2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷人教A版，共9页。

1. 设复数z满足z=3+4i（其中i为虚数单位），则z的模为________．

2. 圆心为(−1, 2)，半径为2的圆的标准方程是________．

3. 双曲线x22−y2=1的焦距为________．

4. 已知复数z1＝6+2i，z2＝1+ai（i为虚数单位），且z1+是实数，则实数a的值为________．

5. 方程表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是________．

6. 已知复数z满足|z|＝1，则（i为虚数单位）的最小值为________．

7. 与双曲线有共同的渐近线，且过点(−1, 4)的双曲线方程是________．

8. 以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点(1, 2)的抛物线的方程是________​2＝4________或者 ．

9. 若△ABC的两个顶点B(0, −3)，C(0, 3)，周长为16，则第三个顶点A的轨迹方程是________．

10. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，若x1+x2＝12，则|AB|等于________．

11. 若直线y=2x+b与曲线y＝−9−x2没有公共点，则实数b的取值范围是________．

12. 关于曲线C：＝1，则以下结论正确的序号是________．
①曲线C关于原点对称；
②曲线C中x∈[−2, 2]，y∈[−2, 2]；
③曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝8无公共点；
④曲线C与曲线D:|x|+|y|＝4有4个交点，这4点构成正方形．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

设复数z＝a+bi(a、b∈R)，则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A.既不充分也不必要条件B.充要条件
C.充分非必要条件D.必要非充分条件

设M＝i+i2+i3+i4，N＝i⋅i2⋅i3⋅i4，i为虚数单位，则M与N的关系是（ ）
A.M+N＝0B.MND.M＝N

双曲线4x2+ky2＝4k的虚轴长是实轴长的2倍，则实数k的值是（ ）
A.16B.C.−16D.

点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.直线
三、简答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

已知圆C的方程为x2−2x+y2−3＝0．
（1）求过点(3, 2)且与圆C相切的直线方程；

（2）若直线y＝x+1与圆C相交于A，B，求弦长|AB|的值．

已知复数z满足|z|+−8−4i＝0（i为虚数单位）．
（1）求复数z；

（2）若m∈R，ω＝zi+m，求|ω|的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，C(−2, 0)，D(2, 0)，曲线E上的动点P满足|PC|+|PD|＝，直线l过D交曲线E于A、B两点．
（1）求曲线E的方程；

