2020-2021学年山东省临沂市罗庄区高二（下）期中联考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省临沂市罗庄区高二（下）期中联考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，则不同的安排方法数为( )
A.4B.64C.24D.81

2. 从图中的E，F，G，H四点中随机选出两点，记ξ为选出的两点纵坐标大于0的点的个数，则Pξ=2=( )

A.16B.23C.56D.13

3. 化简x−14+4x−13+6x−12+4x−1的结果为( )
A.x4−1B.x−14−1C.x+14−1D.x4+1

4. 2021年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”58周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排5位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A.10B.15C.20D.30

5. 已知某地居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额ξ（单位：千元）服从正态分布N2,1，则该地参与购物的1万名居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额在(1,4]内的人数大约为( )
附：随机变量ξ，服从正态分布Nμ,σ2，Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ<ξ≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ<ξ≤μ+3σ=0.9973.
A.4772B.7300C.8186D.9759

6. 若函数fx=12x2−16lnx在区间a−12,a+12上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.0,52B.32,+∞C.32,72D.12,72

7. 某地市场调查发现，34的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为35，而在实体店购买的家用小电器的合格率为910．现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是( )
A.310B.1115C.1213D.34

8. 已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，且满足f′x−fx>0，f2021=e2021，则不等式flnxA.1e2021,+∞B.0,e2021
C.e2021,+∞D.0,1e2021
二、多选题

已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )

A.函数fx在x=−2处取得极大值
B.函数fx在x=1处取得极小值
C.fx在区间−1,1上单调递增
D.当x∈−1,3时函数的最大值是f−1

下列关于甲、乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人的排列方法，正确的有( )
A.甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有24种
B.甲、乙、丙互不相邻的站法共有72种方法
C.个子最高的人在中间，从中间向两边看身高依次降低的站法有6种
D.甲不在排头的站法有96种

已知函数fx=13x3−4x+2，下列说法中正确的有( )
A.函数fx的极大值为223，极小值为−103
B.若函数fx在[−2,a]上单调递减，则−2C.当x∈3,4时，函数fx的最大值为223，最小值为−103
D.若方程fx−c=0有3个不同的解，则−103
已知0A.m=1B.m=14C.DX=34D.p=12
三、填空题

若随机变量ξ∽B(10,0.2)，则D(2ξ+1)=_______.

从一副扑克牌中挑7张，其中2张红桃，5张黑桃．现从这7张扑克牌中随机抽取2张，则抽取的2张扑克牌中红桃的个数ξ的数学期望为________.

在高中数学第一册我们学习“集合的子集”时知道，若一个集合有nn∈N*个元素，则该集合的子集（包括含有0个元素（空集），1个元素，2个元素，...，n个元素）个数共有2n个，请你结合你所学习的二项式定理的有关知识写出关于子集个数为2n个的计算等式________．

已知函数fx=xlnx+2xx−a2（a∈R）．若存在x∈1,3，使得fx≤xf′x成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题

在①只有第5项的二项式系数最大，②第3项与第7项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为28，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知1−2xn展开式中________.
(1)求展开式中含x2的项；

(2)设1−2xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，求a1+a2+a3+⋯+an的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知函数fx=13x3−12x2−2ax+1，且x=−1是函数fx的一个极大值点．
(1)求实数a的值；

(2)求fx在−1,3上的最大值和最小值．

习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”．为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动．运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的1200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据如表所示：（单位：人）

(1)请将题中表格补充完整，依据α=0.01的独立性检验，能否认为是否选择器械类与性别有关联？

(2)为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动．竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加．据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是35，通过徒手类竞赛的概率都是23，且各项目是否通过相互独立．用ξ表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
（参考数据：12302=1512900，65×55×9=32175，1512900÷32175≈47)
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，

某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示：

(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

(2)求出y关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．
参考公式：相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2．
线性回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计计算公式：
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
参考数据：i=17xi−xyi−y=14.00，i=17yi−y2=7.08，198.24≈14.10.

