可得。
学习自由落体运动后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？
①竖直下落的运动就是自由落体运动。
②高空雨滴下落的运动是自由落体运动。
③重力加速度的方向总是垂直向下。
④在粗略运算中，重力加速度的大小可以取10 m/s2。
⑤物体越重，重力加速度越大，下落得越快。
⑥自由落体运动的速度大小与时间成正比。
⑦自由落体运动的速度的平方与位移成正比。
说法正确的有④⑥⑦。
在测反应时间时，甲用一只手在木尺下部做握住木尺的准备，当看到乙同学放手时，他立即握住木尺。
思考：如果测出木尺下降的高度，怎样计算甲同学的反应时间？
提示：根据x＝ eq \f(1,2) gt2可以计算。
一、自由落体运动的理解
运动条件的理解
(物理观念——运动与相互作用观念)
如图所示：美国宇航员大卫·斯科特在月球上同时由静止释放一把锤子和一片羽毛。
探究：二者各自做什么运动？
提示：由于月球上没有空气，不存在空气阻力，故二者均做自由落体运动。
自由落体运动是一种理想模型，这种模型忽略次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。
【典例1】一个长约1.5 m的玻璃筒，一端封闭，另一端有开关，把金属片和小羽毛放到玻璃筒里。把玻璃筒倒立过来，观察它们下落的情况。然后把玻璃筒里的空气抽出，再把玻璃筒倒立过来，再次观察它们下落的情况。下列说法正确的是( )
A．玻璃筒充满空气时，金属片和小羽毛下落一样快
B．玻璃筒充满空气时，金属片和小羽毛均做自由落体运动
C．玻璃筒抽出空气后，金属片和小羽毛下落一样快
D．玻璃筒抽出空气后，金属片比小羽毛下落快
【解题探究】为什么把玻璃管内空气抽出？
提示：玻璃管内将成真空状态，金属片和羽毛下落时将都不受空气阻力。
【解析】选C。玻璃筒充满空气时，有空气阻力作用，金属片和小羽毛不做自由落体运动，下落也不一样快，A、B错误；玻璃筒抽出空气之后，小羽毛和金属片下落时仅受重力作用，加速度一样大，所以下落一样快，D错误，C正确。
运动性质的理解
(物理观念——运动与相互作用观念)
物体在其他星球上也可以做自由落体运动，但下落的加速度与在地球表面附近下落的加速度不同。
【典例2】关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．质量大的物体自由下落时加速度大
B．从水龙头上滴落的水滴的下落过程，可以近似看成自由落体运动
C．一个棉花团由静止开始下落的运动是自由落体运动
D．雨滴经过窗子的这段运动可以看成是自由落体运动
【解析】选B。所有物体在同一地点的重力加速度相等，与物体的质量大小无关，故A错误；从水龙头上滴落的水滴所受空气阻力与重力相比可忽略不计，可认为只受重力作用，故B正确；雨滴经过窗子的这段运动的初速度不为零，因而不是自由落体运动，D错误；如果空气阻力可以忽略不计，从静止开始下落的物体的运动可以看成自由落体运动，棉花下落，空气阻力不能忽略，故C错误。
自由落体加速度的理解
(物理观念——运动与相互作用观念)
由于地球是个球体，因此各处的重力加速度的方向是不同的。
【典例3】关于物体做自由落体运动的加速度g值，下列说法中正确的是( )
A．重的物体g值大
B．同一地点，轻、重物体的g值一样大
C．g值在地球上任何地方都一样大
D．g值在赤道处大于在北极处
【解析】选B。g值与物体轻重无关，A错误，B正确；g值在地球上不同地方大小不同，在赤道处小于在北极处，C、D错误。
1．(多选)对于从苹果树上同一高度同时落下的苹果和树叶，下列说法正确的是( )
A．苹果和树叶的运动都可以看成做自由落体运动
B．苹果可以近似地看成做自由落体运动，树叶不能看成做自由落体运动
C．假如地球上没有空气，则苹果和树叶将同时落地
D．苹果先落地是因为其下落时的重力加速度比树叶的大
【解析】选B、C。从树上落下的苹果所受阻力相对重力很小，可看成做自由落体运动，而从树上落下的树叶所受阻力相对重力较大，不能看成做自由落体运动，同一位置重力加速度是相同的，A、D错误，B正确；假如地球上没有空气，则苹果和树叶不受空气阻力，都做自由落体运动，下落快慢相同，同时落地，C正确。
2．(多选)关于重力加速度的下列说法中，正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度g都相同
