2020-2021学年山东省日照高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省日照高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|x2<1且a∈A，则a的值可能为（ ）
A.−2B.−1C.0D.1

2. 已知函数fx=x3−2x+2，在下列区间中，一定包含fx零点的区间是（ ）
A.−2,−1B.−1,0C.0,1D.1,2

3. 已知a，b∈R，则“ab=0”是“a2+b2=0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4. 若a，b都是正数，则1+ba1+4ab的最小值为（ ）

A.7B.8C.9D.10

5. 函数y=fx的图像如图所示，则fx的解析式可以为（ ）

A.y=1x−exB.y=1x−x5C.y=1x−x4D.y=1x−lnx

6. 对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做下去，假如减了PP≥2,P∈N次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为P阶等差数列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A.99B.131C.139D.141

7. 已知函数fx=e2−x, x≤1,lgx+2,x>1，则不等式fx+1<1的解集为（ ）
A.−3,7B.0,7C.1,8D.−∞,7

8. 已知函数fx=x−x1x−x2x−x3（其中x1A.gμC.gμ二、多选题

图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A.A∩B∪CB.A∪B∩C
C.A∩B∪A∩CD.A∩∁UB∩C

已知函数fx=2x−12x+1，则（ ）
A.fx为奇函数B.fx为减函数
C.fx有且只有一个零点D.fx的值域为−1,1

函数fx=12x+csxx>0的所有极值点从小到大排列成数列an，设Sn是an的前n项和，则（ ）
A.数列an为等差数列B.a4=17π6
C.a3为函数fx的极小值点D.sinS2021=12

记⟨x⟩表示与实数x最接近的整数，数列an通项公式为an=1⟨n⟩n∈N∗，其前n项和为Sn，设k=⟨n⟩，则（ ）
A.n=k−12B.n三、填空题

已知等比数列{an}满足lg2(a1a2a3a4a5)=5，等差数列{bn}满足b3=a3，则b1+b2+b3+b4+b5=________．

已知奇函数fx=x3−1,x<0,gx,x>0,则f−1+g2=________.

函数fx=x−2ex−a2x2+axa∈R在R上为增函数，则实数a的值为________.

对于函数y=fx ，若存在x0，使f−x0=−fx0，则点x0,fx0与点−x0,f−x0均称为函数fx的“准奇点”．已知函数fx=16−ax,x>0，6x−x3,x≤0，若函数fx存在5个“准奇点”，则实数a的取值范围为________．
四、解答题

设不等式x2≤5x−4的解集为A，关于x的不等式x2−2a+1x+aa+1≤0的解集为M．
(1)求集合A；

(2)p:x∈M, q:x∈A．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn,a1=1，且Sn+Sn+1=an+12.
(1)证明：数列an为等差数列；

(2)若数列bn满足bn+bn+1=an，求数列bn的前2n项和T2n

已知函数fx=lg44x+1+kx是偶函数．
(1)求实数k的值；

(2)若函数gx=lg4a⋅2x−43a，函数Fx=fx−gx只有一个零点，求实数a的取值范围．

设数列an是等差数列，数列bn是公比大于0的等比数列，已知a1=1，b1=3，b2=3a3，b3=12a2+3．
(1)求数列an和数列bn的通项公式；

(2)设数列cn满足cn=1, n≤5，bn−5, n≥6，求数列ancn的前n项和Tn．

如图，某广场内有一半径为503米的圆形区域，圆心为O，其内接矩形ABCD的内部区域为居民的健身活动场所，已知AB=100米，为扩大居民的健身活动场所，打算对该圆形区域内部进行改造，方案如下：过圆心O作直径MN，使得MN//AB，在劣弧MC上取一点E，过点E作圆O的内接矩形EFGH，使EF//MN，把这两个矩形所包括的内部区域均作为居民的健身活动场所，其余部分进行绿化，设∠MOE=x.

