2020-2021学年山东省淄博高二（下）期中检测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省淄博高二（下）期中检测数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2−1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为( )
A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒

2. 公比不为1的等比数列an满足a5a6+a4a7=8，若a2⋅am=4，则m的值为( )
A.8B.9 C.10 D.11

3. 从集合{1, 2, 3, ..., 10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A.3B.4C.6D.8

4. 函数fx=ex−x的单调递减区间为（ ）
A.−∞,0B.0,+∞C.−∞,1D.1,+∞

5. 已知数列{an} 的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列1anan+1的前n项和为Tn， n∈N∗．则T20的值为( )
A.1939B.3839C.2041D.4041

6. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是( )

A.B.
C.D.

7. 若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（ ）个．
A.60B.53C.20D.35

8. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列an是等积数列且a1=3，前61项的和为113，则这个数列的公积为（ ）
A.2B.3C.6D.8
二、多选题

下列求导运算错误的是（ ）
A.csx′=sinxB.3x′=3xlg3e
C.lgx′=1xln10D.x−2′=−2x−1

下列各式中与排列数Anm相等的是（ ）
A.n!n−m!B.nn−1n−2⋯ n−m
C.nAn−1mn−m+1D.An1An−1m−1

数列an满足：a1=1, an+1=3an+1，n∈N∗，下列说法正确的是( )
A.数列an+12为等比数列
B.an=12×3n−12
C.数列an是递减数列
D.an的前n项和Sn=14×3n+1−54

已知函数fx=x2+x−1ex，则下列结论正确的是( )
A.函数fx不存在两个不同的零点
B.函数fx既存在极大值又存在极小值
C.当−eD.若x∈[t,+∞)时，fxmax=5e2，则t的最大值为2
三、填空题

现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为________.


函数fx=lnx−ax在区间1,4上是增函数，则实数a的取值范围为________.

如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第n行(n≥3)从右向左的第3个数为________．


已知f1(x)=sinx+csx，且f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，fn(x)=fn−1′(x)，…(n∈N∗, n≥2)，则f1(π4)+f2(π4)+...+f2015(π4)=________．
四、解答题

求曲线y=e−2x+1在点(0, 2)处的切线方程以及该切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.

一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个书目单 .
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=2，S3=18．
(1)求an的通项公式；

(2)设bn=12an−30，数列bn的前n项和为Tn，求Tn的最小值．

在①函数fx的单调减区间为13,1；②函数fx在x=−1处的切线方程为y=8x+14，且b>0；③函数fx在x=1处取得极小值10；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．
已知函数fx=x3+ax2+bx−a2−7a，且________．
(1)求a、b的值；

(2)若x∈−1,2，求函数fx的最小值．

已知正项数列an的前n项和为Sn，且an+12=2Sn+n+1，a2=2.
(1)求数列an的通项公式an；

(2)若bn=an⋅2n，数列bn前n项和为Tn．

已知函数f(x)=(2x2−4ax)lnx+x2．
(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在[1, +∞)上的最小值为1，求实数a的取值范围；