D．在地球上的同一地点，离地面高度越大，重力加速度g越小
【解析】选B、C、D。自由落体加速度的大小和方向均与物体所处的地球表面的位置有关，重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同，在地球表面，不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，故选项A错误，B正确；在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，故选项C、D正确。
【拔高题组】
1．(多选)关于自由落体运动的说法正确的是( )
A．自由落体运动是物体不受任何力作用的运动
B．自由落体运动的加速度方向总是竖直向下
C．自由落体运动是v正比于t2的运动
D．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
【解析】选B、D。自由落体运动是物体从静止开始只在重力作用下的运动，故A错误；自由落体运动的加速度为g，方向总是竖直向下的，故B正确；根据v＝gt可知自由落体运动是v正比于t的运动，故C错误；自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，故D正确。
2．某人从井口由静止释放一颗小石子，不计空气阻力，为表示小石子落水前的运动，下列四幅图像可能正确的是( )
【解析】选D。小石子在落水前做自由落体运动，由x＝ eq \f(1,2) gt2 知，x­t图像是抛物线的一部分，故A、B错误；自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，v＝gt，v ­t图像是过原点的向上倾斜的直线，故C错误，D正确。
【拓展要点】自由落体加速度的测定
1．实验设计：
利用频闪照片，或利用打点计时器能够把做自由落体运动的物体和相应的时刻记录下来。根据对匀变速直线运动的研究，测量物体下落的加速度，进而研究自由落体运动是否是匀加速直线运动，以证实猜想。
2.实验方法：
(1)打点计时器法：
①实验装置如图所示。打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过打点计时器。用夹子夹住纸带，启动打点计时器，松开夹子后重物自由下落，选择打出清晰点迹的纸带。
②对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用g＝ eq \f(hn－hn－1,T2) 求出重力加速度。
(1)为尽量减小空气阻力的影响，重物应选密度大的，如铁锤等。
(2)打点计时器应竖直固定好。
(3)重物应靠近打点计时器释放，且要先打开打点计时器的电源再释放重物。
(4)改变重物的质量，重复打出几条纸带。
(5)选点迹清晰且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析探究。
(2)频闪照相法：频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2可求出重力加速度g＝ eq \f(Δx,T2) 。由g＝ eq \f(v－v0,t) 也可求出重力加速度g。
(3)滴水法：
①如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去。
②用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h。
③测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3…，当数到n时按下秒表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝ eq \f(t,n) 。
④由h＝ eq \f(1,2) gT2，得g＝ eq \f(2h,T2) ＝ eq \f(2n2h,t2) 。
(1)打点计时器法的误差主要来自阻力的影响和测量误差。
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差。
【典例】利用如图甲所示的装置测量重物做自由落体运动的加速度。
(1)(多选)对该实验装置及操作的要求，下列说法正确的是__________(填写字母序号)。
