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2020-2021学年吉林省长春高二（下）期末考试数学（理）试卷 (1)人教A版
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这是一份2020-2021学年吉林省长春高二（下）期末考试数学（理）试卷 (1)人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数乙满足1−iz=a+i，且z为纯虚数，则实数a的值为( )
A.−1B.−2C.1D.2
2. 已知集合A=x|x>1，B=x|x−2<3，则A∩B=( )
A.x|−1C.x|x>−1D.x|x>1
3. 已知函数y=fx为奇函数，且对任意的x∈R， fx+2=f−x恒成立，当−1≤x<0时， fx=2x，则f2021=( ).
A.−1B.12C.−12D.1
4. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( )
A.75B.23C.77D.139
5. 已知a＝lg312，b＝(13)14，c＝lg1314，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c
6. (1−2x)5(2−x)的展开式中，x3的系数是( )
A.160B.−120C.40D.−200
7. 函数 fx=22sinωx+φ其中ω>0,|φ|<π2，的图象的一部分如图所示，gx=sinωx，要想得到gx的图象，只需将fx的图象（ ）
A.向右平移π4个单位长度B.向右平移2个单位长度
C.向左平移π4个单位长度D.向左平移2个单位长度
8. 若函数fx=x3+2−ax2+a3x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为( )
A.a<1或a>4B.a≥4C.1
9. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )
A.14B.827C.16D.29
10. 已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为12020， an>0，1a1a2+1a2a3+⋯+1a2020a201=1010， 则a2021的值为( )
A.12B.1C.32D.2
11. 设X∼N(1, 1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ
A.7539B.6038C.7028D.6587
12. 已知函数fx的定义域为R，且fxex的解集为( )
A.1,+∞B.−∞,1C.e,+∞D.−∞,0
二、填空题
已知向量a→=−2,1，b→=(1,3)，c→=3,2，若a→+λb→//c→，则λ=________．
汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有_________.
在三棱锥P−ABC中，已知PA=PB=PC=AC,AB⊥BC，则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为________ .
甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数占的期望Eξ为________.
三、解答题
已知函数fx=x2+x−lnx.
(1)求在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间．
已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项；
(2)求数列{n⋅2an}的前n项和Sn．
2020年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频 APP或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人．将这160人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组55,65，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求a的值并估计这160人的平均年龄；
(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频APP表达对祖国祝福的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？
附：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90∘，AD=2，DB=23，PD⊥底面ABCD．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)若点E为AD的中点，PD=3，求二面角E−PB−D的余弦值．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1−csA=3c．
(1)求角A的大小；
(2)如图，在AC边的右侧取点D，使得AD=2CD=4，若b=c，求当∠ADC为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求其最大值．
已知函数fx=aexx+x，gx=lnx．
(1)若a=1，求y=fx在1,3上的最值；
(2)当x∈0,+∞时，fx≤gx恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】
解：由1−iz=a+i，
得z=a+i1−i=a+i1+i1−i1+i
=a−12+a+12i，
由题意得， a−1=0,a+1≠0,
即a=1．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式，可求出集合B，进而与集合A取交集即可．
【解答】
由题意，|x−2|<3⇔−3则B=x|x−2|<3=x|−1所以A∩B=x|x>1}∩{x|−1故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
根据已知可得函数y=fx的周期为4，即可得解f2021=f4×505+1=f1=−f−1=−2−1=−12.
【解答】
解：∵ y=fx是R上的奇函数，且fx+2=f−x，
∴fx+2=−fx，即fx+4=−fx+2=fx，
故函数y=fx的周期为4，
∴f2021=f4×505+1=f1=−f−1=−2−1=−12.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
归纳推理
【解析】
根据数字的变化规律即可求出．
【解答】
解：观察每个图形最上边的正方形中的数字规律为1，3，5，7，9，11，
左下角数字的变化规律为2，22，23，24， 25，26，
右下角的数字等于前图形的两个数字之和，所以a=26+11=75．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
可以得出lg312<0,0<(13)14<1,lg1314>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵ lg312lg1313=1，
∴ c>b>a．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
二次函数的应用
勾股定理
【解析】
将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数：利用二项展开式的通项公式求出通项令通项中的r分别取3和2求出二项式的含x3和含x2的系数即可得解．
【解答】
解：1−2x52−x=21−2x5−x1−2x5，
∵1−2x5的展开式的通项为Tr+1=C5r−2xr=−2rC5rxr,
令r=3得1−2x5展开式中x3的项的系数是−8C53=−80,
令r=2得1−2x5展开式中x2的项的系数是4C52=40,
∴1−2x52−x=21−2x5−x1−2x5的展开式中x3的项的系数是2×−80−40=−200.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
首先根据图象得到T4=4，求出周期，代入周期公式求出ω的值，再代入最高点2,22求出φ的值，利用图象变换法则求出选项.