（2）当AC⊥AB时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；

（3）设M(−2，2)，N(2，2)，P是曲线E上的任意一点，若＝m+n，求证：动点Q(m, n)在定圆上运动．

在平面直角坐标系xOy中，原点为O，抛物线C的方程为x2＝4y，线段AB是抛物线C的一条动弦．
（1）求抛物线C的准线方程；

（2）求，求证：直线AB恒过定点；

（3）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段PQ、CD的中点，求△FMN面积的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1.
【答案】
5
【考点】
复数的模
【解析】
直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】
解：由z=3+4i，所以|z|=32+42=5．
故答案为5．
2.
【答案】
(x+1)2+(y−2)2＝4
【考点】
圆的标准方程
【解析】
根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．
【解答】
根据题意，要求圆的(x+1)2+(y−2)2＝4，
则要求圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2＝4；
3.
【答案】
23
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
直接利用双曲线的标准方程，求解双曲线的实半轴虚半轴的长，然后求解半焦距，即可得到结果．
【解答】
双曲线x22−y2=1，可得a=2．b＝1，则c=3，
所以双曲线的焦距为23．
4.
【答案】
2
【考点】
复数的运算
【解析】
由已知求得z1+，再由虚部为0求解a值．
【解答】
∵ z1＝6+2i，z2＝1+ai，
∴ z1+＝(6+2i)+(1−ai)＝7+(2−a)i，
由题意，2−a＝0，即a＝2．
5.
【答案】
(4, +∞)
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
由椭圆的标准方程的形式列出不等式，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】
根据题意，方程表示的曲线是椭圆，
则，
解可得：4故m的取值范围为(4, +∞)；
6.
【答案】
1
【考点】
复数的模
【解析】
由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】
∵ |z|＝1，∴ z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，
的几何意义为圆上的点到P(1，）的距离，
如图，
∴ 的最小值为|OP|−1＝．
7.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设双曲线方程为．利用双曲线过点(−1, 4)，求出k，即可得出双曲线方程．
【解答】
设双曲线方程为．
∵ 双曲线过点(−1, 4)，∴ 1−＝k，
∴ k＝−3．
所以双曲线方程为：．
8.
【答案】
y,x
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
【解析】
根据题意，分析可得抛物线的开口向上或向左，据此分2种情况讨论，分析设出抛物线的方程，将M的坐标代入计算可得p的值，综合2种情况即可得答案．
【解答】
根据题意，要求抛物线经过点(1, 2)，
则该抛物线开口向上或向右，
若抛物线开口向左，设其方程为y2＝2px，
又由其经过点(1, 2)，
则有4＝2×p×1，解可得p＝2，
此时抛物线的方程为y2＝4x，
若抛物线开口向上，设其方程为x2＝2py，
又由其经过点(1, 2)，
则有12＝2p×2，解可得p＝，
此时抛物线的方程为x2＝y，
综合可得：抛物线的方程为y2＝4x或者．
9.
【答案】
．
【考点】
轨迹方程
【解析】
由三角形的周长和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程．
【解答】
△ABC的周长为16，且顶点B(0, −3)，C(0, 3)，
可得|BC|＝6，|AB|+|AC|＝16−6＝10>|BC|，
由椭圆的定义可得A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（去除B，C两点），
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，可得a＝5，c＝3，b＝4，
则A的轨迹方程为．
10.
【答案】
14
【考点】
抛物线的性质
【解析】
根据抛物线的方程求出准线方程是x＝−1，结合抛物线的定义可得|AF|＝x1+1且|BF|＝x2+1，两式相加并结合x1+x2＝12，即可得到|AB|的值．
【解答】
∵ 抛物线方程为y2＝4x，
∴ p＝2，可得抛物线的准线方程是x＝−1，
∵ 过抛物线 y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1, y1)B(x2, y2)，
∴ 根据抛物线的定义，可得|AF|＝x1+＝x1+1，|BF|＝x2+＝x2+1，
因此，线段AB的长|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2，
又∵ x1+x2＝12，∴ |AB|＝x1+x2+2＝14．
11.
【答案】
(−∞,−35)∪(6,+∞)
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
作出图形，求出半圆的切线，从而得出b的范围．
【解答】
曲线y＝−9−x2表示圆的下半个圆，
设直线y=2x+b与半圆相切，