A．电磁打点计时器应接220 V交流电源
B．打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上
C．开始时应使重物靠近打点计时器处并保持静止
D．操作时，应先释放纸带后接通电源
E．为了便于测量，一定要找到打点计时器打下的第一个点，并选取其以后各连续的点作为计数点
(2)如图乙所示是某同学在实验中得到的一条较为理想的纸带。把开头几个模糊不清的点去掉，以较清晰的某一个点作为计数点1，随后连续的几个点依次标记为点2、3、4。测量出的各点间距离已标在纸带上，已知打点计时器的打点周期为0.02 s。打点计时器打出点2时重物的瞬时速度为________m/s，重物做自由落体运动的加速度的大小约为________m/s2。(结果保留三位有效数字)
【解析】(1)电磁打点计时器应接4～6 V交流电源，故A错误；打点计时器的两个限位孔应在同一条竖直线上，故B正确；开始时应使重物靠近打点计时器处并保持静止，故C正确；操作时，应先接通电源，再释放纸带，故D错误；为了便于测量，不一定找打出的第一个点，可以从比较清晰的点开始作为计数点，故E错误。
(2)打点计时器打出点2时的瞬时速度等于点1、3间的平均速度，则v2＝ eq \f(x13,2T) ＝ eq \f(5.8＋9.6,2×0.02) ×10－3 m/s＝0.385 m/s。根据Δx＝aT2，
得a＝ eq \f(Δx,T2) ＝ eq \f(3.8×10－3,0.022) m/s2＝9.50 m/s2。
答案：(1)BC (2)0.385 9.50
1．一位宇航员在某星球上完成自由落体实验：让一个质量为1 kg的小球从一定的高度自由下落，若取竖直向下为正方向，测得其在第4 s内的位移是14 m，下列说法正确的是( )
A．小球在第2 s末的速度是 20 m/s
B．小球在第4 s内的平均速度是3.5 m/s
C．小球在4 s内的位移是32 m
D．小球在第2 s内的位移是8 m
【解析】选C。第4 s内的位移为14 m，即 eq \f(1,2) gt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) － eq \f(1,2) gt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝14 m，t4＝4 s，t3＝3 s，解得：g＝4 m/s2，则第2 s末的速度为v2＝gt2＝4×2 m/s＝8 m/s，故A错误；由公式 eq \x\t(v) ＝ eq \f(x,t) 可得，小球在第4 s内的平均速度 eq \x\t(v) ＝14 m/s，故B错误；小球在4 s内的位移x＝ eq \f(1,2) gt2＝ eq \f(1,2) ×4×42 m＝32 m，故C正确；小球在第2 s内的位移x′＝( eq \f(1,2) ×4×22－ eq \f(1,2) ×4×12) m＝6 m，故D错误。
2．滴水法测重力加速度的过程如下：让水龙头中的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到声音时，后一滴水恰好离开水龙头。从第1次听到水击盘声时开始计时，测出n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度。设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1 s，声速为340 m/s。g取10 m/s2，则( )
A．水龙头距人耳的距离至少为34 m
B．水龙头距盘子的距离至少为34 m
C．重力加速度的计算式为 eq \f(2n2h,t2)
D．重力加速度的计算式为 eq \f(2（n－1）2h,t2)
【解析】选D。只要相邻两滴水滴下的时间间隔超过0.1 s，人耳就能分辨出两滴水的击盘声，与水龙头距人耳的距离无关，在0.1 s内，水滴下落的距离x＝ eq \f(1,2) gt2＝ eq \f(1,2) ×10×0.12 m＝0.05 m，即水龙头距盘子的距离至少应为0.05 m，故选项A、B错误；n次响声对应(n－1)滴水下落所用的时间，所以每滴水滴下落时间为t1＝ eq \f(t,n－1) ，由h＝ eq \f(1,2) gt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) 得，g＝ eq \f(2h,t eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(2（n－1）2h,t2) ，故选项C错误，D正确。