【解答】
解：由图可知，T4=4⇒T=16⇒ω=2πT=π8，
所以f(x)=22sin(π8x+φ).
又图象过点2,22，
所以sin(π4+φ)=1.
因为|φ|<π2，
所以φ=π4，
所以f(x)=22sin(π8x+π4)=22sinπ8(x+2).
又g(x)=sinπ8x，
所以需要将f(x)的图象向右移2个单位.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：f′(x)=3x2+22−ax+a3.
∵ 函数fx=x3+2−ax2+a3x+1在其定义域上不单调，
∴ f′(x)=3x2+22−ax+a3=0有两个不相等的实数根，
即Δ=42−a2−4a>0，解得：a<1或a>4.
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，基本事件总数n=C42A33=36，甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．
【解答】
解：某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，
对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，
若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，
基本事件总数n=C42A33=36，
甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，
则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率P=mn=636=16．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
首先采用裂项的方式将已知条件化简得到1a1−1a2021=12，再根据a2021=a1+2020d得到关于a1的方程，求出首项即可求解.
【解答】
解：设d=12020，
则1a1a2+1a2a3+...+1a2020a2021
=1d(1a1−1a2)+(1a2−1a3)+...+(1a2020−1a2021]
=20201a1−1a2021=1010,
则1a1−1a2021=12,
又a2021=a1+2020d=a1+1，
则1a1−1a2021=1a1−1a1+1=12，化简得，a12+2a1−2=0，解得a1=1，(负舍)，
则a2021=a1+1=2.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．
【解答】
解：∵ X∼N(1, 1)，
∴ μ=1，σ=1，
∴μ+σ=2，
∵ P(μ−σ∴ P(0∵正态曲线关于直线x=1对称，
∴P1∵正方形ABCD的面积为1，
∴阴影部分的面积约为1−0.34135=0.65865，
由几何概型的概率公式可得：
从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是0.658651×10000=6586.5≈6587.
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
【解析】
构造函数gx=fx+1ex，结合已知及导数与单调性关系可求gx的单调性，进而可求不等式的解集．
【解答】
解：令gx=fx+1ex，
∵ fx则g′x=f′x−fx−1ex>0，
故gx 在R上单调递增，
由f(1)=e−1可得g(1)=1，
∵ fx+1>ex，
∴ gx>1=g(1)，
故x>1．
故选A．
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．
【解答】
解：由向量a→=−2,1，b→=(1,3)，c→=3,2，
∴ a→+λb→=−2+λ,1+3λ，
∵ a→+λb→//c→，
∴ 31+3λ=2−2+λ，
解得λ=−1．
故答案为：−1．
【答案】
420
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，进而分2步讨论区域①②③与区域④⑤的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，
分2步进行分析：
对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53=60种情况，
对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况，
若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有2×2=4种，
则区域④⑤有3+4=7种情况，
则一共有60×7=420种涂色方案.
故答案为：420.
【答案】
12
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
本题考查线面角的问题，考查空间想象能力和运算求解能力．
【解答】
解：取AC的中点O，连接PO，BO．
因为AB⊥BC，
所以OB=OA=OC．
又PA=PC=PB，
所以PO⊥AC，
可证△PAO≅△PCO≅△PBO，
所以PO⊥OB，
从而PO⊥平面ABC，
所以PB与平面ABC所成角为∠PBO，
cs∠PBO=BOBP=12ACBP=12.
故答案为：12.