(1)记改造后的居民健身活动场所比原来增加的用地面积为fx（单位：平方米），求fx的表达式（不需要注明x的范围）；

(2)当fx取最大值时，求x的值．

已知函数fx=lnx.
(1)若y=fx在点x0,fx0处的切线方程为y=kx+b，求k+b的最小值；

(2)若Aa,lna,Bb,lnb为函数y=fx图像上不同的两点，直线AB与y轴相交于正半轴，求证： ab>e2.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省日照市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
无
【解答】
解：集合A=x|x2<1=x|−1四个选项中，
只有0∈A，
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
函数的零点
【解析】
无
【解答】
解：f−2=−2，f−1=3，
根据零点存在性定理可知答案．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：ab=0即为a=0或b=0；
a2+b2=0即为a=b=0；
由充分必要条件性质——集合观点知：后者真包含于前者．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
基本不等式
【解析】
本题考查基本不等式．
【解答】
解：1+ba1+4ab=1+4ab+ba+4
≥5+24ab⋅ba=9，
当且仅当2a=b时，等号成立，
所以1+ba⋅1+4ab的最小值为9．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：选项B，y=1x−x5是奇函数，所以不正确；
选项C，当x→−∞时，fx→−∞，所以不正确；
选项D，y=1x−lnx定义域为0,+∞，所以不正确；
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
数列的应用
【解析】
无
【解答】
解：由题意知，如图，
可得：y−34=12，
解得y=46，x−95=y=46，
解得x=141，
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
【解析】
无
【解答】
解：当x+1≤1时，
即x≤0时，e2−(x+1)<1，
即e1−x<1，
所以1−x<0，
即x>1，所以无解．
当 x+1>1，
即x>0，
所以lgx+3<1，0又x>0，
所以0故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数fx=x−x1x−x2x−x3，
所以f′x=x−x1x−x2+x−x1x−x3+x−x2x−x3，
所以f′x1+x22=−x2−x122<0，f′x3+x22=−x2−x322<0，
因为函数fx的两个极值点为α,βα<β，
所以fx在−∞,α,β,+∞上是增函数，在α,β上是减函数．
所以α<λ<μ<β ．
又因为gx=e−x−ex是减函数，
所以gβ故选B.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为A∩（B\cupC）或A∩B∪（A∩C）.
故选AC.
【答案】
A,C,D
【考点】
函数的零点
函数奇偶性的判断
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=2x−12x+1，
∴ f−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−fx，故fx为奇函数，
又∵ fx=2x−12x+1=1−22x+1，
∴ fx在R上单调递增，
∵2x>0，
∴ 2x+1>1，
∴ 0<22x+1<2，
∴ −2<−22x+1<0，
∴ −1令fx=2x−12x+1=0，即2x=1，解得x=0，故函数有且只有一个零点0.
故选ACD.
【答案】
B,D
【考点】
数列的求和
数列与函数的综合
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： f′x=12−sinx，
令f′x=0可得x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ,k∈Z，
易得函数的极值点为x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ ，k∈Z，
从小到大为π6,5π6,13π6…，不是等差数列，A错误；
a4=5π6+2π=17π6，B正确；
函数fx在区间5π6,13π6上为增函数，在区间13π6,17π6上为减函数，
所以a3为函数fx的极大值点，C错误；
S2021=a1+a2+…+a2021
=π6+5π6+13π6+17π6+⋯+π6+1010×2π
=π6+13π6+…+π6+1010×2π
+5π6+17π6+5π6+1009×2π，
则根据诱导公式得sinS2021=sinπ6=12，D正确.
故选BD．
【答案】
B,C,D
【考点】
数列的应用
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意，记⟨x⟩表示与实数（最接近的整数，且k=⟨n⟩，
当n=1时，可得n=1,⟨n⟩=1，所以A不正确；