二、自由落体运动的规律及应用
对基本公式的理解与应用
(科学思维——科学推理)
如图所示，漫画中的人用石头来估测水井的深度。
探究：你认为有道理吗？为什么？
提示：石头释放后在水井中下落的过程可以认为是自由落体运动，由h＝ eq \f(1,2) gt2可知，只要测出石头下落至水面的时间t，即可算出水井的深度。因声音在空气中的传播速度较大，石头落水声上传至人耳的时间可以忽略，故从石头开始下落到听到石头落水声的时间可认为等于石头自由下落的时间t。综上所述，漫画中的人用石头来估测水井的深度是合理的。
(1)自由落体运动的运动时间由下落的高度决定。
(2)自由落体运动中下落的高度与离地高度是两个不同的概念，处理问题时要注意区分。
【典例1】如图所示，悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一高为b的无底圆柱筒CD，圆柱筒的直径远大于直杆的直径。不计一切阻力，若将悬线剪断，求：
(1)直杆B端穿过圆柱筒的时间；
(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间。
【解析】(1)直杆B端穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到B端下落到D点的时间。
由x＝ eq \f(1,2) gt2得t＝ eq \r(\f(2x,g))
则B端下落到C点所需时间t1＝ eq \r(\f(2h,g))
B端下落到D点所需时间t2＝ eq \r(\f(2（h＋b）,g))
则直杆B端穿过圆柱筒的时间是
Δt1＝t2－t1＝ eq \r(\f(2（h＋b）,g)) － eq \r(\f(2h,g)) 。
(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到A端下落到D点的时间。
A端下落到D点所需时间t3＝ eq \r(\f(2（a＋h＋b）,g))
可得整个直杆穿过圆柱筒的时间是
Δt2＝t3－t1＝ eq \r(\f(2（h＋a＋b）,g)) － eq \r(\f(2h,g)) 。
答案：(1) eq \r(\f(2（h＋b）,g)) － eq \r(\f(2h,g)) (2) eq \r(\f(2（h＋a＋b）,g)) － eq \r(\f(2h,g))
对推论及比例式的理解与应用
(科学思维——科学推理)
匀变速直线运动的一切推论公式和比例式，都适用于自由落体运动吗？
提示：都适用。
【典例2】小敏在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿。小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子(g取10 m/s2)，求：
(1)滴水的时间间隔；
(2)此屋檐离地面多高。
【解析】方法一：基本公式法
设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T。
由位移公式h＝ eq \f(1,2) gt2得，
第2滴水下落的位移h2＝ eq \f(1,2) g(3T)2
第3滴水下落的位移h3＝ eq \f(1,2) g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
则屋檐高h＝ eq \f(1,2) g·(4T)2＝3.2 m。
方法二：比例法
设屋檐离地面高为h，滴水间隔为T。
由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两水滴之间的距离从上到下依次是1s、3s、5s、7s。
由题意知，窗子高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝1s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。
由位移公式h＝ eq \f(1,2) gt2得滴水的时间间隔
T＝ eq \r(\f(2s,g)) ＝0.2 s。
方法三：平均速度法