【答案】
2522729
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量t的所有可能的取值为2，4，6，8，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，再由离散型随机变量的期望公式．
【解答】
解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，8，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有Pξ=2=59，
Pξ=4=1−59×59=2081，
Pξ=6=1−592×59=80729，
Pξ=8=1−593=64729，
故Eξ=2×59+4×2081+6×80729+8×64729=2522729．
故答案为：2522729．
三、解答题
【答案】
解：(1)f′x=2x+1−1x，
故f1=2，f′1=2，
故切线方程是y−2=2(x−1)，
即y=2x.
(2)由fx的定义域是0,+∞，
f′x=2x−1x+1x，
令f′x>0 ，解得：x>12，
令f′x<0 ，解得： 0故fx在0,12递减，在12,+∞递增．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(1)求出函数的导数，计算f1=2，f′1=2，求出切线方程即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】
解：(1)f′x=2x+1−1x，
故f1=2，f′1=2，
故切线方程是y−2=2(x−1)，
即y=2x.
(2)由fx的定义域是0,+∞，
f′x=2x−1x+1x，
令f′x>0 ，解得：x>12，
令f′x<0 ，解得： 0故fx在0,12递减，在12,+∞递增．
【答案】
解：(1)因为a1，a3，a9成等比数列，
所以a32=a1a9，
又a3=a1+2d，a9=a1+8d，a1=1，
所以4d2−4d=0，
又d≠0，
所以d=1，
所以an=a1+n−1d=n．
(2)令bn=n⋅2an=n⋅2n，
所以Sn=2+2×22+3×23+⋯+n−12n−1+n×2n①，
2Sn=22+2×23+⋯+n−1×2n+n×2n+1②，
①−②得：−Sn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1
=21−2n1−2−n×2n+1
=1−n×2n+1−2,
所以Sn=n−1×2n+1+2．
【考点】
数列的求和
等比数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为a1，a3，a9成等比数列，
所以a32=a1a9，
又a3=a1+2d，a9=a1+8d，a1=1，
所以4d2−4d=0，
又d≠0，
所以d=1，
所以an=a1+n−1d=n．
(2)令bn=n⋅2an=n⋅2n，
所以Sn=2+2×22+3×23+⋯+n−12n−1+n×2n①，
2Sn=22+2×23+⋯+n−1×2n+n×2n+1②，
①−②得：−Sn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1
=21−2n1−2−n×2n+1
=1−n×2n+1−2,
所以Sn=n−1×2n+1+2．
【答案】
解：(1)由10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1得a=0.035．
这160人的平均年龄为
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10
×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．
(2)前3组人数为10×(0.010+0.015+0.035)×160=96，
由题意得2×2列联表：
K2=200×(14×64−26×96)240×160×110×90≈8.081>6.635，
所以有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1得a=0.035．
这160人的平均年龄为
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10
×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．
(2)前3组人数为10×(0.010+0.015+0.035)×160=96，
由题意得2×2列联表：
K2=200×(14×64−26×96)240×160×110×90≈8.081>6.635，
所以有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【答案】
(1)证明：因为PD⊥底面
ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又因为∠ADB=90∘，BD⊥AD，PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
从而BD⊥PA．
(2)解：因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥AD，
又BD⊥AD，PD⊥BD，
所以DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为坐标原点，DA→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，
则A2,0,0，B0,23,0，P0,0,3，E1,0,0．
DA→=2,0,0，EB→=−1,23,0，EP→=−1,0,3．
设m→=x,y,z为平面EPB的法向量，
则m→⋅EB→=0,m→⋅EP→=0,
即−x+23y=0,−x+3z=0,
可取m→=6,3,2，
又因为AD⊥PD，AD⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
所以AD⊥平面PBD，
所以DA→=2,0,0为平面DPB的法向量，
则cs⟨DA→,m→⟩=DA→⋅m→|DA→|⋅|m→|=122×43=64343，
故二面角E−PB−D的余弦值为64343．
【考点】
两条直线垂直的判定
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又因为∠ADB=90∘，BD⊥AD，PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
从而BD⊥PA．
(2)解：因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥AD，
又BD⊥AD，PD⊥BD，
所以DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为坐标原点，DA→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，
则A2,0,0，B0,23,0，P0,0,3，E1,0,0．
DA→=2,0,0，EB→=−1,23,0，EP→=−1,0,3．
设m→=x,y,z为平面EPB的法向量，
则m→⋅EB→=0,m→⋅EP→=0,
即−x+23y=0,−x+3z=0,
可取m→=6,3,2，
又因为AD⊥PD，AD⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
所以AD⊥平面PBD，
所以DA→=2,0,0为平面DPB的法向量，
则cs⟨DA→,m→⟩=DA→⋅m→|DA→|⋅|m→|=122×43=64343，
故二面角E−PB−D的余弦值为64343．
【答案】
解：(1)∵ asinC1−csA=3c．
由正弦定理得，sinAsinC1−csA=3sinC．
∵ sinC≠0，
∴ sinA=31−csA，
∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3，
∴ sinA+π3=32，
又0∴ π3∴ A+π3=2π3，
∴ A=π3.