某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则将其更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为0.1，且各件产品是否为不合格品相互独立．
1若取3件该产品，求其中至少有1件不合格品的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为4元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付50元的赔偿费用，现对一箱产品已检验了10件；
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以这一箱产品的检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

已知函数fx=2lnx+12ax2−2a+1x．
(1)若fx在2,+∞上单调，求a的取值范围．

(2)若fx在2,+∞上有极小值ga，求证：ga≤4ln2−4．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市罗庄区高二（下）期中联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
拥有体验，先考虑旅客去景点的这一情况，再分析求解即可.
【解答】
解：已知有4名游客要到某地的3个旅游景点去旅游，
则每人都有3种选择，共有34=81种情况.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
基本事件总数C42=6，记ξ为选出的两点纵坐标y的值大于0的点的个数，ξ=2包含的基本事件个数1，由此能求出Pξ=2.
【解答】
解：从四个点中选取两个点，有C42种选法，
其中，两个点的纵坐标均大于0的只有一种情况，
所以P(ξ=2)=1C42=16.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
由条件利用二项式定理的应用，求得所给式子的结果.
【解答】
解：(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4(x−1)
=(x−1)4+4(x−1)3+6(x−1)2+4(x−1)+(x−1)0−1
=(x−1)+14−1
=x4−1.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
排列、组合及简单计数问题
【解析】
按照题意进行排列即可.
【解答】
解：5位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，
则分成2人组和3人组，
所以有C52A22=20种.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
由P1<ξ≤4=12Pμ−σ<ξ≤μ+σ+12Pμ−2σ<ξ≤μ+2σ求的概率后，即可对结果进行估计．
【解答】
解：∵ ξ服从正态分布N2,1，
∴ μ=2，σ=1，
∴ P1<ξ≤4=12Pμ−σ<ξ≤μ+σ+
12Pμ−2σ<ξ≤μ+2σ
=12×0.6827+12×0.9545=0.8186，
∴ 人数约为10000×0.8186=8186（人）.
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
求出函数fx的单调减区间D，然后令[a−12a+12]⊆D，由此构造不等式组即可．
【解答】
解：由题意，得函数f(x)的定义域为x>0，且f′x=x−16x，
令f′x<0，得x>0，x2−16<0，
解得0又函数fx在区间a−12,a+12上单调递减，
则a−12>0，a+12≤4，
解得12故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由已知可得网上购买的家用小电器被投诉的概率为34×1−35=620，实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为1−34×1−910=140，由古典概率的计算公式进而得到答案．
【解答】
解：因为34的人喜欢在网上购买家用小电器，
网上购买的家用小电器合格率为35，
所以网上购买的家用小电器被投诉的概率为
34×1−35=620=310.
因为实体店里的家用小电器的合格率约为910，
所以实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为
1−34×1−910=140，
所以市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，
则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性为
P=310310+140=1213.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
其他不等式的解法
【解析】
设Fx=fxex，得到函数Fz在R上单调递增，F2021=1 ，不等式转化为Flnx<1，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：由题可设Fx=fxex，
因为f′x−fx>0，
则F′x=f′x−fxex>0，
所以函数Fx在R上单调递增.
因为f2021=e2021，
所以F2021=f2021e2021=1.
将不等式flnx可得Flnx<1 ，
即Flnx所以lnx<2021，
所以0所以不等式flnx故选B．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的图象与图象变化