(3))若a>1e，讨论函数f(x)在[1, +∞)上的零点．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省淄博市高二（下）期中检测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
变化的快慢与变化率
导数的运算
【解析】
根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=1代入s′进行运算即可得解.
【解答】
解：∵ s=2t2−1，
∴ s′=4t，
当t=1时，s′=4×1=4.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
【解析】
由等比数列通项公式得a5a6=a4a7=4，由此利用a2⋅am=4，得到2+m=5+6=11 ，从而能求出m的值．
【解答】
解：∵ 公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=8,
∴a5a6=a4a7=4，
∵ a2⋅am=4，
∴2+m=5+6=11，
解得m=9.
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
等比关系的确定
【解析】
直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案．
【解答】
解：公比q=2时，有1，2，4；2，4，8．
公比q=3时，有1，3，9．
公比q=32时，有4，6，9．
以上共4个；
反过来也有4个，即4，2，1；8，4，2；9，3，1；9，6，4．
∴ 等比数列个数为8．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求导函数得出f′x=ex−1，可知f′x<0时fx单调递减，从而解ex1−1<0即可得出fx的单调递减区间．
【解答】
解：f′x=ex−1，
∵ f′x<0时，fx单调递减，
∴ ex−1<0，
∴ x<0，
∴ fx的单调递减区间为−∞,0.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
先由an=Sn−Sn−1求出an，再利用裂项相消法求数列1anan+1的前20项和即可．
【解答】
解：由Sn=n2，
得an=Sn−Sn−1=n2−n−12=2n−1n≥2，
当n=1时，a1=S1=1也满足上式，
∴ an=2n−1，
∴ 1anan+1=1212n−1−12n+1，
∴ T20=1a1a2+1a2a3+ ⋯+1a20a21
=12×(1−13+13−15+⋯+139−141)
=12×(1−141)=2041.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
导数的几何意义
【解析】
根据函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
【解答】
解：由f′(x)的图象知，当x<0时f′(x)<0，函数为减函数，排除A，B，
设右侧第一个零点为a，当00，函数为增函数，
且x=0是函数的极小值点，排除C．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
分类加法计数原理
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，因十位上的数最大，则其只能为3、4、5，进而分3种情形处理，即当十位数字分别为3、4、5时，计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，十位上的数最大，只能为3，4，5，
分3种情形处理，当十位数字为3时，百位、个位的数字为1，2，有A22种选法，
当十位数字为4时，百位、个位的数字为1，2，3，有A32种选法，
当十位数字为5时，百位、个位的数字为1，2，3，4，有A42种选法，
则伞数的个数为A22+A32+A42=20.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
数列的函数特性
【解析】
根据“等积数列”的定义知，相邻两项乘积相同，所以每隔一个数的项都是相同的，利用所给条件列方程求解即可．
【解答】
解：因为数列an是等积数列，可设其公积为k，
则有anan−1=k.
因为a1=3，前61项的和为113，
所以a1+a2+…+a61=113，
即3+k3+…+3=113，
所以3×31+k3×30=113，
解得k=2，
故选A．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
导数的运算
【解析】
利用求导公式逐项计算即可.
【解答】
解：对于A， csx′=−sinx ，故该选项错误，符合题意；
对于B， 3x′=3xln3，故该选项错误，符合题意；
对于C， lgx′=1xln10 ，故该选项正确，不符合题意；
对于D， x−2′=−2x−3，故该选项错误，符合题意.
故选ABD.
【答案】
A,D
【考点】
有关排列、组合的计算
【解析】
把所给的排列数展开，写成m个因式相乘的形式，再把选项中所给的式子变形，也写成因式的积的形式，得到结果，这是一个公式的应用．
【解答】
解：由Anm=nn−1n−2⋯n−m+1=n!n−m!，
可知A正确，B错误，
nAn−1mn−m+1=n(n−1)(n−2)⋯(n−m)n−1−m+1
=n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−m)
≠Anm，
故C错误；
又An1An−1m−1=nn−1n−2⋯n−1−m−1+1
=nn−1n−2⋯n−m+1，
故D正确，
故选AD.
【答案】
A,B
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
等比关系的确定
【解析】
利用递推公式变形求解，逐项判定即可.
【解答】
解：A， ∵an+1=3an+1，
∴an+1+12=3an+12，
即an+1+12an+12=3，
∴ 数列an+12为以首项为32，公比为3的等比数列，A正确；
B，由A得an+12=32×3n−1，
