2020-2021学年河北省秦皇岛高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省秦皇岛高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z满足z=(1+2i)(2+i)（i为虚数单位），则|z|=( )
A.2B.4C.5D.5

2. 已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁UN=( )
A.{x|x6B.∃x≤2，x2+2≤6
C.∃x≤2，x2+2>6D.∃x>2，x2+2≤6

4. 下列说法错误的是( )
A.“若x≠3，则x2−2x−3≠0”的逆否命题是“若x2−2x−3=0，则x=3”
B.“∀x∈R，x2−2x−3≠0”的否定是“∃x0∈R，x02−2x0−3=0​”
C.“x>3”是“x2−2x−3>0”的必要不充分条件
D.“x3​”是“x2−2x−3>0​”的充要条件

5. 函数fx=−x2+21−mx+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（ ）
A.[−3,+∞)B.[3,+∞)C.(−∞,5]D.(−∞,−3]

6. 函数y=lnxx的最大值为（ ）
A.103B.e2C.eD.e−1

7. 曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为( )
A.2x−y+1=0B.x−2y−1=0C.x−2y=0D.2x−y=0

8. 双曲线C:x2a2−y2b2=1过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A.x2−y23=1B.x23−y2=1C.x2−3y23=1D.3x23−y2=1
二、多选题

下列命题中的真命题是( )
A.∀x∈R，2x−1>0B.∀x∈N∗，(x−1)2>0
C.∃x0∈R，lgx00时， x+1x的最小值为2
B.函数y=sin2x−π3的单调递增区间为−π12+kπ,5π12+kπk∈Z
C.不等式x2+1>0的解集为R
D.已知sinα>0且tanα>0，则α为第一象限角
三、填空题

已知复数2+ai1−i为纯虚数，则实数a=________．

已知椭圆C:x2a2+y23=1的一个焦点为(1, 0)，则C的离心率为________．

已知|z+5i|+|z−5i|=6，则复数z在复平面内所对应点Px,y的轨迹方程为________.

曲线fx=ex−xlnx+2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.
四、解答题

已知a>0且a≠1，命题P：函数fx=lgax在0,+∞上为减函数；命题Q：关于x的不等式x2+2a−3x+1≤0有实数解．
(1)求命题P为真、命题Q为真的a的取值范围；

(2)如果P∨Q为真且P∧Q为假，求实数a的取值范围．

已知圆C的圆心为1,0，直线x+y+1=0与圆C相切．
(1)求圆C的方程；

(2)若直线l过点2,2，被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．

若直线L:y=kx−2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB的中点为M(2, y0)，求y0及弦AB的长．

已知函数fx=alnx−bx2在x=1处的切线为2y+1=0.
(1)求实数a，b的值；

(2)求函数fx在1e,e上的最值．

已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R．
(1)若函数f(x)在[2, +∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)在[1, e]上的最小值为3，求实数a的值．

已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217.
(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线l：y=3x+m与双曲线交于A，B两点，若|AB|=41011，求m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省秦皇岛市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：z=(1+2i)(2+i)
=5i，
则|z|=5．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
补集及其运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
解：∁UN={x|x1}；
∴ M∩∁UN={x|x0”等价于“x3”，
∴ x>3”是“x2−2x−3>0”的充分不必要条件，故C错误；
D，“x3”是“12x2−2x−3>0”的充要条件，故D正确．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
函数的单调性及单调区间
【解析】
由二次函数的图象的对称轴方程为x=1−m，根据函数在区间(−∞,4]上单调递增，可得1−m≥4 ，由此求得m的范围．
【解答】
解：由于函数fx=−x2+21−mx+3的对称轴方程为x=1−m，
若函数在区间(−∞,4]上单调递增，
故有1−m≥4 ，
求得m≤−3．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；
【解答】
解：∵ 函数y=f(x)=lnxx，(x>0)
∴ y′=1−lnxx2，令y′=0，得x=e，
当x>e时，y′0不成立，故B为假命题；
∵ 当x=1时，lgx=00，∴ x2>−1，则x∈R，故C正确；
D，∵ sinα>0且tanα=sinαcsα>0，
∴ csα>0，则α为第一象限角，故D正确．
故选ABCD．
三、填空题
【答案】
2
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后根据纯虚数的概念求出a的值．
【解答】
解：∵ 2+ai1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a+(2+a)i2为纯虚数，
∴ a−2=0，∴ a=2．
故答案为：2．
【答案】
12
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆的简单性质，利用椭圆的焦距求解椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆C:x2a2+y23=1的一个焦点为(1, 0)，
可得a2−3=1，解得a=2，
所以椭圆的离心率为：e=ca=12．
故答案为：12．
【答案】
y29+x24=1
【考点】
复数的模
轨迹方程
复数的运算
【解析】
直接利用复数的几何意义以及椭圆的定义即可求解结论．
【解答】
解：复数z在复平面内所对应点Px,y，
又 ∵ |z+5i|+|z−5i|=6，
∴ x2+y+52+x2+y−52=6，
即点Px,y到点A0,−5 和B(0,5) 的距离之和为6，
且两定点的距离为25