(2)由(1)知， B=π3，AB=AC,
∴ 以△ABC为等边三角形．
设∠ADC=α，则在△ACD中，
由余弦定理得AC2=16+4−16csα=20−16csα，
所以S△ABC=12×AC2×sinπ3=53−43csα,
S△ACD=12×4×2sinα=4sinα，
四边形ABCD的面积S=53−43csα+4sinα=53+8sinα−π3，
因为0<α<π，
所以−π3<α−π3≤2π3．
当α−π3=π2，即α=5π6时，
Smax=8+53，
所以当∠ADC=5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值8+53.
【考点】
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
余弦定理
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ asinC1−csA=3c．
由正弦定理得，sinAsinC1−csA=3sinC．
∵ sinC≠0，
∴ sinA=31−csA，
∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3，
∴ sinA+π3=32，
又0∴ π3∴ A+π3=2π3，
∴ A=π3.
(2)由(1)知， B=π3，AB=AC,
∴ 以△ABC为等边三角形．
设∠ADC=α，则在△ACD中，
由余弦定理得AC2=16+4−16csα=20−16csα，
所以S△ABC=12×AC2×sinπ3=53−43csα,
S△ACD=12×4×2sinα=4sinα，
四边形ABCD的面积S=53−43csα+4sinα=53+8sinα−π3，
因为0<α<π，
所以−π3<α−π3≤2π3．
当α−π3=π2，即α=5π6时，
Smax=8+53，
所以当∠ADC=5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值8+53.
【答案】
解：(1)因fx=exx+x，
则f′x=exx−1x2+1，
当x∈1,3时，f′x>0，
所以y=fx在1,3上的最大值为f(3)=e33+3，
最小值为f1=e+1．
(2)因为fx≤gx，
所以aexx+x≤lnx，
即a≤xlnx−x2ex．
令Fx=xlnx−x2ex，F′x=1−x⋅lnx+1−xex，
令kx=lnx+1−x，
则k′x=1x−1，
当x∈0,1时，k′x>0，
当x∈1,+∞时，k′x<0，
即kx≤k1=0，
所以当x∈0,1时，F′x<0，
当x∈1,+∞时，F′x>0，Fxmin=F1=−1e，
所以a的取值范围是a|a≤−1e．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因fx=exx+x，
则f′x=exx−1x2+1，
当x∈1,3时，f′x>0，
所以y=fx在1,3上的最大值为f(3)=e33+3，
最小值为f1=e+1．
(2)因为fx≤gx，
所以aexx+x≤lnx，
即a≤xlnx−x2ex．
令Fx=xlnx−x2ex，F′x=1−x⋅lnx+1−xex，
令kx=lnx+1−x，
则k′x=1x−1，
当x∈0,1时，k′x>0，
当x∈1,+∞时，k′x<0，
即kx≤k1=0，
所以当x∈0,1时，F′x<0，
当x∈1,+∞时，F′x>0，Fxmin=F1=−1e，
所以a的取值范围是a|a≤−1e．通过短视频APP表达祝福
通过微信或微博表达祝福
合计
青少年
14
96
110
中老年
26
64
90
合计
40
160
200
通过短视频APP表达祝福
通过微信或微博表达祝福
合计
青少年
14
96
110
中老年
26
64
90
合计
40
160
200
1. 已知复数乙满足1−iz=a+i，且z为纯虚数，则实数a的值为( )
A.−1B.−2C.1D.2
2. 已知集合A=x|x>1，B=x|x−2<3，则A∩B=( )
A.x|−1
3. 已知函数y=fx为奇函数，且对任意的x∈R， fx+2=f−x恒成立，当−1≤x<0时， fx=2x，则f2021=( ).