由|n−n|<12，即|n−k|<12，可得−12可得n由−12k2−k+14因为n∈N∗，且k2−k+14不是整数，
其中k2−k+1是k2−k+14右侧的最接近的整数，
所以n≥k2−k+1成立，所以C正确；
当n=1,2时，⟨n⟩=1，此时a1=a2=1；
当n=3,4,5,6时， ⟨n⟩=2，此时a3=a4=a5=a6=12；
当n=7,8,9，10，11，12时， ⟨n⟩=3，此时a7=a8=⋯=a12=13；
当n=13,14，…，20时， ⟨n⟩=4，此时a13=a14=⋯=a20=14；
……
因为k2−k+14所以k2−k+1≤n≤k2+k，
所以满足k=⟨n}的正整数有2k个，
可得数列an中，有2个1，4个12，6个13，8个14，……
又由2,4,6,8…构成首项为2，公差为2的等差数列，可得
2+4+6+⋯+2k=k2+2k2=kk+1
当k=44时，令kk+1=1980，当k=45时，令kk+1=2070，
2021−1980=41，
在数列an前2021项中，有2个1，4个12，6个13，8个14，……88个144，41个145，
所以S2011=1×2+12×4+13×6+⋯+144×88+145×41=88+4145,
所以⟨S2021⟩=89,故D正确．
故选BCD.
三、填空题
【答案】
10
【考点】
等比数列的性质
等差数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】
由已知结合等比数列的性质可求a3，然后结合等差数列的性质即可求解．
【解答】
解；因为等比数列an中，lg2(a1a2a3a4a5)=lg9(a2(a55)=5，
所以a3=2.
因为b3=a3=2，
则由等差数列的性质得b1+b2+b3+b4+b5=5b3=10.
故答案为：10．
【答案】
7
【考点】
分段函数的应用
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出f(−1)和f(−2)的值，利用函数的奇偶性可得g(2)的值，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数fx=x3−1, x<0,gx, x>0,
则f−1=−13−1=−2，f−2=−23−1=−9.
又由fx为奇函数，
所以f−2=−f2=−g2=−9，
所以g(2)=9 ，
所以f−1+g2=9−2=7.
故答案为：7.
【答案】
e
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： f′x=x−1ex−ax+a=x−1ex−a，
若函数y=fx在−∞,+∞单调递增，则f′x≥0恒成立，
而f′1=0，
由极值点的定义可知， x=1为函数y=f′x的极小值点，
令gx=f′x ，g′x=xex−a，
所以g′1=e−a=0，即a=e，经检验，适合题意．故a=e.
故答案为：e.
【答案】
6,+∞
【考点】
函数新定义问题
分段函数的应用
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：因为f0=0，
所以0,f0是函数的一个“准奇点”．
若函数fx存在5个“准奇点”，
只需要当x>0时，f−x=−fx有两个根，
即方程6−x−−x3=−16−ax有两个根，
等价于a=x2+16x−6有两个根．
令gx=x2+16x−6，
则g′x=2x−16x2=2x3−8x2，
函数gx在0,2上单调递减，
在2,+∞上单调递增，
所以gx≥g2=6，
所以a>6．
故答案为：6,+∞．
四、解答题
【答案】
解：(1)因为x2≤5x−4，即x−1x−4≤0，
所以A=1,4 .
(2)因为不等式x2−2a+1x+aa+1≤0，
所以x−ax−a+1≤0，得a≤x≤a+1，
所以M=a,a+1．
因为p:x∈M , q:x∈A，p是q的充分条件，
所以M⊆A.
因为A=1,4，
所以a≥1且a+1≤4 ，
所以实数a的取值范围是1,3 .
【考点】
集合的包含关系判断及应用
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为x2≤5x−4，即x−1x−4≤0，
所以A=1,4 .
(2)因为不等式x2−2a+1x+aa+1≤0，
所以x−ax−a+1≤0，得a≤x≤a+1，
所以M=a,a+1．
因为p:x∈M , q:x∈A，p是q的充分条件，
所以M⊆A.
因为A=1,4，
所以a≥1且a+1≤4 ，
所以实数a的取值范围是1,3 .
【答案】
(1)证明：因为Sn+Sn+1=an+12，
当n=1时， S1+S2=a22,2+a2=a22,a2>0，所以a2=2，
当n≥2时， Sn−1+Sn=an2，所以Sn+Sn+1−Sn−1−Sn=an+12−an2，
即an+1+an=an+1+anan+1−an，
数列an的各项均为正数，所以an+1+an>0，
an+1−an=1n≥2，而a2−a1=1，
所以当n≥1时，an+1−an=1，
所以数列an为等差数列．
(2)解：由(1)知， an=n .
因为bn+bn+1=an=n ，
所以T2n=b1+b2+b3+b4+⋯+b2n−1+b2n
=b1+b2+b3+b4+⋯+b2n−1+b2n
=a1+a3+⋯+a2n−1=n1+2n−12=n2，
数列bn的前2n项和T2n=n2.
【考点】
等差关系的确定