设滴水间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为 eq \x\t(v) ＝ eq \f(h,T) 。
其中h＝1 m。
由于雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，
又v2.5＝ eq \x\t(v) ，所以 eq \f(1 m,T) ＝2.5gT，解得T＝0.2 s，
屋檐高h＝ eq \f(1,2) g·(4T)2＝3.2 m。
答案：(1)0.2 s (2)3.2 m
自由落体运动的求解方法
(1)基本公式法：v＝gt，h＝ eq \f(1,2) gt2，v2＝2gh。
(2)比例法：hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…＝1∶3∶5∶…。
(3)平均速度公式法： eq \x\t(v) ＝ eq \f(h,t) ＝v eq \f(t,2) ＝ eq \f(v0＋vt,2) 。
1．(2021·温州高一检测)有关自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．开始运动后，第2秒末、第4秒末、第6秒末的速度之比为1∶2∶3
B．开始运动后，连续三个1 s末的速度之比为1∶( eq \r(2) －1)∶( eq \r(3) － eq \r(2) )
C．开始运动后，连续三个相等位移所需的时间之比为1∶3∶5
D．开始运动后，连续三个相等时间间隔内的位移之比为1∶4∶9
【解析】选A。自由落体运动的初速度为零，根据v＝gt可知，运动开始后第2秒末、第4秒末、第6秒末的速度之比是1∶2∶3，故A正确；根据v＝gt可知在开始后连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故B错误；根据初速度为0的匀加速直线运动的特点可知，从开始运动起依次下落三段相同的位移，每段所经历的时间之比为1∶( eq \r(2) －1)∶( eq \r(3) － eq \r(2) )，故C错误；根据匀变速直线运动的位移公式h＝ eq \f(1,2) gt2可得，在t秒内、2t秒内、3t秒内的位移之比为1∶4∶9；可知开始运动后，连续三个相等时间间隔内的位移之比为1∶3∶5，故D错误。
2.某人在室内以窗户为背景拍摄照片时，恰好把从房檐落下的一个石子拍摄在照片中，石子可看成质点。形成如图所示画面。画面中的一条线就是石子运动痕迹。痕迹长为0.5 cm，已知曝光时间0.01 s，实际长度为120 cm的窗户在照片中长度为3.0 cm，g取10 m/s2。请估算石子是从距窗户顶端多高的地方落下来的( )
A．20 m B．30 m C．2 m D．4 m
【解析】选A。由题意可得曝光时间内石子下落了x＝ eq \f(0.5,3.0) ×120 cm＝20 cm＝0.2 m，因曝光时间极短，故石子的平均速度近似等于瞬时速度，根据v＝ eq \f(x,t) 知v＝ eq \f(0.2,0.01) m/s＝20 m/s，由速度与位移关系公式：v2＝2gh得石子下落的高度h＝ eq \f(v2,2g) ＝ eq \f(202,2×10) m＝20 m，故A正确，B、C、D错误。
3.有一条竖直悬挂起来的长为4.2 m的细杆AB，在杆的正下方离B端0.8 m的地方，有一个水平放置的圆环C，如图所示，若让杆自由下落，(g取10 m/s2)求：
(1)从杆下落开始，A端及B端到达圆环所经历的时间；
(2)杆通过圆环的过程中所用时间。
【解析】(1)杆做自由落体运动，设杆的B端到达圆环的时间为tB，则hB＝ eq \f(1,2) gt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ，
解得tB＝0.4 s，
设杆的A端到达圆环的时间为tA，
则hA＝ eq \f(1,2) gt eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(A)) ，解得tA＝1.0 s。
(2)杆通过圆环的过程中所用的时间
t＝tA－tB＝0.6 s。
答案：(1)1.0 s 0.4 s (2)0.6 s
【补偿训练】
长为5 m的竖直杆下端距离一个竖直隧道口为5 m，若这个隧道长也为5 m，让竖直杆自由下落，则其通过隧道的时间为(g取10 m/s2)( )
