2020-2021学年湖北省黄冈部高二（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省黄冈部高二（下）4月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题“曲线C上的点的坐标是方程fx,y=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )
A.满足方程fx,y=0的点都在曲线C上
B.方程fx,y=0是曲线C的方程
C.方程fx,y=0所表示的曲线不一定是C
D.以上说法都正确

2. 方程mx2−my2=n中，若mn0,b>0)的一条渐近线与圆(x−4)2+y2=4相切，离心率为( )
A.2B.233C.3D.32

5. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2=2pxp>0交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.1,0 D.2,0

6. 方程|y|−3=2x−x2表示的曲线为( )
A.一个圆B.半个圆C.两个半圆D.两个圆

7. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，∠F1PF2=60∘，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值是( )
A.1+32B.32C.233D.3

8. 抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=233|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A.π3B.3π4C.5π6D.2π3
二、多选题

下列说法正确的是( )
A.椭圆x24+y23=1上任意一点（非长轴端点）与长轴两端点连线斜率乘积为−34
B.过椭圆x24+y23=1焦点的弦中最短弦长为3
C.已知抛物线y2=4x，则经过抛物线焦点且斜率为1的弦长为8
D.已知抛物线y2=4x上两点Ax1,y1，Bx2,y2，若x1x2=1，则弦AB经过抛物线焦点

已知双曲线C过点(3, 2)且渐近线为y=±33x，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x23−y2=1
B.双曲线C的离心率为3
C.曲线y=ex−2−1经过C的一个焦点
D.直线x−2y−1=0与C有两个公共点

已知抛物线C:y2=4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点Px1,y1,Qx2,y2，点P在l上的射影为P1，则( )
A.若x1+x2=6，则|PQ|=8
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M0,1，则|PM|+|PP1|≥2
D.过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

抛物线的方程为y=2x2，直线AB过抛物线的焦点且与抛物线交于点Ax1,y1，Bx2,y2，则下列结论正确的是( )
A.焦点到准线的距离为1
B.过焦点与对称轴垂直的弦长为2
C.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
D.x1x2=−116
三、填空题

O为坐标原点，F为抛物线C:y2=42x的焦点，P为C上一点，若|PF|=42，则△POF的面积为________.

设双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM⋅kPN=4，则双曲线C的离心率为________．

动圆M与圆C1：x+12+y2=1外切，与圆C2：x−12+y2=25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．

关于曲线C:x4+y2=1，给出下列说法：
①关于坐标轴对称；
②关于点(0, 0)对称；
③关于直线y=x对称；
④是封闭图形，面积大于π．
则其中正确说法的序号是________．（注：把你认为正确的序号都填上）
四、解答题

已知双曲线C:x24−y2=1．
(1)求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；

(2)求与C有公共的焦点，且过点(2,−3)的双曲线的标准方程．

已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为55，且a+c=1+5，抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上．
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点且倾斜角为45∘的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，求S△FAB．

已知双曲线C和椭圆x24+y21=1有公共的焦点，且离心率为3．
(1)求双曲线C的方程．

(2)经过点M2,1作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴的长为半径的圆与直线x−y+6=0相切，过点P(4, 0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；