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为Sn+Sn+1=an+12，
当n=1时， S1+S2=a22,2+a2=a22,a2>0，所以a2=2，
当n≥2时， Sn−1+Sn=an2，所以Sn+Sn+1−Sn−1−Sn=an+12−an2，
即an+1+an=an+1+anan+1−an，
数列an的各项均为正数，所以an+1+an>0，
an+1−an=1n≥2，而a2−a1=1，
所以当n≥1时，an+1−an=1，
所以数列an为等差数列．
(2)解：由(1)知， an=n .
因为bn+bn+1=an=n ，
所以T2n=b1+b2+b3+b4+⋯+b2n−1+b2n
=b1+b2+b3+b4+⋯+b2n−1+b2n
=a1+a3+⋯+a2n−1=n1+2n−12=n2，
数列bn的前2n项和T2n=n2.
【答案】
解：(1)∵ fx是偶函数，∴ fx=f−x，
∴ lg44x+1+kx=lg44−x+1−kx，
∴ lg44x+14−x+1=−2kx，
∴ lg44x4x+14x+1=x=−2kx ，即2k+1x=0对x∈R恒成立，
∴ k=−12.
(2)∵ Fx=fx−gx=lg44x+1−12x−lg4a⋅2x−43a只有一个零点，
∴ 方程lg44x+1=12x+lg4a⋅2x−43a有且只有一个实根，
即方程lg4(4x+1)=lg44x2+lg4(a⋅2x−43a)=lg4a⋅2x−43有且只有一个实根，
亦即方程2x2+1=a2x2−4a3⋅2x有且只有一个实根，
令t=2xt>0，则方程a−1t2−4a3t−1=0有且只有一个正根，
①当a=1时，t=−34，不合题意；
②当a≠1时，因为0不是方程的根，故方程的两根异号或有两相等正根．由Δ=0，得a=34或—3，
若a=34，则t=−2不合题意，舍去；若a=−3，则t=12满足条件．
若方程有两根异号，则−1a−1<0，∴ a>1.
综上所述，实数α的取值范围是−3∪1,+∞ .
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx是偶函数，∴ fx=f−x，
∴ lg44x+1+kx=lg44−x+1−kx，
∴ lg44x+14−x+1=−2kx，
∴ lg44x4x+14x+1=x=−2kx ，即2k+1x=0对x∈R恒成立，
∴ k=−12.
(2)∵ Fx=fx−gx=lg44x+1−12x−lg4a⋅2x−43a只有一个零点，
∴ 方程lg44x+1=12x+lg4a⋅2x−43a有且只有一个实根，
即方程lg4(4x+1)=lg44x2+lg4(a⋅2x−43a)=lg4a⋅2x−43有且只有一个实根，
亦即方程2x2+1=a2x2−4a3⋅2x有且只有一个实根，
令t=2xt>0，则方程a−1t2−4a3t−1=0有且只有一个正根，
①当a=1时，t=−34，不合题意；
②当a≠1时，因为0不是方程的根，故方程的两根异号或有两相等正根．由Δ=0，得a=34或—3，
若a=34，则t=−2不合题意，舍去；若a=−3，则t=12满足条件．
若方程有两根异号，则−1a−1<0，∴ a>1.
综上所述，实数α的取值范围是−3∪1,+∞ .
【答案】
解：(1)因为an是等差数列， bn是等比数列，公比大于0.
设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为qq>0，
由题意可得： 3q=31+2d，3q2=121+d+3，
解得d=1,q=3，
故an=1+n−1=n,bn=3⋅3n−1=3n ．
(2)数列cn满足cn=1, n≤5，bn−5, n≥6，
当n≤5时， Tn=a1+a2+⋯+an=nn+12；
当n≥5时， Tn=T5+a6b1+a7b2+⋯+anbn−5
=15+6⋅31+7⋅32+⋯+n⋅3n−5，
令M=6⋅31+7⋅32+⋯+n⋅3n−5，
则3M= 6⋅32+⋯+n−1⋅3n−5+n⋅3n−4，
两式相减得， −2M=6⋅31+32+⋯+3n−5−n⋅3n−4−2M=18+321−3n−61−3−n⋅3n−4
整理得M=−274+2n−14⋅3n−4，
所以Tn=334+2n−14⋅3n−4 .
综上， Tn=nn+12,n≤5，334+2n−14⋅3n−4, n≥6.
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为an是等差数列， bn是等比数列，公比大于0.
设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为qq>0，
由题意可得： 3q=31+2d，3q2=121+d+3，
解得d=1,q=3，
故an=1+n−1=n,bn=3⋅3n−1=3n ．
(2)数列cn满足cn=1, n≤5，bn−5, n≥6，
当n≤5时， Tn=a1+a2+⋯+an=nn+12；
当n≥5时， Tn=T5+a6b1+a7b2+⋯+anbn−5
=15+6⋅31+7⋅32+⋯+n⋅3n−5，
令M=6⋅31+7⋅32+⋯+n⋅3n−5，
则3M= 6⋅32+⋯+n−1⋅3n−5+n⋅3n−4，
两式相减得， −2M=6⋅31+32+⋯+3n−5−n⋅3n−4−2M=18+321−3n−61−3−n⋅3n−4
整理得M=−274+2n−14⋅3n−4，
所以Tn=334+2n−14⋅3n−4 .