则|b|5＝3，解得b=35（舍）或b=−35．直线经过A(−3, 0)，
可得b=6，
∵ 直线y=2x+b与曲线y＝−9−x2没有公共点，
∴ b<−35或b>6．
12.
【答案】
①③
【考点】
命题的真假判断与应用
曲线与方程
【解析】
以−x替换x，以−y替换y，方程不变判断①；求出x，y的范围判断②；联立方程组判断③；由两曲线的对称性判断④．
【解答】
在曲线C：＝1中，以−x替换x，以−y替换y，方程不变，则曲线C关于原点对称，故①正确；
由＝1，得>0，得x2>4，即x<−2或x>2，同理求得y<−2或y>2，故②错误；
由求得的x、y的范围可得曲线C不是封闭图形，联立，得x4−8x2+32＝0，
方程的判别式△＝64−4×32<0，方程无解，故曲线C与圆x2+y2＝8无公共点，故③正确；
当x>0，y>0时，方程|x|+|y|＝4化为x+y＝4，不是方程组的解，
由对称性可知，方程组要么无解，要么多于1解，则曲线C与曲线D不可能有4个交点，故④错误．
∴ 正确的结论是①③．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.
【答案】
D
【考点】
虚数单位i及其性质
复数的基本概念
充分条件、必要条件、充要条件
复数的运算
【解析】
根据复数的概念可得当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．
【解答】
复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，
则“a＝0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，
【答案】
C
【考点】
复数的运算
【解析】
利用虚数单位i的运算性质化简M与N，则答案可求．
【解答】
∵ M＝i+i2+i3+i4＝i−1−i+1＝0，
N＝i⋅i2⋅i3⋅i4＝i⋅(−1)⋅(−i)⋅1＝i2＝−1，
∴ M>N．
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
双曲线4x2+ky2＝4k的虚轴长是实轴长的2倍，列出方程，可求得双曲线的虚轴长，即可得出结论．
【解答】
∵ 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴ 其实轴长为4，可得2＝8，
∴ k＝−16．
【答案】
D
【考点】
轨迹方程
【解析】
根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．
【解答】
排除法：设动点为Q，
1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB＝QA，
又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．
2．如果是点A在圆C外，由QC−R＝QA，得QC−QA＝R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；
3．当点A与圆心C重合，要使QB＝QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；
则本题选D．
三、简答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
【答案】
圆的标准方程为(x−1)2+y2＝4圆心为C(1, 0)，半径r＝2，
①当直线斜率不存在时，由过点(3, 2)得直线方程为x＝3，与(1, 0)的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y−2＝k(x−3)，即kx−y+2−3k＝0，
圆心(1, 0)到直线的距离，解得k＝0．∴ 直线方程为y＝2．
综上，所求直线方程为y＝2或x＝3．
另可设所求直线的方程为a(x−3)+b(y−2)＝0(a2+b2≠0)，
即ax+by−3a−2b＝0由题意得圆心(1, 0)到切线的距离，
得ab＝0，所求为y＝2或x＝3．
圆心C(1, 0)到直线y＝x+1与的距离，
又半径r＝2，∴ 弦长|AB|＝．
【考点】
圆的切线方程
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）求出圆心与半径r，①当直线斜率不存在时，验证是否满足题意．②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y−2＝k(x−3)，利用点到直线的距离公式求解即可．
另解：设所求直线的方程为a(x−3)+b(y−2)＝0(a2+b2≠0)，利用点到直线的距离公式求解即可．
（2）利用点到直线的距离，结合圆的半径计算弦长即可．
【解答】
圆的标准方程为(x−1)2+y2＝4圆心为C(1, 0)，半径r＝2，
①当直线斜率不存在时，由过点(3, 2)得直线方程为x＝3，与(1, 0)的距离为2，与圆相切，符合题意；
②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y−2＝k(x−3)，即kx−y+2−3k＝0，
圆心(1, 0)到直线的距离，解得k＝0．∴ 直线方程为y＝2．
综上，所求直线方程为y＝2或x＝3．
另可设所求直线的方程为a(x−3)+b(y−2)＝0(a2+b2≠0)，
即ax+by−3a−2b＝0由题意得圆心(1, 0)到切线的距离，
得ab＝0，所求为y＝2或x＝3．
圆心C(1, 0)到直线y＝x+1与的距离，
又半径r＝2，∴ 弦长|AB|＝．
【答案】
由|z|+−8−4i＝0，
得，则，
∴ z＝3−4i；
|ω|＝|(3−4i)i+m|＝|4+m+3i|＝，
∵ m∈R，∴ |ω|≥3，
故|ω|的取值范围是[3, +∞)．
【考点】
复数的模
【解析】
设z＝a+bi(a, b∈R)，