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
【解析】
按照“导函数看正负，原函数看增减”的原则逐项判定.
【解答】
解：由f′x图像可知，当x∈−∞,−2时，f′x>0；
当x∈−2,3时，f′x<0，
则fx在−∞,−2上单调递增，在−2,3上单调递减，故C错误；
所以fx在x=−2处取得极大值，无极小值，故A正确，B错误；
又fx在−2,3上单调递减，即fx在−1,3上也单调递减，
则此时函数的最大值是f−1，故D正确.
故选AD.
【答案】
A,C,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有
A33A22A22=24种方法，故A正确；
B，甲、乙、丙互不相邻的站法有A33A22=12种方法，故B错误；
C，个子最高的人在中间，从中间向两边看身高依次降低的站法有
C42A22⋅A22=6种方法，故C正确；
D，甲不在排头的站法有C41A44=96种方法，故D正确.
故选ACD.
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
导数求函数的最值
利用导数研究函数的最值
【解析】
通过求导对选项逐项分析求解即可.
【解答】
解：因为fx=13x3−4x+2，
所以f′x=x2−4，
令f′x>0，解得x<−2或x>2；
令f′x<0，解得−2所以函数fx在−∞,−2上单调递增，在−2,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
所以当x=−2时，fx取得极大值，
且极大值为f−2=13×−23−4×−2+2=223，
当x=2时，fx取得极小值，
且极小值为f2=13×23−4×2+2=−103，故选项A正确；
因为函数fx在−2,2上递减，则−2当x∈3,4时，fx为增函数，
则当x=3时，fx取得最小值，且最小值为f3=13×33−4×3+2=−1，
当x=4时，fx取得最大值，且最大值为f4=13×43−4×4+2=223，故选项C不正确；
由函数极值点情况可知，若方程fx−c=0有3个不同的解，则−103故选ABD．
【答案】
A,C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
分别用题中的条件表示出数学期望和方差，EX= k−1+a，DX=p−p2，由DX=EX，可得p2=1−m，结合0【解答】
解：由题意，得EX=mp+m−11−p=m−1+p，
DX=m−1+p−m2×p+m−1+p−m−12×1−p=p−p2，
又DX=EX，即m−1+p=p−p2，
解得p2=1−m,
因为0所以0<1−m<1，则0故A不可能成立，B可能成立，D可能成立；
DX=p−p2=−p2−p=−p−122+14∈0,14，故C不可能成立.
故选AC．
三、填空题
【答案】
6.4
【考点】
两点分布二项分布超几何分布的期望与方差
【解析】
由题意，根据随机变量得到D(ξ)的值，结合D(2ξ+1)=4D(ξ)进行求解即可.
【解答】
解：因为随机变量ξ∽B(10,0.2)，
所以D(ξ)=10×0.2×(1−0.2)=1.6，
所以D(2ξ+1)=4D(ξ)=4×1.6=6.4.
故答案为：6.4.
【答案】
47
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，
Pξ=0=C52C72=1021，
Pξ=1=C21C51C72=1021，
Pξ=2=C22C72=121，
所以ξ的分布列为
所以Eξ=0×1021+1×1021+2×121=47．
故答案为：47．
【答案】
Cn0+Cn1+Cn2...+Cnn=2n
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意，根据题目所给信息以及二项式定理的性质进行求解即可.
【解答】
解：因为n个元素有Cnn个子集，
则子集总个数为Cn0+Cn1+Cn2...+Cnn=2n个子集，
若由二项式定理可证：
(1+1)n
=Cn0⋅10⋅1n+Cn1⋅11⋅1n−1+Cn2⋅12⋅1n−2+...+Cnn⋅1n⋅10
=Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn，
即Cn0+Cn1+Cn2...+Cnn=2n.
故答案为：Cn0+Cn1+Cn2...+Cnn=2n.
【答案】
(−∞,3712]
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
由题意得到f′x 的表达式，将fx≤xf′x转化成4x2−4ax+1≥0，得到a≤x+14x，等价于：a≤x+14xmax，令g(x)=x+14x，利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围．
【解答】
解：已知函数f(x)=xlnx+2x(x−a)2，
f′x=lnx+1+6x2−8ax+2a2，
xf′x=xlnx+x+6x3−8ax2+2a2x，
此时不等式fx≤xf′x可转化为4x2−4ax+1≥0，
整理得a≤x+14x，
因为在x∈1,3上fx≤xf′x成立，等价于 a≤x+14xmax，
不妨令gx=x+14x，x∈1,3，
则g′x=1−14x2>0
所以函数gx在x∈1,3上单调递增，
当x=3时，函数gx取得最大值，
所以g(x)max=g3=3+112=3712
所以实数a的取值范围是(−∞,3712].
故答案为：(−∞,3712].
四、解答题
【答案】
解：(1)若选填①，只有第5项的二项式系数最大，
∴ 展开式中有9项，即n=8；
若选填②，第3项与第7项的二项式系数相等，
∴ Cn2=Cn6，即n=8；
若选填③，所有二项式系数的和为28，
∴ 2n=28，即n=8，
∴ Tr+1=C8r⋅−2r⋅xr，