(2)若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．

已知动圆E经过定点D1,0，且与直线x=−1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；

(2)设过点P1,2的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．

已知向量a→=(x,3y)，b→=(1,0)，(a→+3b→)⊥(a→−3b→)．
(1)求满足上述条件的点M(x, y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，又点A(0, −1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省黄冈市部高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
曲线与方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：只有曲线C上的点的坐标都是方程fx,y=0的解，而且以方程fx,y=0的解为坐标的点都在曲线C上，
才能得出方程fx,y=0的曲线是C，曲线C的方程是fx,y=0．
由于不能判断以方程fx,y=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，
故方程fx,y=0的曲线不一定是C，
故也不能推出曲线C是方程fx,y=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
将方程的右边化成等于1的形式，得到x2nm−y2nm=1，再根据mn0)的一条渐近线y=bax与圆(x−4)2+y2=4相切，
可得：|4ba|1+(ba)2=2，解得a2=3b2，
从而a2=3(c2−a2)⇒4a2=3c2⇒2a=3c，
解得e=ca=233．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
利用已知条件转化求解D，E两点的坐标，通过几何关系求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点.
【解答】
解：将x=2代入y2=2pxp>0，
得y=±2p．
由OD⊥OE，
得kOD⋅kOE=−1，
即2p2⋅−2P2=−1，
得p=1，
所以抛物线C:y2=2x的焦点坐标为F12,0．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
曲线与方程
【解析】
把方程化简，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，y≤−3或y≥3，
y≤−3，方程可化为(−y−3)2=2x−x2；
y≥3，方程可化为(y−3)2=2x−x2，
∴ 方程|y|−3=2x−x2表示的曲线是两个半圆．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
双曲线的定义
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
x2a2+y2b2=1a>b>0， x2a12−y2b12=1a1>0,b1>0，
设|PF1|=m，|PF2|=n，m>n．
则m+n=2a ，m−n=2a1，
∴ m=a+a1，n=a−a1，
cs60∘=m2+n2−4c22mn=12，
化为： a+a12+a−a12−4c2=a+a1a−a1，
∴ a2+3a12−4c2=0，
∴ 1e12+3e22=4，
e12+e22=14e12+e221e12+3e22
=144+e22e12+3e12e22≥144+23
=1+32，
当且仅当e2=43e1时，取等号．则e12+e22的最小值是：1+32．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
基本不等式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得|AF|=|x1+2|，|BF|=|x2+2|，
∴ |AF|+|BF|=233|AB|≥2|AF|⋅|BF|，
∴ |AF|⋅|BF|≤13|AB|2，
在△AFB中，由余弦定理，
得cs∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|
=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|
=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1
=|AB|26|AF|⋅|BF|−1≥−12，
∴ ∠AFB的最大值是2π3.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
本题考查椭圆，抛物线的性质及直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题．
【解答】
解：对于A，椭圆的左右顶点分别为M−2,0，N2,0，
设椭圆上一点Px0,y0，x0≠±2，
因为P在椭圆上，
所以y02=31−x024，
则kPM⋅kPN=y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=−34，所以A正确；
对于B，显然当弦所在直线斜率为0时，弦长为2a=4；
当弦所在直线斜率不为0时，由椭圆的对称性，不妨取直线过右焦点，
设直线为x=my+1与椭圆交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
将直线为x=my+1代入椭圆方程，可得3m2+4y2+6my−9=0，
显然Δ>0，且y1+y2=−6m3m2+4，y1⋅y2=−93m2+4，
所以|AB|=1+m2|y1−y2|
=1+m2⋅y1+y22−4y1y2
=1+m2×36×41+m23m2+4
=4−43m2+4，
因为3m2+4≥4，
所以|AB|≥3，当且仅当m=0即直线与x轴垂直时等号成立，故B正确；
对于C，抛物线y2=4x焦点为F1,0，
则直线为y=x−1与抛物线交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
将直线为y=x−1代入抛物线方程，可得y2−4y−4=0，