∴an =12×3n−12 ，B正确 ；
C，∵an =12×3n−12 ，
∴数列an是递增数列，C错误；
D，Sn=12×31−3n1−3−12n
=−14×3n+1−34−n2 ，D错误.
故选AB.
【答案】
B,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，f′x=2x+1−x2−x+1ex=−x2+x+2ex，
令f′x=0，
解得：x=−1或x=2.
当x <−1 或x>2 时，f′x<0，当−10，
∴ 函数f(x)在−∞,−1上单调递减，在−1,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，
∴ 函数f(x) 有极小值f−1=−e，有极大值f2=5e2，故B正确；
∵ f(−1)<0，f(2)>0，
∴ 当−1∵ 当x→−∞时，fx→+∞，当x→+∞ 时， fx→0，
∴ x∈(−∞,−1)时，函数f(x)必定有且只有一个零点，x∈(2,+∞)时，函数f(x)没有零点，
综合得，函数f(x)存在两个不同的零点，故A错误；
根据题意，作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图象，可知当−e∵ f2=5e2且f(x)在(2,+∞)上单调递减，
∴ t的最大值为2，故D正确．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
180
【考点】
排列、组合及简单计数问题
计数原理的应用
【解析】
根据题意，依次分析4个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：先对中间两块B,C进行涂色，则共有A52种涂色方案，
再对剩余两块涂色，则共有C31×C31=9种；
故满足题意的所有涂色方案有A52×C31×C31=180种．
故答案为：180．
【答案】
(−∞,14]
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
由题中条件可得，f′x≥0在1,4上恒成立，即a≤1x在1,4恒成立，进而把问题转化为求ℎx=1x在1,4上的最小值.
【解答】
解：因为fx=lnx−ax，
所以f′x=1x−a=1−axxx>0.
因为fx=lnx−ax在区间1,4上是增函数，
所以f′x≥0在1,4上恒成立，
即1−axx≥0在1,4上恒成立，
则1−ax≥0，则ax≤1，则a≤1x在1,4上恒成立.
设ℎx=1x，则ℎx在1,4上单调递减，则ℎxmin=14，所以a≤14，
所以a的取值范围为(−∞,14].
故答案为：(−∞,14].
【答案】
n2+n−42
【考点】
归纳推理
等差数列的前n项和
【解析】
观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，即可得出结论．
【解答】
解：前n行共有正整数1+2+...+n个，即n2+n2个，
即第n行的最后一个数为n2+n2.
因此第n行(n≥3)从右向左的第3个数为n2+n2−2=n2+n−42.
故答案为：n2+n−42．
【答案】
0
【考点】
导数的运算
【解析】
利用三角函数求导法则求出f2(x)、f3(x)、f4(x)，…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．
【解答】
解：f2(x)=f1′(x)=csx−sinx，
f3(x)=(csx−sinx)′=−sinx−csx，
f4(x)=−csx+sinx，
f5(x)=sinx+csx，
以此类推，可得出fn(x)=fn+4 (x)，
又∵ f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0，
∴ f1(π4)+f2(π4)+...+f2015(π4)=f1(π4)+f2(π4)+f3(π4)
=−f4(π4)=csπ4−sinπ4=0，
故答案为：0．
四、解答题
【答案】
解：∵ y=e−2x+1，
∴ y′=(−2)e−2x，
∴ y′|x=0=(−2)e−2x|x=0=−2，
∴ 曲线y=e−2x+1在点(0, 2)处的切线方程为y−2=−2(x−0)即2x+y−2=0.
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=23.
∴ 切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为12×1×23=13.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．
【解答】
解：∵ y=e−2x+1，
∴ y′=(−2)e−2x，
∴ y′|x=0=(−2)e−2x|x=0=−2，
∴ 曲线y=e−2x+1在点(0, 2)处的切线方程为y−2=−2(x−0)即2x+y−2=0.
令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=23.
∴ 切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为12×1×23=13.
【答案】
解：(1)把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列，
共有排法A44A22=48种.
(2)选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，
排法为A32A33=36种.
(3)5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，
共有A55−A33A22=120−12=108种.
【考点】
排列、组合及简单计数问题
互斥事件与对立事件
【解析】
（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法A44A22=48 .
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为A32A33=36 .
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有
【解答】
