2020-2021学年河北省张家口高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省张家口高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A=x|x2−2x−3≤0，B={x||x|≤2}，则A∩B=（ ）
A.x|−2≤x≤3B.x|−2≤x≤−1
C.x|−1≤x≤2D.x|−1≤x≤3

2. 已知命题p："∃x0∈R，x02+ax0+1>0”，则命题¬p为（ ）
A.∀x∉R，x2+ax+1>0B.∀x∈R，x2+ax+1>0
C.∀x∈R，x2+ax+1≤0D.∀x∈R，x2+ax+13”是“1ab>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
二、多选题

设 z1−i=2+i ，则下列叙述中正确的是（ ）
A.z的虚部为 −32
B.z=12−32i
C.|z|=102
D.在复平面内，复数z对应的点位于第四象限

在 x−1x6 的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A.二项式系数之和为32B.各项系数之和为0
C.常数项为15D.x−3的系数为15

甲、乙两名学生在环保知识竞赛的6次成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.甲的竞赛成绩的平均分比乙的竞赛成绩的平均分高
B.甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数
C.甲的竞赛成绩的众数为110
D.甲的竞赛成绩的方差小于乙的竞赛成绩的方差

已知函数 fx,∀x∈R，均有 f−x=fx,fx+2=fx−2，当 x∈2,4时，fx=12x2−4x+8，函数 gx=fx−a⋅|x|(a≠0)在R上至少有7个零点，则下列说法正确的是（ ）
A.fx是周期为2的偶函数B.当 x∈0,2时，fx=12x2
C.fx−x≤0 的解集为[0,+∞）D.a的取值范围是0,1
三、填空题

在某市举行的庆祝建党100周年学党史知识竞赛中，参赛人员成绩 X∼N90,σ2，已知P900,a+9b=7 ，则 1a+4b的最小值为________．

盒中有6个大小、形状完全相同的小球，其中有3个红球、2个绿球、1个黄球．现从盒中随机取3个球，每次取1个，不放回．则取出的3个球中恰有1个红球、1个绿球、1个黄球的概率为________．

设函数 fx=lnxx，若∃x∈2,4，使得不等式aex−xfx≤x 成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题

某中学准备组织学科文化节活动，为调查学生是否愿意成为文化节志愿者，该中学在高二年级学生中随机选取了90人，进行了问卷调查，得到了如下2×2列联表：

(1)补全2×2列联表；

(2)是否有90%的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关？请说明理由．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d．
参考数据：

已知函数 fx=x3−3x2+a ．
(1)若曲线 y=fx 的切线方程为 y=−3x，求a的值；

(2)若函数 fx在区间[−2,4]上的最大值为16，求a的值．

槲寄生是一种寄生在大树上部树枝的寄生植物，可以从寄主植物上吸取水分和无机物，进行光合作用制造养分．它喜欢寄生在树龄较小的大树上．下表给出了在一定条件下完成的实验中采集的数据：

(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系．请用相关系数r加以说明（精确到0.01）（|r|≥0.75，说明变量间的线性相关性很强；0.3≤|r|0，都有 f(x2−axy+4y2)≥0，求实数a的取值范围．

随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准．零件加工精度受到机械加工工艺的影响，只有提高机械加工工艺水平，才能够尽可能地减少机械加工零件的失误．某制造工厂检测部门抽查了200个机械零件，将其直径长度（单位：毫米）作为样本，经统计得频率分布直方图如图所示．已知零件的直径长度在区间(98,104]内的为合格品，其他为不合格品．
(1)求样本中零件的直径长度在区间（96,98]内的零件个数；