则Δ=16+16>0，且y1+y2=4，y1⋅y2=−4，
所以|AB|=1+1|y1−y2|
=2⋅y1+y22−4y1y2=2×32=8，所以C正确；
对于D，设直线AB方程为x=my−1与抛物线交于Ax1,y1，Bx2,y2，
将x=my−1代入抛物线方程得y2−4my+4=0，
由Δ=16m2−16>0，可得m2>1，且y1y2=4，
此时x1x2=y1y2216=1成立，此时直线x=my−1过点−1,0，但不过该抛物线焦点，所以D错误．
故选ABC．
【答案】
A,C
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．
【解答】
解：设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1，
根据条件可知ba=33，所以方程可化为x23b2−y2b2=1，
将点(3, 2)代入得b2=1，所以a2=3，
所以双曲线C的方程为x23−y2=1，故A对；
离心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B错；
双曲线C的焦点为(2, 0)，(−2, 0)，
将x=2代入得y=e0−1=0，所以C对；
联立x23−y2=1，x−2y−1=0， 整理得y2−22y+2=0，
则Δ=8−8=0，故只有一个公共点，故D错.
故选AC.
【答案】
A,B,C
【考点】
抛物线的应用
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于选项A，因为p=2，所以x1+x2+2=|PQ|，则|PQ|=8，故A正确；
对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，
则由梯形性质可得|NN1|=|PP1|+|QQ1|2=|PF|+|QF|2=|PQ|2，故B正确；
对于选项C，因为F1,0，所以|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|MF|=2，故C正确；
对于选项D，显然直线x=0,y=1与抛物线只有一个公共点，
设过M的直线为y=kx+1，
联立y=kx+1,y2=4x，可得k2x2+2k−4x+1=0，
令Δ=0，则k=1，
所以直线y=x+1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；
故选ABC .
【答案】
C,D
【考点】
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
本题考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的焦点弦的相关性质，属于中档题．
【解答】
解：由已知，抛物线的标准方程为x2=12y，
焦点坐标为0,18，准线方程为y=−18，
故焦点到准线的距离为14，A错误；
过焦点与对称轴垂直的弦方程为y=18，
由已知交点坐标为Ax1,y1，Bx2,y2，
由y=18,y=2x2⇒x=±14,y=18.
线段AB与y轴垂直，故其长度为A，B两点横坐标之差的绝对值，即|AB|=12，
所以过焦点与对称轴垂直的弦长不是2，B错误；
过焦点的弦和抛物线相交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
则这条直线的斜率一定存在，设为k，
则AB方程为y=kx+18，设AB中点坐标为Mx0,y0，M就是圆心，
由y=kx+18,y=2x2⇒2x2−kx−18=0⇒x1+x2=k2,x1⋅x2=−116,
则x0=x1+x22=k4，y0=kx0+18=2k2+18，
故圆心M到准线的距离d=y0+18=k2+14，
|AB|=1+k2|x2−x1|
=1+k2×x2+x12−4x1⋅x2
=1+k2k2+12=k2+12=2d，
|AB|长为直径，故圆心M到准线的距离等于半径，
所以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，C正确；
由C的推理过程可知，x1x2=−116，故D正确．
故选CD．
三、填空题
【答案】
23
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 抛物线C的方程为y2=42x，∴ 2p=42，
可得p2=2，则焦点F2,0
设Pm,n，根据抛物线的定义，得|PF|=m+p2=42，
即m+2=42，解得m=32．
由点P在抛物线C，得n2=42×32=24，
∴ n=±26 ，|OF|=2，
∴ △POF的面积为S=12|OF|×|n|=23．
故答案为：23．
【答案】
5
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
本题主要考查双曲线的几何性质，点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于M，N连线经过坐标原点，所以M，N一定关于原点对称，利用直线PM，PN的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．
【解答】
解：根据双曲线的对称性可知M，N关于原点对称，
设Mx1,y1，N−x1,−y1，Px,y，
则x12a2−y12b2=1，双曲线x2a2−y2b2=1，
∴ kPM⋅kPN=y1−yx1−x⋅y1+yx1+x=b2a2=4，
∴ 该双曲线的离心率e=ca=c2a2=1+b2a2=5 .
故答案为：5 .
【答案】
x29+y28=1
【考点】
轨迹方程
椭圆的定义
【解析】
本题考查椭圆的概念及标准方程，属于中档题．
【解答】
解：圆C1：x+12+y2=1，圆心C1−1,0，半径为1，
圆C2：x−12+y2=25，圆心C21,0，半径为5，
设动圆圆心M的坐标为x,y，半径为r，
则|MC1|=r+1，|MC2|=5−r，
|MC1|+|MC2|=r+1−r+5=6>|C1C2|=2，
由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，
∴ b2=a2−c2=8，
椭圆的方程为： x29+y28=1．
故答案为：x29+y28=1．
【答案】
①②④
【考点】
曲线与方程
【解析】
将方程中的x换为−x，y换为−y，方程不变，判断出①②对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出③错；由方程上的点的坐标有界判断出④对．