A.−1B.12C.−12D.1
4. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( )
A.75B.23C.77D.139
5. 已知a＝lg312，b＝(13)14，c＝lg1314，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c
6. (1−2x)5(2−x)的展开式中，x3的系数是( )
A.160B.−120C.40D.−200
7. 函数 fx=22sinωx+φ其中ω>0,|φ|<π2，的图象的一部分如图所示，gx=sinωx，要想得到gx的图象，只需将fx的图象（ ）
A.向右平移π4个单位长度B.向右平移2个单位长度
C.向左平移π4个单位长度D.向左平移2个单位长度
8. 若函数fx=x3+2−ax2+a3x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为( )
A.a<1或a>4B.a≥4C.1
9. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )
A.14B.827C.16D.29
10. 已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为12020， an>0，1a1a2+1a2a3+⋯+1a2020a201=1010， 则a2021的值为( )
A.12B.1C.32D.2
11. 设X∼N(1, 1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ
A.7539B.6038C.7028D.6587
12. 已知函数fx的定义域为R，且fx
A.1,+∞B.−∞,1C.e,+∞D.−∞,0
二、填空题
已知向量a→=−2,1，b→=(1,3)，c→=3,2，若a→+λb→//c→，则λ=________．
汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有_________.
在三棱锥P−ABC中，已知PA=PB=PC=AC,AB⊥BC，则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为________ .
甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数占的期望Eξ为________.
三、解答题
已知函数fx=x2+x−lnx.
(1)求在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间．
已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列an的通项；
(2)求数列{n⋅2an}的前n项和Sn．
2020年10月1日既是中华人民共和国第71个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频 APP或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出200人，经统计这200人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有160人．将这160人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组55,65，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求a的值并估计这160人的平均年龄；
(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过短视频APP表达对祖国祝福的中老年人有26人，问是否有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？
附：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90∘，AD=2，DB=23，PD⊥底面ABCD．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)若点E为AD的中点，PD=3，求二面角E−PB−D的余弦值．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1−csA=3c．
(1)求角A的大小；
(2)如图，在AC边的右侧取点D，使得AD=2CD=4，若b=c，求当∠ADC为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求其最大值．
已知函数fx=aexx+x，gx=lnx．
(1)若a=1，求y=fx在1,3上的最值；
(2)当x∈0,+∞时，fx≤gx恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年吉林省长春市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】
解：由1−iz=a+i，
得z=a+i1−i=a+i1+i1−i1+i
=a−12+a+12i，
由题意得， a−1=0,a+1≠0,
即a=1．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
解不等式，可求出集合B，进而与集合A取交集即可．
【解答】
由题意，|x−2|<3⇔−3
3.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
根据已知可得函数y=fx的周期为4，即可得解f2021=f4×505+1=f1=−f−1=−2−1=−12.
【解答】
解：∵ y=fx是R上的奇函数，且fx+2=f−x，
∴fx+2=−fx，即fx+4=−fx+2=fx，
故函数y=fx的周期为4，
∴f2021=f4×505+1=f1=−f−1=−2−1=−12.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
归纳推理
【解析】
根据数字的变化规律即可求出．
【解答】
解：观察每个图形最上边的正方形中的数字规律为1，3，5，7，9，11，
左下角数字的变化规律为2，22，23，24， 25，26，
右下角的数字等于前图形的两个数字之和，所以a=26+11=75．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
可以得出lg312<0,0<(13)14<1,lg1314>1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵ lg312
∴ c>b>a．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
二次函数的应用
勾股定理
【解析】
将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数：利用二项展开式的通项公式求出通项令通项中的r分别取3和2求出二项式的含x3和含x2的系数即可得解．
【解答】
解：1−2x52−x=21−2x5−x1−2x5，
∵1−2x5的展开式的通项为Tr+1=C5r−2xr=−2rC5rxr,
令r=3得1−2x5展开式中x3的项的系数是−8C53=−80,
令r=2得1−2x5展开式中x2的项的系数是4C52=40,
∴1−2x52−x=21−2x5−x1−2x5的展开式中x3的项的系数是2×−80−40=−200.