解：(1)把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列，
共有排法A44A22=48种.
(2)选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，
排法为A32A33=36种.
(3)5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，
共有A55−A33A22=120−12=108种.
【答案】
解：(1)设数列的公差为d．
则S3=3a1+12×3×2d
=3×2+3d=18
解得d=4，
所以an=a1+n−1d=2+n−1×4=4n−2.
(2)由题意知bn=12an−30=124n−2−30=2n−31，
因为bn+1−bn=2n+1−31−2n−31=2，
所以数列bn是首项为b1=−29，公差为2的等差数列．
所以Tn=−29n+nn−12×2=n2−30n=n−152−225，
所以当n=15时，数列bn的前n项和Tn取得最小值，最小值为T15=−225.
【考点】
等差数列的前n项和
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设数列的公差为d．
则S3=3a1+12×3×2d
=3×2+3d=18
解得d=4，
所以an=a1+n−1d=2+n−1×4=4n−2.
(2)由题意知bn=12an−30=124n−2−30=2n−31，
因为bn+1−bn=2n+1−31−2n−31=2，
所以数列bn是首项为b1=−29，公差为2的等差数列．
所以Tn=−29n+nn−12×2=n2−30n=n−152−225，
所以当n=15时，数列bn的前n项和Tn取得最小值，最小值为T15=−225.
【答案】
解：(1)若选①，函数fx的单调减区间为13,1，fx=x3+ax2+bx−a2−7a，
则f′x=3x2+2ax+b，则13，1是方程3x2+2ax+b=0的根，
故13+1=−23a，
且13×1=b3，
解得：a=−2，b=1；
若选②，函数fx在x=−1处的切线方程为y=8x+14，
且b>0，
若f′x=3x2+2ax+b，
则f−1=−a2−6a−b−1，f′−1=3−2a+b，
故切线方程是：y−(−a2−6a−b−1)=(3−2a+b)(x+1)，
即y=3−2a+bx−a2−8a+2=8x+14，
故3−2a+b=8,−a2−8a+2=14,
解得：a=−2，b=1；
若选③，fx=x3+ax2+bx−a2−7a，f′x=3x2−2ax+b，
则f′1=0，
且f1=10，
则，a=−2，b=1，或a=−6，b=9，
当a=−2，b=1时，当131时，函数递增，
则函数在x=处取得极小值，与题意相符；
当a=6，b=9时，当131时，函数递减，
函数在x=1处取得极大值．不符合题意；
则a=−2，b=1．
(2)由(1)得：a=−2，b=1，
则fx=x3−2x2+x+10，f′x=3x2−4x+1=3x−1x−1，
令f′x>0，
解得：x>1或x<13，
令f′x<0，
解得：13故fx在−∞,13上递增，在13,1上递减，在1,+∞上递增．
又x∈−1,2，
故fx在−1,13上递增，在13,1上递减，在1,2上递增，
而f−1=6，f1=10，
故函数fx的最小值为6．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数求函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若选①，函数fx的单调减区间为13,1，fx=x3+ax2+bx−a2−7a，
则f′x=3x2+2ax+b，则13，1是方程3x2+2ax+b=0的根，
故13+1=−23a，
且13×1=b3，
解得：a=−2，b=1；
若选②，函数fx在x=−1处的切线方程为y=8x+14，
且b>0，
若f′x=3x2+2ax+b，
则f−1=−a2−6a−b−1，f′−1=3−2a+b，
故切线方程是：y−(−a2−6a−b−1)=(3−2a+b)(x+1)，
即y=3−2a+bx−a2−8a+2=8x+14，
故3−2a+b=8,−a2−8a+2=14,
解得：a=−2，b=1；
若选③，fx=x3+ax2+bx−a2−7a，f′x=3x2−2ax+b，
则f′1=0，
且f1=10，
则，a=−2，b=1，或a=−6，b=9，
当a=−2，b=1时，当131时，函数递增，
则函数在x=处取得极小值，与题意相符；
当a=6，b=9时，当131时，函数递减，
函数在x=1处取得极大值．不符合题意；
则a=−2，b=1．
(2)由(1)得：a=−2，b=1，
则fx=x3−2x2+x+10，f′x=3x2−4x+1=3x−1x−1，
令f′x>0，
解得：x>1或x<13，
令f′x<0，
解得：13故fx在−∞,13上递增，在13,1上递减，在1,+∞上递增．
又x∈−1,2，
故fx在−1,13上递增，在13,1上递减，在1,2上递增，
而f−1=6，f1=10，
故函数fx的最小值为6．
【答案】
解：(1)当n≥2时， an2=2Sn−1+n−1+1 ，
与已知的等式联立可得
an+12−an2=2an+1，
即an+12=an2+2an+1=an+12.
∵ an为正项数列，
∴ an+1=an+1，
当n=1时，a22=2a1+2=4，
∴ a1=1，
∴ 数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ an=n.
(2)bn=an⋅2n=n⋅2n，
∴ Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23 +⋯+n⋅2n①，
2Tn= 1⋅22+2⋅23 +⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1②，
①−②得−Tn=2⋅1−2n1−2−n⋅2n+1=1−n2n+1−2，
∴ Tn=n−12n+1+2.
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当n≥2时， an2=2Sn−1+n−1+1 ，
与已知的等式联立可得
an+12−an2=2an+1，
即an+12=an2+2an+1=an+12.