A． eq \r(3) s B．( eq \r(3) －1) s
C．( eq \r(3) ＋1) s D．( eq \r(2) ＋1) s
【解析】选B。根据h＝ eq \f(1,2) gt2，竖直杆下端自由下落到隧道上沿的时间t1＝ eq \r(\f(2h1,g)) ＝ eq \r(\f(2×5 m,10 m/s2)) ＝1 s。竖直杆上端下落到离开隧道下沿的时间t2＝ eq \r(\f(2h2,g)) ＝ eq \r(\f(2×15 m,10 m/s2)) ＝ eq \r(3) s。则竖直杆通过隧道的时间t＝t2－t1＝( eq \r(3) －1) s，选项B正确，A、C、D错误。
【拓展例题】考查内容：模拟打点计时器
【典例】(1)一位同学手牵纸带运动，另一位同学拿一支画笔，按一定间隔的时间(如每秒1次或每秒2次)点击纸带(如图1)。比一比，看谁牵动纸带运动的速度变化最小。
(2)为了解某同学竞走的加速过程，老师让他拿着底部穿孔、滴水比较均匀的饮料瓶竞走，然后通过留在地上的水印分析他的速度变化情况(如图2)。请大家试一试，并说明其中的道理。
提示：(1)拿画笔的同学按一定的时间间隔点击纸带，说明纸带上相邻两点间的时间是相等的，由v＝ eq \f(s,t) 可知，各相邻点间距越接近相等的，牵动纸带运动的速度变化越小。
(2)饮料瓶滴水比较均匀，说明地面上两水印间的时间间隔是相等的，如果水印间的间距逐渐增大，说明竞走的同学正在加速运动；水印间的间距相等，说明竞走的同学正在匀速运动；水印间的间距逐渐减小，说明竞走的同学正在减速运动。
自由落体运动实验
古希腊思想家亚里士多德曾经断言：物体从高空落下的快慢与相同物体的重量成正比，重者下落快，轻者下落慢。比如说，十磅重的物体落下时要比一磅重的物体落下快十倍。1800多年来，人们都把这个错误论断当作真理。直到16世纪，伽利略才发现了这一理论在逻辑上的矛盾。
伽利略说，假如一块大石头以某种速度下降，那么，按照亚里士多德的论断，一块小些的石头就会以相应慢些的速度下降。要是我们把这两块石头捆在一起，那这块重量等于两块石头重量之和的新石头 ，将以何种速度下降呢？
解释：如果仍按亚里士多德的论断，势必得出截然相反的两个结论：一方面，新石头的下降速度应小于第一块大石头的下降速度，因为加上了一块以较慢速度下降的石头，会使第一块大石头下降的速度减缓；另一方面，新石头的下降速度又应大于第一块大石头的下降速度，因为把两块石头捆在一起，它的重量大于第一块大石头。这两个互相矛盾的结论不能同时成立，可见亚里士多德的论断是不合逻辑的。
伽利略进而假定，物体下降速度与它的重量无关。如果两个物体受到的空气阻力相同，或将空气阻力略去不计，那么，两个重量不同的物体将以同样的速度下落，同时到达地面。
为了证明这一观点，1589年的一天，比萨大学青年数学讲师，年方25岁的伽利略，同他的辩论对手及许多人一同来到比萨斜塔。伽利略登上塔顶，将一个重100磅和一个重1磅的铁球同时抛下。在众目睽睽之下，两个铁球出人意料地差不多是平行地一齐落到地上。面对这个无情的实验，在场观看的人个个目瞪口呆，不知所措。
这个被科学界誉为“比萨斜塔实验”的美谈佳话，用事实证明，轻重不同的物体，从同一高度坠落，加速度一样，它们将同时着地，从而推翻了亚里士多德的错误论断。这就是被伽利略所证明的，如今已为人们所认识的自由落体定律。“比萨斜塔实验”作为自然科学实例，为实践是检验真理的唯一标准提供了一个生动的例证。
1．(水平1)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．自由落体运动是竖直方向的匀加速直线运动
B．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
C．物体开始下落时速度为零，加速度也为零
D．物体竖直向下的运动一定是自由落体运动
【解析】选A。 自由落体运动是竖直方向的匀加速直线运动，选项A正确； 重力加速度g是矢量，既有大小又有方向，通常计算中g取9.8 m/s2，选项B错误；物体开始下落时速度为零，加速度为g，不为零，选项C错误； 自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀变速运动，物体竖直向下的运动不一定是自由落体运动，选项D错误。