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
首先根据图象得到T4=4，求出周期，代入周期公式求出ω的值，再代入最高点2,22求出φ的值，利用图象变换法则求出选项.
【解答】
解：由图可知，T4=4⇒T=16⇒ω=2πT=π8，
所以f(x)=22sin(π8x+φ).
又图象过点2,22，
所以sin(π4+φ)=1.
因为|φ|<π2，
所以φ=π4，
所以f(x)=22sin(π8x+π4)=22sinπ8(x+2).
又g(x)=sinπ8x，
所以需要将f(x)的图象向右移2个单位.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：f′(x)=3x2+22−ax+a3.
∵ 函数fx=x3+2−ax2+a3x+1在其定义域上不单调，
∴ f′(x)=3x2+22−ax+a3=0有两个不相等的实数根，
即Δ=42−a2−4a>0，解得：a<1或a>4.
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，基本事件总数n=C42A33=36，甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．
【解答】
解：某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，
对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，
若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，
基本事件总数n=C42A33=36，
甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，
则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率P=mn=636=16．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
首先采用裂项的方式将已知条件化简得到1a1−1a2021=12，再根据a2021=a1+2020d得到关于a1的方程，求出首项即可求解.
【解答】
解：设d=12020，
则1a1a2+1a2a3+...+1a2020a2021
=1d(1a1−1a2)+(1a2−1a3)+...+(1a2020−1a2021]
=20201a1−1a2021=1010,
则1a1−1a2021=12,
又a2021=a1+2020d=a1+1，
则1a1−1a2021=1a1−1a1+1=12，化简得，a12+2a1−2=0，解得a1=1，(负舍)，
则a2021=a1+1=2.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．
【解答】
解：∵ X∼N(1, 1)，
∴ μ=1，σ=1，
∴μ+σ=2，
∵ P(μ−σ
∴P1
∴阴影部分的面积约为1−0.34135=0.65865，
由几何概型的概率公式可得：
从正方形ABCD中随机取10000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是0.658651×10000=6586.5≈6587.
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式恒成立问题
【解析】
构造函数gx=fx+1ex，结合已知及导数与单调性关系可求gx的单调性，进而可求不等式的解集．
【解答】
解：令gx=fx+1ex，
∵ fx
故gx 在R上单调递增，
由f(1)=e−1可得g(1)=1，
∵ fx+1>ex，
∴ gx>1=g(1)，
故x>1．
故选A．
二、填空题
【答案】
−1
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．
【解答】
解：由向量a→=−2,1，b→=(1,3)，c→=3,2，
∴ a→+λb→=−2+λ,1+3λ，
∵ a→+λb→//c→，
∴ 31+3λ=2−2+λ，
解得λ=−1．
故答案为：−1．
【答案】
420
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，进而分2步讨论区域①②③与区域④⑤的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，
分2步进行分析：
对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53=60种情况，
对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况，
若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有2×2=4种，
则区域④⑤有3+4=7种情况，
则一共有60×7=420种涂色方案.
故答案为：420.
【答案】
12
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
本题考查线面角的问题，考查空间想象能力和运算求解能力．
【解答】
解：取AC的中点O，连接PO，BO．
因为AB⊥BC，
所以OB=OA=OC．
又PA=PC=PB，
所以PO⊥AC，
可证△PAO≅△PCO≅△PBO，
所以PO⊥OB，
从而PO⊥平面ABC，
所以PB与平面ABC所成角为∠PBO，
cs∠PBO=BOBP=12ACBP=12.
故答案为：12.