∵ an为正项数列，
∴ an+1=an+1，
当n=1时，a22=2a1+2=4，
∴ a1=1，
∴ 数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴ an=n.
(2)bn=an⋅2n=n⋅2n，
∴ Tn=1⋅21+2⋅22+3⋅23 +⋯+n⋅2n①，
2Tn= 1⋅22+2⋅23 +⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1②，
①−②得−Tn=2⋅1−2n1−2−n⋅2n+1=1−n2n+1−2，
∴ Tn=n−12n+1+2.
【答案】
解：(1)当a=1时，
f(x)=(2x2−4x)lnx+x2，
f′(x)=(4x−4)lnx+2x−4+2x=4(x−1)(lnx+1)，
令f′(x)>0，得x>1或0令f′(x)<0，得1e即函数f(x)的单调递增区间为0,1e，1,+∞，
单调递减区间为1e,1.
(2)f′(x)=(4x−4a)lnx+2x−4a+2x
=4(x−a)(lnx+1)，x∈[1, +∞)，
当a≤1时，f′(x)≥0，所以f(x)为单调递增函数，f(x)min=f(1)=1，符合题意；
当a>1时，在[1, a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(a)=(2a2−4a2)lna+a2=−2a2lna+a2=1，解得a=1，与a>1矛盾，舍去，
故实数a的取值范围为(−∞, 1]．
(3)由(2)可知，当1e此时函数f(x)的零点个数为0；
当a>1时，f(x)min=f(a)=−2a2lna+a2，
令g(x)=−2x2lnx+x2，x∈(1, +∞)，
则g′(x)=−4xlnx−2x+2x=−4xlnx<0，函数g(x)单调递减，
令g(x)=−2x2lnx+x2=0，解得x=e12，
所以当x∈(1, e12)，g(x)>0，x=e，g(x)=0，x∈(e12, +∞)，g(x)<0，
所以当a∈(1, e12)时，f(x)min>0，此时函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为0；
当a=e12时，f(x)min=0，此时函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为1；
a∈(e12, +∞)，f(x)min<0，
又f(1)=1>0，故f(x)在(1,a)上存在一个零点，
f(2a)=4a2>0，故f(x)在(a,2a)上存在一个零点，
此时函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为2．
综上，可得a∈(1e, e12)时，函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为0；
a=e12时，函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为1；
a∈(e12, +∞)，函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为2．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
(Ⅰ)求出导数f′(x)＝(4x−4)lnx+2x−4+2x＝4(x−1)(lnx+1)，利用单调性求出函数的最值；
(Ⅱ)求出导数f′(x)＝(4x−4a)lnx+2x−4a+2x＝4(x−a)(lnx+1)，x∈[1, +∞)，讨论a≤1和a>1两种情况下函数的最值，即可求得结论；
(Ⅲ)结合(Ⅱ)的解题过程，求出函数f(x)的最小值，判断f(x)的最小值与0 的大小关系即可求得零点个数．
【解答】
解：(1)当a=1时，
f(x)=(2x2−4x)lnx+x2，
f′(x)=(4x−4)lnx+2x−4+2x=4(x−1)(lnx+1)，
令f′(x)>0，得x>1或0令f′(x)<0，得1e即函数f(x)的单调递增区间为0,1e，1,+∞，
单调递减区间为1e,1.
(2)f′(x)=(4x−4a)lnx+2x−4a+2x
=4(x−a)(lnx+1)，x∈[1, +∞)，
当a≤1时，f′(x)≥0，所以f(x)为单调递增函数，f(x)min=f(1)=1，符合题意；
当a>1时，在[1, a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(a)=(2a2−4a2)lna+a2=−2a2lna+a2=1，解得a=1，与a>1矛盾，舍去，
故实数a的取值范围为(−∞, 1]．
(3)由(2)可知，当1e此时函数f(x)的零点个数为0；
当a>1时，f(x)min=f(a)=−2a2lna+a2，
令g(x)=−2x2lnx+x2，x∈(1, +∞)，
则g′(x)=−4xlnx−2x+2x=−4xlnx<0，函数g(x)单调递减，
令g(x)=−2x2lnx+x2=0，解得x=e12，
所以当x∈(1, e12)，g(x)>0，x=e，g(x)=0，x∈(e12, +∞)，g(x)<0，
所以当a∈(1, e12)时，f(x)min>0，此时函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为0；
当a=e12时，f(x)min=0，此时函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为1；
a∈(e12, +∞)，f(x)min<0，
又f(1)=1>0，故f(x)在(1,a)上存在一个零点，
f(2a)=4a2>0，故f(x)在(a,2a)上存在一个零点，
此时函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为2．
综上，可得a∈(1e, e12)时，函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为0；
a=e12时，函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为1；
a∈(e12, +∞)，函数f(x)在[1, +∞)上的零点个数为2．