【解答】
解：对于①②，将方程中的x换成−x，y换成−y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①②对；
对于③，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2=1与原方程不同，故③错；
对于④，在曲线C上任取一点M(x0, y0)，x04+y02=1，
∵ |x0|≤1，
∴ x04≤x02，
∴ x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故④对．
故答案为：①②④．
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意可知双曲线C:x24−y2=1的焦点为(±5, 0)，顶点为(±2, 0)．
则所求椭圆长轴的端点为(±5, 0)，焦点为(±2, 0)．
短半轴长为：5−4=1．
故所求椭圆的标准方程为：x25+y2=1．
(2)由题意可知双曲线C:x24−y2=1的焦点为(±5, 0)，
设要求的双曲线的标准方程为：x2a2−y2b2=1，(a, b>0)
则a2+b2=54a2−3b2=1 ，解得a2=2，b2=3．
所求双曲线的标准方程为：x22−y23=1．
【考点】
双曲线的标准方程
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可知双曲线C:x24−y2=1的焦点为(±5, 0)，顶点为(±2, 0)．
则所求椭圆长轴的端点为(±5, 0)，焦点为(±2, 0)．
短半轴长为：5−4=1．
故所求椭圆的标准方程为：x25+y2=1．
(2)由题意可知双曲线C:x24−y2=1的焦点为(±5, 0)，
设要求的双曲线的标准方程为：x2a2−y2b2=1，(a, b>0)
则a2+b2=54a2−3b2=1 ，解得a2=2，b2=3．
所求双曲线的标准方程为：x22−y23=1．
【答案】
解：(1)由题意可得e=ca=55,a+c=1+5,可得a=5,c=1,
则b=a2−c2=2，
所以，椭圆的标准方程为x25+y24=1，
设抛物线的标准方程为y2=2pxp>0，
由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，
则p2=c=1，p=2，
因此，抛物线的标准方程为y2=4x．
(2)设点Ax1,y1，Bx2,y2，
可知直线AB的方程为x=y+1，
将直线AB的方程与椭圆方程联立x=y+1,x25+y24=1,
消去x得9y2+8y−16=0，
Δ=64+4×9×16=640>0，
由韦达定理得y1+y2=−89，y1y2=−169，
因此，S△FAB=12×2×|y1−y2|
=(y1+y2)2−4y1y2
=(−89)2−4×(−169)=8109．
【考点】
圆锥曲线的共同特征
椭圆的标准方程
抛物线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得e=ca=55,a+c=1+5,可得a=5,c=1,
则b=a2−c2=2，
所以，椭圆的标准方程为x25+y24=1，
设抛物线的标准方程为y2=2pxp>0，
由于抛物线的通径与椭圆的右通径在同一直线上，
则p2=c=1，p=2，
因此，抛物线的标准方程为y2=4x．
(2)设点Ax1,y1，Bx2,y2，
可知直线AB的方程为x=y+1，
将直线AB的方程与椭圆方程联立x=y+1,x25+y24=1,
消去x得9y2+8y−16=0，
Δ=64+4×9×16=640>0，
由韦达定理得y1+y2=−89，y1y2=−169，
因此，S△FAB=12×2×|y1−y2|
=(y1+y2)2−4y1y2
=(−89)2−4×(−169)=8109．
【答案】
解：(1)由题意得椭圆x24+y21=1的焦点为F1−3,0，F23,0，
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，(a>0，b>0)，
则c2=a2+b2=3，
e=ca=3，
c=3a，
解得a2=1，b2=2，
∴ 双曲线方程为x2−y22=1．
(2)把Ax1,y1，Bx2,y2分别代入双曲线，
得x12−12y12=1，x22−12y22=1，
两式相减，得x1−x2x1+x2−12y1−y2y1+y2=0，
把x1+x2=4，y1+y2=2代入，
得4x1−x2−y1−y2=0，
kAB=y1−y2x1−x2=4,
∴ 直线l的方程为y=4x−7，
把y=4x−7代入x2−y22=1,
消去y得14x2−56x+51=0
x1+x2=4，x1x2=5114，k=4，
|AB|=1+k2x1+x22−4x1x2
=17⋅16−4×5114=11907．
【考点】
双曲线的标准方程
椭圆的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得椭圆x24+y21=1的焦点为F1−3,0，F23,0，
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，(a>0，b>0)，
则c2=a2+b2=3，
e=ca=3，
c=3a，
解得a2=1，b2=2，
∴ 双曲线方程为x2−y22=1．
(2)把Ax1,y1，Bx2,y2分别代入双曲线，
得x12−12y12=1，x22−12y22=1，
两式相减，得x1−x2x1+x2−12y1−y2y1+y2=0，
把x1+x2=4，y1+y2=2代入，
得4x1−x2−y1−y2=0，
kAB=y1−y2x1−x2=4,
∴ 直线l的方程为y=4x−7，
把y=4x−7代入x2−y22=1,
消去y得14x2−56x+51=0
x1+x2=4，x1x2=5114，k=4，
|AB|=1+k2x1+x22−4x1x2
=17⋅16−4×5114=11907．
【答案】
解：(1)由e=ca=12，得a2−b2a2=14，
可得a2=43b2，
又b=61+1=3，
∴ b2=3，a2=4．
故椭圆的方程为x24+y23=1.
(2)由题意知直线l方程为y=k(x−4)．
联立y=k(x−4),x24+y23=1,
得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0．
由Δ=(−32k2)2−4(4k2+3)(64k2−12)>0，
得k20,
∴ m>12,
将(2)代入(1):
2m−1−m2+1>0 ,
解得0