【答案】
2522729
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由题意比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，所以随机变量t的所有可能的取值为2，4，6，8，利用随机变量的定义及独立事件同时发生的概率公式求出每一个随机变量取值时对应的随机事件的概率，再由离散型随机变量的期望公式．
【解答】
解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，8，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有Pξ=2=59，
Pξ=4=1−59×59=2081，
Pξ=6=1−592×59=80729，
Pξ=8=1−593=64729，
故Eξ=2×59+4×2081+6×80729+8×64729=2522729．
故答案为：2522729．
三、解答题
【答案】
解：(1)f′x=2x+1−1x，
故f1=2，f′1=2，
故切线方程是y−2=2(x−1)，
即y=2x.
(2)由fx的定义域是0,+∞，
f′x=2x−1x+1x，
令f′x>0 ，解得：x>12，
令f′x<0 ，解得： 0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(1)求出函数的导数，计算f1=2，f′1=2，求出切线方程即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】
解：(1)f′x=2x+1−1x，
故f1=2，f′1=2，
故切线方程是y−2=2(x−1)，
即y=2x.
(2)由fx的定义域是0,+∞，
f′x=2x−1x+1x，
令f′x>0 ，解得：x>12，
令f′x<0 ，解得： 0
【答案】
解：(1)因为a1，a3，a9成等比数列，
所以a32=a1a9，
又a3=a1+2d，a9=a1+8d，a1=1，
所以4d2−4d=0，
又d≠0，
所以d=1，
所以an=a1+n−1d=n．
(2)令bn=n⋅2an=n⋅2n，
所以Sn=2+2×22+3×23+⋯+n−12n−1+n×2n①，
2Sn=22+2×23+⋯+n−1×2n+n×2n+1②，
①−②得：−Sn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1
=21−2n1−2−n×2n+1
=1−n×2n+1−2,
所以Sn=n−1×2n+1+2．
【考点】
数列的求和
等比数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为a1，a3，a9成等比数列，
所以a32=a1a9，
又a3=a1+2d，a9=a1+8d，a1=1，
所以4d2−4d=0，
又d≠0，
所以d=1，
所以an=a1+n−1d=n．
(2)令bn=n⋅2an=n⋅2n，
所以Sn=2+2×22+3×23+⋯+n−12n−1+n×2n①，
2Sn=22+2×23+⋯+n−1×2n+n×2n+1②，
①−②得：−Sn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1
=21−2n1−2−n×2n+1
=1−n×2n+1−2,
所以Sn=n−1×2n+1+2．
【答案】
解：(1)由10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1得a=0.035．
这160人的平均年龄为
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10
×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．
(2)前3组人数为10×(0.010+0.015+0.035)×160=96，
由题意得2×2列联表：
K2=200×(14×64−26×96)240×160×110×90≈8.081>6.635，
所以有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1得a=0.035．
这160人的平均年龄为
20×10×0.01+30×10×0.015+40×10
×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．
(2)前3组人数为10×(0.010+0.015+0.035)×160=96，
由题意得2×2列联表：
K2=200×(14×64−26×96)240×160×110×90≈8.081>6.635，
所以有99%的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．
【答案】
(1)证明：因为PD⊥底面
ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又因为∠ADB=90∘，BD⊥AD，PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
从而BD⊥PA．
(2)解：因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥AD，
又BD⊥AD，PD⊥BD，
所以DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为坐标原点，DA→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，
则A2,0,0，B0,23,0，P0,0,3，E1,0,0．
DA→=2,0,0，EB→=−1,23,0，EP→=−1,0,3．
设m→=x,y,z为平面EPB的法向量，
则m→⋅EB→=0,m→⋅EP→=0,
即−x+23y=0,−x+3z=0,
可取m→=6,3,2，
又因为AD⊥PD，AD⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
所以AD⊥平面PBD，
所以DA→=2,0,0为平面DPB的法向量，
则cs⟨DA→,m→⟩=DA→⋅m→|DA→|⋅|m→|=122×43=64343，
故二面角E−PB−D的余弦值为64343．
【考点】
两条直线垂直的判定
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又因为∠ADB=90∘，BD⊥AD，PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，
所以BD⊥平面PAD，
又PA⊂平面PAD，
从而BD⊥PA．
(2)解：因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥AD，
又BD⊥AD，PD⊥BD，
所以DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为坐标原点，DA→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，
则A2,0,0，B0,23,0，P0,0,3，E1,0,0．
DA→=2,0,0，EB→=−1,23,0，EP→=−1,0,3．
设m→=x,y,z为平面EPB的法向量，
则m→⋅EB→=0,m→⋅EP→=0,
即−x+23y=0,−x+3z=0,
可取m→=6,3,2，
又因为AD⊥PD，AD⊥BD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
所以AD⊥平面PBD，
所以DA→=2,0,0为平面DPB的法向量，
则cs⟨DA→,m→⟩=DA→⋅m→|DA→|⋅|m→|=122×43=64343，
故二面角E−PB−D的余弦值为64343．
【答案】
解：(1)∵ asinC1−csA=3c．
由正弦定理得，sinAsinC1−csA=3sinC．
∵ sinC≠0，
∴ sinA=31−csA，
∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3，
∴ sinA+π3=32，
又0
∴ A=π3.