2.(水平1)2019年1月30日10时26分，我国“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面，这是人类探测器首次月背软着陆。当它靠近月球时，先悬停月面上方一定高度h＝4 m，然后关闭发动机，以1.6 m/s2的加速度自由下落，到达月面前瞬间，此时探测器的速度最接近( )
A．1.0 m/s B．2.5 m/s
C．3.5 m/s D．5 m/s
【解析】选C。探测器在月球表面做自由落体运动，根据v2＝2gh解得：v＝ eq \r(2gh) ＝ eq \r(2×1.6×4) m/s≈3.58 m/s，故A、B、D错误，C正确。
3．(水平2)甲、乙两物体所受重力之比为1∶4，甲、乙两物体所在的位置高度之比为4∶1，它们都做自由落体运动，则下列说法中正确的是( )
A．落地时的速度之比是2∶1
B．从开始下落到着地的平均速度之比是4∶1
C．下落过程中加速度之比是1∶4
D．从开始下落到着地所用时间之比为16∶1
【解析】选A。甲、乙两个物体都做自由落体运动，根据v2＝2gh得v＝ eq \r(2gh) ，落地时的速度之比是v1∶v2＝ eq \r(h) 1∶ eq \r(h2) ＝2∶1，故A正确；根据平均速度 eq \x\t(v) ＝ eq \f(v0＋vt,2) 可得 eq \x\t(v) ＝ eq \f(\r(2gh),2) ，从开始下落到着地的平均速度之比是 eq \x\t(v) 1∶ eq \x\t(v) 2＝2∶1，故B错误；甲、乙两个物体都做自由落体运动，加速度都为g，与重力无关，故C错误；根据h＝ eq \f(1,2) gt2 得t＝ eq \r(\f(2h,g)) ，从开始下落到着地所用时间之比为t1∶t2＝ eq \r(h1) ∶ eq \r(h2) ＝2∶1，故D错误。
4.(水平2)如图所示，在桌面上方有三个金属小球a、b、c，它们离桌面的高度之比为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1，若按先后顺序释放三个小球，a、b、c刚好同时到达桌面，若不计小球受到的空气阻力，则( )
A．三者到达桌面时速度之比为3∶2∶1
B．三者运动的时间之比为3∶2∶1
C．b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D．b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差
【解析】选C。由v2＝2gh，得v＝ eq \r(2gh) ，到达桌面时的速度之比：v1∶v2∶v3＝ eq \r(3) ∶ eq \r(2) ∶1，故A不符题意；由t＝ eq \r(\f(2h,g)) 得三者运动时间之比：t1∶t2∶t3＝ eq \r(3) ∶ eq \r(2) ∶1，故B不符合题意；b与a开始下落时间差Δt1＝( eq \r(3) － eq \r(2) ) eq \r(\f(2h3,g)) ，c与b开始下落时间差Δt2＝( eq \r(2) －1) eq \r(\f(2h3,g)) ，所以b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差，故C符合题意，D不符合题意。
【补偿训练】
(多选)甲、乙两物体在同一地点做自由落体运动，已知甲物体的质量是乙物体的质量的2倍，而甲距地面的高度是乙距地面高度的一半，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两物体的加速度之比为1∶1
B．甲、乙两物体的着地速度之比为1∶ eq \r(2)
C．甲、乙两物体的下落时间之比为 eq \r(2) ∶1
D．甲、乙两物体从下落到着地的过程中的平均速度之比为1∶2
【解析】选A、B。甲、乙两物体做自由落体运动，加速度都为重力加速度，相同，故A项符合题意；根据v2＝2gh，末速度为v＝ eq \r(2gh) ，故甲、乙两物体的着地速度之比为1∶ eq \r(2) ，故B项符合题意；根据h＝ eq \f(1,2) gt2，得t＝ eq \r(\f(2h,g)) ，故甲、乙两物体的下落时间之比为1∶ eq \r(2) ，故C项不合题意；甲、乙两物体都做自由落体运动，则平均速度都是末速度的一半，甲、乙两物体的着地速度之比为1∶ eq \r(2) ，所以两物体从下落到着地的过程中的平均速度之比也是1∶ eq \r(2) ，故D项不合题意。故选A、B。