∴ 令r=2，则含x2的项为C82⋅−22⋅x2=112x2.
(2)由(1)得n=8.
∵ 1−2xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，
∴ 令x=1，则a0+a1+a2+a3+⋯+an=18=1，
令x=0，则a0=18=1，
∴ a1+a2+a3+⋯+an=0.
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)若选填①，只有第5项的二项式系数最大，
∴ 展开式中有9项，即n=8；
若选填②，第3项与第7项的二项式系数相等，
∴ Cn2=Cn6，即n=8；
若选填③，所有二项式系数的和为28，
∴ 2n=28，即n=8，
∴ Tr+1=C8r⋅−2r⋅xr，
∴ 令r=2，则含x2的项为C82⋅−22⋅x2=112x2.
(2)由(1)得n=8.
∵ 1−2xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，
∴ 令x=1，则a0+a1+a2+a3+⋯+an=18=1，
令x=0，则a0=18=1，
∴ a1+a2+a3+⋯+an=0.
【答案】
解：(1)由题意，得f′(x)=x2−x−2a，
因为x=−1是函数fx的一个极大值点．
所以f′−1=1+1−2a=0 ，
解得a=1，
经检验，当a=1时，x=−1是函数fx的一个极大值点，
故a=1．
(2)由(1)可知，fx=13x3−12x2−2x+1，
则f′x=x2−x−2，
令f′x=x2−x−2=0，解得x=−1或x=2，
则当−1当2所以当x=2时，fx取得最小值，且最小值为f2=−73，
又f−1=136，f3=−12，
所以fx的最大值为136，
综上所述，fx在−1,3上的最大值为136，最小值为−73．
【考点】
利用导数研究函数的极值
导数求函数的最值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，得f′(x)=x2−x−2a，
因为x=−1是函数fx的一个极大值点．
所以f′−1=1+1−2a=0 ，
解得a=1，
经检验，当a=1时，x=−1是函数fx的一个极大值点，
故a=1．
(2)由(1)可知，fx=13x3−12x2−2x+1，
则f′x=x2−x−2，
令f′x=x2−x−2=0，解得x=−1或x=2，
则当−1当2所以当x=2时，fx取得最小值，且最小值为f2=−73，
又f−1=136，f3=−12，
所以fx的最大值为136，
综上所述，fx在−1,3上的最大值为136，最小值为−73．
【答案】
解：(1)根据器械类总人数900人，
其中男性590人，可得女性为310人；
根据总人数 1200人，得到徒手类总人数300人，
其中女性240人，可得男性60人.
补充完整的表格如下：
所以χ2=1200590×240−60×3102900×300×650×550=12×123023×9×65×55
=4×151290032175≈188>6.635，
所以根据α=0.01的独立性检验，可以判断是否选择器械类与性别有关联.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
Pξ=0=(1−35)1−232=245，
Pξ=1=35×1−232+C21(1−35)×(1−23)×23=1145，
Pξ=2=35×C21(1−23)×23+(1−35)×232=49，
Pξ=3=35×232=415，
所以ξ的分布列为
所以Eξ=0×245+1×1145+2×49+3×415=8745.
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的分布列及性质
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)根据器械类总人数900人，
其中男性590人，可得女性为310人；
根据总人数 1200人，得到徒手类总人数300人，
其中女性240人，可得男性60人.
补充完整的表格如下：
所以χ2=1200590×240−60×3102900×300×650×550=12×123023×9×65×55
=4×151290032175≈188>6.635，
所以根据α=0.01的独立性检验，可以判断是否选择器械类与性别有关联.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，
Pξ=0=(1−35)1−232=245，
Pξ=1=35×1−232+C21(1−35)×(1−23)×23=1145，
Pξ=2=35×C21(1−23)×23+(1−35)×232=49，
Pξ=3=35×232=415，
所以ξ的分布列为
所以Eξ=0×245+1×1145+2×49+3×415=8745.
【答案】
解：(1)由题意，知x=1+2+3+4+5+6+77=4，
y=2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.907=4.30，
i=17xi−x2=1−42+2−42+3−42
+4−42+5−42+6−42+7−42=28，
∴ r=14.0028×7.08=≈≈0.99.
∵ y与x的相关系数近似为0.99，
∴ y与x的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)∵ b=i=17xi−xyi−yi=17xi−x2=1428=0.5，
∴ a=y−bx=4.3−0.5×4=2.3，
∴ y关于x的线性回归方程为y=0.5x+2.3.
将x=8代入线性回归方程，得y=0.5×8+2.3=6.3，
∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元.
【考点】
线性相关关系的判断
求解线性回归方程
回归分析
【解析】