（1）把z代入已知等式，利用复数相等的条件列式求得a与b的值，则z可求；
（2）利用复数模的计算公式求得|ω|，再由配方法求得|ω|的取值范围．
【解答】
由|z|+−8−4i＝0，
得，则，
∴ z＝3−4i；
|ω|＝|(3−4i)i+m|＝|4+m+3i|＝，
∵ m∈R，∴ |ω|≥3，
故|ω|的取值范围是[3, +∞)．
【答案】
由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以C、D为焦点，长轴长为的椭圆，
即a＝2，c＝2，
所以曲线E的方程为+＝1．
证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，(y1>0)，由题C(−2, 0)，D(2, 0)，
因为AC⊥AB，且A，D在一条直线上，
所以•＝(−2−x1, −y1)⋅(2−x1, −y1)＝x12−4+y12＝x12−4+4(1−）＝x12＝0，
所以x1＝0，y1＝2，A(0, 2)，
则直线l的方程为：y＝−x+2，
联立，得3x2−8x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以y2＝-＝2＝-，
所以B（，-）．
设P(xP, yP)，则+＝1，
由题，
所以m2+n2＝，即证动点Q(m, n)在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以C、D为焦点，长轴长为的椭圆，进而可得a，c，再计算b2＝a2−c2，即可得出答案．
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，(y1>0)，由AC⊥AB，得•＝0，解得x1，y1，即可得出A点坐标，写出直线l的方程，联立椭圆的方程，解得x2，即得B点坐标．
（3）设P(xP, yP)，代入椭圆的方程，+＝1，由＝m+n，得，化简即可得出答案．
【解答】
由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以C、D为焦点，长轴长为的椭圆，
即a＝2，c＝2，
所以曲线E的方程为+＝1．
证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，(y1>0)，由题C(−2, 0)，D(2, 0)，
因为AC⊥AB，且A，D在一条直线上，
所以•＝(−2−x1, −y1)⋅(2−x1, −y1)＝x12−4+y12＝x12−4+4(1−）＝x12＝0，
所以x1＝0，y1＝2，A(0, 2)，
则直线l的方程为：y＝−x+2，
联立，得3x2−8x＝0，
所以x1＝0，x2＝，
所以y2＝-＝2＝-，
所以B（，-）．
设P(xP, yP)，则+＝1，
由题，
所以m2+n2＝，即证动点Q(m, n)在以原点为圆心，以为半径的定圆上运动．
【答案】
抛物线C:x2＝4y的准线方程为y＝−1；
证明：设直线AB方程为y＝kx+b，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由，可得x2−4kx−4b＝0，
所以x1+x2＝4k，x1x2＝−4b，
•＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝−4b+＝−4，解得b＝2，
则直线y＝kx+2过定点(0, 2)；
由F(0, 1)，由题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，
设直线l1的方向向量为(1, k)(k>0)，则(1, k)是直线l2的一个法向量，
故直线l1的方程为＝，即y＝kx+1，
直线l2的方程为x+k(y−1)＝0，即y＝-x+1，
由，可得x2−4kx−4＝0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，可得x1+x2＝4k，
则M(2k, 2k2+1)；
同理可得N(−，1+）．
所以S△FMN＝|FM|⋅|FN|＝•＝2(k+）≥4，
当且仅当k＝1时，△FMN的面积取最小值4．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）由焦点在y轴的正半轴上的抛物线的准线方程可得所求；
（2）设直线AB方程为y＝kx+b，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，解方程可得b，进而得到定点；
（3）求得F(0, 1)，分别设直线l1，l2的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M，N的坐标，由抛物线的定义，可得|FM|，|FN|，再由三角形的面积公式和基本不等式，计算可得所求最小值．
【解答】
抛物线C:x2＝4y的准线方程为y＝−1；
证明：设直线AB方程为y＝kx+b，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由，可得x2−4kx−4b＝0，
所以x1+x2＝4k，x1x2＝−4b，
•＝x1x2+y1y2＝x1x2+＝−4b+＝−4，解得b＝2，
则直线y＝kx+2过定点(0, 2)；
由F(0, 1)，由题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，
设直线l1的方向向量为(1, k)(k>0)，则(1, k)是直线l2的一个法向量，
故直线l1的方程为＝，即y＝kx+1，
直线l2的方程为x+k(y−1)＝0，即y＝-x+1，
由，可得x2−4kx−4＝0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，可得x1+x2＝4k，
则M(2k, 2k2+1)；
同理可得N(−，1+）．
所以S△FMN＝|FM|⋅|FN|＝•＝2(k+）≥4，
当且仅当k＝1时，△FMN的面积取最小值4．