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自由落体运动
运动学条件
动力学条件
初速度为零
只受重力
自由落体运动
运动性质
运动图像
自由落体运动是初速度为零,加速度为重力加速度g的匀加速直线运动,是匀变速直线运动的特例。
自由落体运动的v -t图像是一条过原点的倾斜直线,斜率是k=g。
程序
内容
提取
信息
(1)从水龙头上滴落的水滴的下落过程，可以近似看成自由落体运动
(2)一个棉花团由静止开始下落的运动是自由落体运动
(3)雨滴经过窗子的这段运动可以看成是自由落体运动
情境
转化
实际中，物体下落时受空气阻力的作用，并不做自由落体运动，当空气阻力远小于重力时，物体由静止的下落可看成自由落体运动。
选择
规律
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，这样的运动是自由落体运动。
自由落体运动的重力加速度
产生原因
大小
方向
地球上的物体受到地球的吸引力
(1)在地球表面上,重力加速度随纬度的增加而增大,即赤道处重力加速度最小,两极处重力加速度最大,但差别不大。
(2)在地面上的同一地点,重力加速度随高度的增加而减小。但在不太高的高度内,可认为重力加速度的大小不变
竖
直
向
下
匀变速直线运动
自由落体运动
速度公式
v＝v0＋at
v＝gt
位移公式
x＝v0t＋ eq \f(1,2) at2
h＝ eq \f(1,2) gt2
速度—位移关系式
v2－v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝2ax
v2＝2gh
匀变速直线运动
自由落体运动
平均速度公式
eq \x\t(v) ＝ eq \f(v0＋v,2)
eq \x\t(v) ＝ eq \f(v,2)
逐差相等公式
Δx＝aT2
Δh＝gT2
情境创新题
经典模型题
【例1】为了制止高楼住户向窗子外随意丢垃圾的陋习，有人提出如下设想：在底层住户窗子上、下边框安装光电探测装置，利用自由落体运动规律发现丢弃物件住户所在的楼层高度。设底层住户窗子上、下边框之间的距离为0.8 m，某日光电探测装置检测到一个下落物经过该窗口的时间为0.025 s，试估计丢弃物件住户所在的楼层高度。g取9.8 m/s2。
【解析】作为估计，可视物件经过窗子上、下边框之间的过程为匀速运动，且速度等于经过窗子中心的速度v。
有v＝ eq \f(Δh,Δt) ＝ eq \f(0.8,0.025) m/s＝32 m/s
故物件下落的高度(距窗中心)
h＝ eq \f(v2,2g) ＝ eq \f(322,2×9.8) m＝52.2 m
若大楼每层为3 m，则可估计是由18层住户所抛。
答案：18层
【例2】平台处释放一个小球，不计空气阻力和风的作用，小球自由下落。若小球在落地前的最后2 s内的位移是80 m，则该平台到地面的高度是多少(g取10 m/s2)?
【解析】解法1：设小球落地的时间为t
则由题意知 eq \f(1,2) gt2－ eq \f(1,2) g(t－2)2＝80 m
由上式解得t＝5 s
所以平台到地面的高度
H＝ eq \f(1,2) gt2＝ eq \f(1,2) ×10×52 m＝125 m
解法2：设小球落地前2 s时刻的速度为v1，落地时速度为v2。则由题意知
v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2gΔh＝2×10×80(m/s)2＝1 600(m/s)2①
又Δh＝ eq \f(v1＋v2,2) Δt＝ eq \f(v1＋v2,2) ×2 s＝v1＋v2＝80 m/s②
由①②解得v2＝50 m/s
再由v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2gh得H＝ eq \f(502,20) m＝125 m
答案：125 m
【归纳总结】
(1)模型：自由落体运动
(2)解题方法：估算法、平均速度法
(3)应用规律：v2＝2gh， eq \x\t(v) ＝ eq \f(Δh,Δt)
【归纳总结】
(1)模型： 自由落体运动
(2)解题方法：基本公式法、平均速度法
(3)应用规律：h＝ eq \f(1,2) gt2， eq \x\t(v) ＝ eq \f(v0＋v,2)