【解答】
解：(1)由题意，知x=1+2+3+4+5+6+77=4，
y=2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.907=4.30，
i=17xi−x2=1−42+2−42+3−42
+4−42+5−42+6−42+7−42=28，
∴ r=14.0028×7.08=≈≈0.99.
∵ y与x的相关系数近似为0.99，
∴ y与x的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)∵ b=i=17xi−xyi−yi=17xi−x2=1428=0.5，
∴ a=y−bx=4.3−0.5×4=2.3，
∴ y关于x的线性回归方程为y=0.5x+2.3．
将x=8代入线性回归方程，得y=0.5×8+2.3=6.3，
∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元.
【答案】
解：1记“取3件该产品，其中至少有1件不合格品”为事件A，
则PA=1−1−0.13=1−0.729=0.271.
(2)①设Y表示余下的90件产品中的不合格产品数，
由题意，得Y∼B90,0.1，
则X=50Y+10×4=50Y+40，
所以EX=50EY+40=50×90×0.1+40=490.
②如果对应该箱余下的产品作检验，则这一箱产品所需的检验费用为100×4=400(元)，
又EX=490>400，
故应该对这箱余下的所有产品作检验．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）求出f(p)=C202p2(1−p)18，则f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，利用导数性质能求出f (p)的最大值点p0=0.1．
(2)(I)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y∼B(180, 0.1)，再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E(X)．
(II)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E(X)=490>400，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】
解：1记“取3件该产品，其中至少有1件不合格品”为事件A，
则PA=1−1−0.13=1−0.729=0.271.
(2)①设Y表示余下的90件产品中的不合格产品数，
由题意，得Y∼B90,0.1，
则X=50Y+10×4=50Y+40，
所以EX=50EY+40=50×90×0.1+40=490.
②如果对应该箱余下的产品作检验，则这一箱产品所需的检验费用为100×4=400(元)，
又EX=490>400，
故应该对这箱余下的所有产品作检验．
【答案】
(1)解：由题意，得f′x=2x+ax−2a+1=ax−1x−2x ，
当a≤0时，x∈2,+∞，则f′x<0，
所以fx在2,+∞上单调递减，符合题意；
当a≥12时，x∈(2,+∞)，则f′x>0，
所以fx在2,+∞上单调递增，符合题意；
当02时，当2所以fx单调递减，
当x>1a时，f′x>0，所以fx单调递增，显然不符合题意.
综上所述，a的取值范围为−∞,0∪12,+∞．
(2)证明：由(1)可知，当a≤0或a≥12时，
fx在2,+∞上单调，则不存在极值，
所以0当2当x>1a时，f′x>0，所以fx单调递增，
所以当x=1a时，函数有极小值，
且极小值为f1a=2ln1a+12a×1a2−2a+1×1a=−12a−2lna−2，
即ga=−2lna−12a−20则g′a=−2a+12a2=1−4a2a2，
当00，则函数ga单调递增，
当14≤a<12时，g′a<0，则函数ga单调递减，
所以当a=14时，函数ga有最大值，
且最大值为g14=−2ln14−2−2=4ln2−4，
所以ga≤4ln2−4．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题意，得f′x=2x+ax−2a+1=ax−1x−2x ，
当a≤0时，x∈2,+∞，则f′x<0，
所以fx在2,+∞上单调递减，符合题意；
当a≥12时，x∈(2,+∞)，则f′x>0，
所以fx在2,+∞上单调递增，符合题意；
当02时，当2所以fx单调递减，
当x>1a时，f′x>0，所以fx单调递增，显然不符合题意.
综上所述，a的取值范围为−∞,0∪12,+∞．
(2)证明：由(1)可知，当a≤0或a≥12时，
fx在2,+∞上单调，则不存在极值，
所以0当2当x>1a时，f′x>0，所以fx单调递增，
所以当x=1a时，函数有极小值，
且极小值为f1a=2ln1a+12a×1a2−2a+1×1a=−12a−2lna−2，
即ga=−2lna−12a−20则g′a=−2a+12a2=1−4a2a2，
当00，则函数ga单调递增，
当14≤a<12时，g′a<0，则函数ga单调递减，
所以当a=14时，函数ga有最大值，
且最大值为g14=−2ln14−2−2=4ln2−4，
所以ga≤4ln2−4．X
m
m−1
P
p
1−p
性别
器械类
徒手类
合计
男性
590
女性
240
合计
900
α
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
χα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
使用年限x（单位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效费y（单位：万元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
ξ
0
1
2
P
1021
1021
121
性别
器械类
徒手类
合计
男性
590
60
650
女性
310
240
550
合计
900
300
1200
ξ
0
1
2
3
P
245
1145
49
415
性别
器械类
徒手类
合计
男生
590
60
650
女生
310
240
550
合计
900
300
1200
ξ
0
1
2
3
P
245
1145
49
415