(2)由(1)知， B=π3，AB=AC,
∴ 以△ABC为等边三角形．
设∠ADC=α，则在△ACD中，
由余弦定理得AC2=16+4−16csα=20−16csα，
所以S△ABC=12×AC2×sinπ3=53−43csα,
S△ACD=12×4×2sinα=4sinα，
四边形ABCD的面积S=53−43csα+4sinα=53+8sinα−π3，
因为0<α<π，
所以−π3<α−π3≤2π3．
当α−π3=π2，即α=5π6时，
Smax=8+53，
所以当∠ADC=5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值8+53.
【考点】
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
余弦定理
三角形的面积公式
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ asinC1−csA=3c．
由正弦定理得，sinAsinC1−csA=3sinC．
∵ sinC≠0，
∴ sinA=31−csA，
∴ sinA+3csA=2sinA+π3=3，
∴ sinA+π3=32，
又0
∴ A=π3.
(2)由(1)知， B=π3，AB=AC,
∴ 以△ABC为等边三角形．
设∠ADC=α，则在△ACD中，
由余弦定理得AC2=16+4−16csα=20−16csα，
所以S△ABC=12×AC2×sinπ3=53−43csα,
S△ACD=12×4×2sinα=4sinα，
四边形ABCD的面积S=53−43csα+4sinα=53+8sinα−π3，
因为0<α<π，
所以−π3<α−π3≤2π3．
当α−π3=π2，即α=5π6时，
Smax=8+53，
所以当∠ADC=5π6时，四边形ABCD的面积取得最大值8+53.
【答案】
解：(1)因fx=exx+x，
则f′x=exx−1x2+1，
当x∈1,3时，f′x>0，
所以y=fx在1,3上的最大值为f(3)=e33+3，
最小值为f1=e+1．
(2)因为fx≤gx，
所以aexx+x≤lnx，
即a≤xlnx−x2ex．
令Fx=xlnx−x2ex，F′x=1−x⋅lnx+1−xex，
令kx=lnx+1−x，
则k′x=1x−1，
当x∈0,1时，k′x>0，
当x∈1,+∞时，k′x<0，
即kx≤k1=0，
所以当x∈0,1时，F′x<0，
当x∈1,+∞时，F′x>0，Fxmin=F1=−1e，
所以a的取值范围是a|a≤−1e．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因fx=exx+x，
则f′x=exx−1x2+1，
当x∈1,3时，f′x>0，
所以y=fx在1,3上的最大值为f(3)=e33+3，
最小值为f1=e+1．
(2)因为fx≤gx，
所以aexx+x≤lnx，
即a≤xlnx−x2ex．
令Fx=xlnx−x2ex，F′x=1−x⋅lnx+1−xex，
令kx=lnx+1−x，
则k′x=1x−1，
当x∈0,1时，k′x>0，
当x∈1,+∞时，k′x<0，
即kx≤k1=0，
所以当x∈0,1时，F′x<0，
当x∈1,+∞时，F′x>0，Fxmin=F1=−1e，
所以a的取值范围是a|a≤−1e．通过短视频APP表达祝福
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合计
青少年
14
96
110
中老年
26
64
90
合计
40
160
200
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