综上， Tn=nn+12,n≤5，334+2n−14⋅3n−4, n≥6.
【答案】
解：(1)设OM与EH相交于点P，OM与BC相交于点Q，
依题得，OP=503csx，EP=503sinx，OQ=50，
则PQ=503csx−50，
由PQ>0得， csx>33，
所以fx=4×503sinx503csx−50，
即fx=15000sin2x−1000003sinx .
(2) f′x=50006cs2x−23csx，
f′x=100003csx+32csx−3，
令f′x=0，得csx=32或csx=−33（不合题意，舍去），
由csx=32得x=π6，
设x0=∠COM，则csx0=33，则x∈0,x0，
①当x∈0,π6时， f′x>0 ，fx单调递增；
②当x∈π6,x0时，f′x<0， fx单调递减，
所以当x=π6时， fx取得最大值．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设OM与EH相交于点P，OM与BC相交于点Q，
依题得，OP=503csx，EP=503sinx，OQ=50，
则PQ=503csx−50，
由PQ>0得， csx>33，
所以fx=4×503sinx503csx−50，
即fx=15000sin2x−1000003sinx .
(2) f′x=50006cs2x−23csx，
f′x=100003csx+32csx−3，
令f′x=0，得csx=32或csx=−33（不合题意，舍去），
由csx=32得x=π6，
设x0=∠COM，则csx0=33，则x∈0,x0，
①当x∈0,π6时， f′x>0 ，fx单调递增；
②当x∈π6,x0时，f′x<0， fx单调递减，
所以当x=π6时， fx取得最大值．
【答案】
(1)解：曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程为y−fx0=f′x0x−x0，
即y=f′x0x−x0f′x0+fx0，
即y=xx0+lnx0−1．
所以k=1x0, b=lnx0−1， k+b=1x0+lnx0−1 .
令φx=1x+lnx−1,φ′x=1x−1x2=x−1x2，
所以φx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以φx≥φ1=0，即k+b的最小值为0.
(2)证明：不妨假设a>b，直线AB的斜率为lna−lnba−b，
直线AB的方程为y−lna=lna−lnba−bx−a，
即y=lna−lnba−bx+alnb−blnaa−b ．
由题意可知， alnb−blnaa−b>0，
即alnb−blna>0，所以lnbb>lnaa.
设ℎx=lnxx，
则ℎb>ℎa， ℎ′x=1−lnxx2，
令ℎ′x=0,x=e，
所以ℎx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
①若a≤e，则ℎb<ℎa，这与lnbb>lnaa矛盾，故不符合题意：
②若b≥e，则ℎb>ℎa，此时ab>b2≥e2，符合题意；
③若be2，即证b>e2a，即证ℎb>ℎe2a，只要证明ℎa>ℎe2a即可．
设 tx=ℎx−ℎe2x=lnxx+xlnx−2xe2x>e，
则f′x=1−lnxx2+lnx−1e2=lnx−1x2−e2e2x2>0 ，
所以tx单调递增，所以tx>te=0，即ℎb>ℎa>ℎe2a，
所以ab>e2.
综上所述，命题得证．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
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【解答】
(1)解：曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程为y−fx0=f′x0x−x0，
即y=f′x0x−x0f′x0+fx0，
即y=xx0+lnx0−1．
所以k=1x0, b=lnx0−1， k+b=1x0+lnx0−1 .
令φx=1x+lnx−1,φ′x=1x−1x2=x−1x2，
所以φx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以φx≥φ1=0，即k+b的最小值为0.
(2)证明：不妨假设a>b，直线AB的斜率为lna−lnba−b，
直线AB的方程为y−lna=lna−lnba−bx−a，
即y=lna−lnba−bx+alnb−blnaa−b ．
由题意可知， alnb−blnaa−b>0，
即alnb−blna>0，所以lnbb>lnaa.
设ℎx=lnxx，
则ℎb>ℎa， ℎ′x=1−lnxx2，
令ℎ′x=0,x=e，
所以ℎx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，
①若a≤e，则ℎb<ℎa，这与lnbb>lnaa矛盾，故不符合题意：
②若b≥e，则ℎb>ℎa，此时ab>b2≥e2，符合题意；
③若be2，即证b>e2a，即证ℎb>ℎe2a，只要证明ℎa>ℎe2a即可．
设 tx=ℎx−ℎe2x=lnxx+xlnx−2xe2x>e，
则f′x=1−lnxx2+lnx−1e2=lnx−1x2−e2e2x2>0 ，
所以tx单调递增，所以tx>te=0，即ℎb>ℎa>ℎe2a，
所以ab>e2.
综上所述，命题得证．