(2)若从样本的不合格品中随机抽取2个零件，求恰有一个零件的直径长度在区间（104，106]内的概率；

(3)若将样本的频率视为概率，从生产线中随机抽取3个零件，记合格品的个数为X，求X的分布列、数学期望EX及方差DX．

已知函数 fx=12e2x+ex−aex+x,a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若函数fx存在极值点x0，且 ∀x∈R,fx+a2−a≥2−2ln2 恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ A=x|−1≤x≤3，B=x|−2≤x≤2，
∴ A∩B=x|−1≤x≤2.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
无
【解答】
解：根据特称命题的否定为全称命题可知，
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ f′x=3csx−4sinx，
∴ f′0=3．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：因为高二和高三年级人数占总人数的34，
所以总人数为2400×43=3200，
所以高一人数为3200×14=800．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：1a1，排除C，
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：因为lg27>lg24=2，lg38lg33=1，00.30.2，
所以c>b>a，
故选D．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
【解析】z=2+i1−i=1+3i2，z的虚部为32，A错误；
z=12−32i，B正确；
|z|=102，C正确；
复数：对应的点为12,32，该点位于第一象限，D错误．
故选：B，C．
【解答】
解：z=2+i1−i=1+3i2，z的虚部为32，A错误；
z=12−32i，B正确；
|z|=102，C正确；
复数z对应的点为12,32，该点位于第一象限，D错误．
故选BC．
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A．26=64，A错误；
B．令x=1得各项系数之和为0，B正确；
C．Tr+1=C6r(x)6−r−1xr=(−1)r⋅C6r⋅x3−3r2，令r=2，得T3=15，C正确；
D．令r=4，得T5=15x−3，D正确．
故选BCD.
【答案】
B,C,D
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
【解析】由茎叶图中数据可得，x甲=16×101+110+110+111+112+122=111，
x乙=16×101+103+105+112+120+125=111，所以x甲=x乙，故A错误；
甲的竞赛成绩的中位数为110+1112=110.5，乙的竞赛成绩的中位数为105+1122=108.5，所以甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数，故B正确；
易知甲的竞赛成绩的众数为110，故C正确；
由茎叶图可知，甲的竞赛成绩更集中，故甲的竞赛成绩的方差小于乙竞赛成绩的方差，故D正确．
故选：BCD．
【解答】
解：由茎叶图中数据可得，x甲=16×101+110+110+111+112+122=111，
x乙=16×101+103+105+112+120+125=111，所以x甲=x乙，故A错误；
甲的竞赛成绩的中位数为110+1112=110.5，乙的竞赛成绩的中位数为105+1122=108.5，
所以甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数，故B正确；
易知甲的竞赛成绩的众数为110，故C正确；
由茎叶图可知，甲的竞赛成绩更集中，故甲的竞赛成绩的方差小于乙竞赛成绩的方差，故D正确．
故选BCD．
【答案】
B,C
【考点】
函数的周期性
抽象函数及其应用
函数的对称性
函数的零点
【解析】
【解析】因为f−x=fx，所以fx是定义域为R的偶函数，由fx+2=fx−2，得fx+4=fx，则fx是周期为4的偶函数，故A错误；
fx+4=f−x，故函数fx的图象关于x=2对称，当x∈2,4时，fx=12x−42，则x∈0,2时，4−x∈2,4,fx=f4−x=124−x−42=12x2，故B正确；
函数fx的图象如图所示，当x≤0时，fx≥x，当x≥0时，fx≤x，则fx−x≤0的解集为[0,+∞），故C正确；
函数gx=fx−a⋅|x|在R上至少有7个零点，0为函数gx的零点，且gx为偶函数，则 gx在0,+∞上至少有3个零点，即函数fx与ℎx=a⋅x的图象在0,+∞上至少有3个交点，如图所示，可得a>0,ℎ6≤f6，即a⋅6≤2，则00,ℎ6≤f6，即a⋅6≤2，则085=1−PX≥95=1−0.35=0.65．
故答案为：0.65．
【解答】
解：∵ PX≥95=0.5−0.15=0.35，
∴ PX>85=1−PX≥95=1−0.35=0.65．
故答案为：0.65．
【答案】
7
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解析】1a+4b=1a+4ba+9b7=1737+9ba+4ab≥7，当且仅当9ba=4ab，即a=1,b=23时取等号．
故答案为：7．
【解答】
解：1a+4b=1a+4ba+9b7=1737+9ba+4ab≥7，
当且仅当9ba=4ab，即a=1,b=23时取等号．
故答案为：7．
【答案】
310
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
【解答】
解：P=C31C21C11C63=620=310．
故答案为：310．
【答案】
−∞,ln2+2e2
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
【解答】
解：将aex−xfx≤x化为a≤lnx+xex=ℎx，
则ℎ′x=1x+1−lnx−xex．
设gx=1x+1−lnx−x，
易知gx在2,4上单调递减，gx≤g2=−ln2−120时，令f′x=0，得x=lna，当x∈−∞,lna时，f′x0,fx单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递增；当a>0时，fx在lna,+∞上单调递增，在−∞,lna上单调递减．
（2）若函数fx存在极值点x0，由（1）知a>0，且x0=lna,fxmin=fx0=flna，则有
flna+a2−a≥2−2ln2，即12a2+a−aa+lna+a2−a≥2−2ln2，
化简得12a2−alna≥2−2ln2.
设gx=12x2−xlnxx>0，则g′x=x−lnx−1．
设mx=x−lnx−1，则m′x=1−1x=x−1x，易知mx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故mx≥m1=0，故g′x≥0，则gx在0,+∞上单调递增．
又因为g2=2−2ln2，则ga≥g2，解得a≥2，
即a的取值范围是[2,+∞）．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）fx的定义域为R，f′x=e2x+1−aex−a=ex+1ex−a，
当a≤0时，f′x>0恒成立，则fx在R上单调递增；
当a>0时，令f′x=0，得x=lna，当x∈−∞,lna时，f′x0,fx单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递增；当a>0时，fx在lna,+∞上单调递增，在−∞,lna上单调递减．
（2）若函数fx存在极值点x0，由（1）知a>0，且x0=lna,fxmin=fx0=flna，则有
flna+a2−a≥2−2ln2，即12a2+a−aa+lna+a2−a≥2−2ln2，
化简得12a2−alna≥2−2ln2.
设gx=12x2−xlnxx>0，则g′x=x−lnx−1．
设mx=x−lnx−1，则m′x=1−1x=x−1x，易知mx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故mx≥m1=0，故g′x≥0，则gx在0,+∞上单调递增．
又因为g2=2−2ln2，则ga≥g2，解得a≥2，
即a的取值范围是[2,+∞）．愿意成为志愿者
不愿意成为志愿者
总计
男
50
女
17
总计
45
PK2≥k0
0.25
0.15
0.10
0.05
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
愿意成为志愿者
不愿意成为志愿者
总计
男
28
22
50
女
17
23
40
总计
45
45
90
愿意成为志愿者
不愿意成为志愿者
总计
男
28
22
50
女
17
23
40
总计
45
45
90
X
0
1
2
3
P
1125
12125
48125
64125
X
0
1
2
3
P
1125
12125
48125
64125