2020-2021学年湖北省十堰高二（下）6月10日周测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰高二（下）6月10日周测数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知f(x)=ax3+3x2+2，若f′(−1)=4，则a的值等于( )
A.193B.103C.163D.133

2. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
A.B.
C.D.

3. 某校组织计算机知识竞赛，已知竞赛题目共有10道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试．若某一参赛者只能答对10道题中的6道，则他能通过初试的概率为（ ）
A.23B.34C.14D.13

4. 从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中，依次不放回地摸出2个球，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（ ）
A.13B.25C.59D.49

5. 在x2+x−2x−15的展开式中，含x4项的系数是( )
A.−5B.−10C.5D.10

6. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0A.2B.−1C.0D.1

7. 某校的6名高二学生打算参加学校组织的“篮球队”“微电影社团”“棋艺社”“美术社”“合唱团”5个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“微电影社团”的不同参加方法种数为（ ）．
A.1440B.3600C.5040D.6840

8. 设定义在R上的函数fx是最小正周期为2π的偶函数，f′x是fx的导函数，当x∈0,π时，00，则函数y=fx−sinx在−2π,2π上的零点个数为（ ）
A.2B.4C.5D.8

9. 有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（ ）
A.两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大
B.对分类变量X与Y的随机变量K2来说，K2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C.从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病
D.从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关
二、多选题

已知ax2+1xna>0的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45

某城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车．若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是（ ）
A.这5个家庭均拥有小汽车的概率为2431024
B.这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为2764
C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D.这5个家庭中，4个家庭以上（含4个家庭）拥有小汽车的概率为81128

已知f(x)=x3−6x2+9x−abc，aA.f(0)f(1)>0B.f(0)f(1)<0C.f(0)f(3)>0D.f(0)f(3)<0
三、填空题

已知随机变量ξ∼B10,0.8，若随机变量η=10ξ，则η的数学期望Eη=________．

从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

已知fx=sinπx3，集合A=1,2,3,4,5,6,7,8，现从集合A中任取两个不同的元素，分别记为m，n，则fmfn=0的概率是________．

设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(−3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．
四、解答题

已知复数z=(2+i)m2−6m1−i−2(1−i)．当实数m取什么值时，复数z：
(1)是零；

(2)是虚数；

(3)是纯虚数；

(4)是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数？

已知函数f(x)=ax4lnx+bx4−c(x>0)在x=1处取得极值−3−c，其中a，b，c为常数．
(1)试确定a，b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调区间；

(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥−2c2恒成立，求c的取值范围．

某校为了解高二物理教改实验班的情况，将该班30名学生的物理期末考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)．
(1)求出该班学生物理成绩的平均数．

(2)从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50,60)内的记1绩点分，在[60,80)内的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：

(1)求y关于x的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；

(2)为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过APP向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是12，13，16，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx.
参考数据：i=16xiyi=10400，i=16xi2=11350.

近期，生二胎的问题引起了社会的广泛关注．现对某市工薪阶层关于“生二胎”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们月收入的频数分布及反对“生二胎”的人数如下表：

(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为工薪阶层以月收入5000元为分界点对“生二胎”的态度有差异．

(2)若从月收入在[1000,2000)，[2000,3000)的被调查对象中，各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“生二胎”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
附：临界值表
参考公式：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．

已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1, 0)，且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[0, t](0
(3)在(1)的结论下，方程f(x)=c（c为常数）在区间[1, 3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（下）6月10日周测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】

【解答】
解：∵ f(x)=ax3+3x2+2，
∴ f′(x)=3ax2+6x，
∵ f′(−1)=3a−6=4，
∴ a=103．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的图象
【解析】
由题设条件知：当0>x>−2时，xf′(x)<0；当x＝−2时，xf′(x)＝0；当x<−2时，xf′(x)>0．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【解答】
解：∵ 函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，
且函数f(x)在x=−2处取得极小值，
∴ 当x>−2时，f′(x)>0；
当x=−2时，f′(x)=0；
当x<−2时，f′(x)<0．
∴ 当−2当x=−2或x=0时，xf′(x)=0；
当x<−2或x>0时，xf′(x)>0.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：通过初试包括两种情况，即答对其中2道或3道题目，
所以所求概率为C62C41C103+C63C103=23．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
无
【解答】
解：设“第1次摸到红球（第2次无限制）”为事件A，
则PA=6×910×9=35，
“第1次摸到红球，第2次提到白球”为事件B，
则PB=6×410×9=415，
故在第1次摸到红球的条作下，第2次摸到白球的概率为PBPA=49．
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
无
【解答】
解：x2+x−2x−15的展开式中含x4项的系数是C53(−1)3+C52(−1)2−2C51(−1)=10．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由已知得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，且P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1−p，推导出E(ξ)=p，D(ξ)=p−p2，从而得到4Dξ−1Eξ=4−(4p+1p)，由此利用均值定理能求出4Dξ−1Eξ的最大值．
【解答】
解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，
并且有P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1−p，
从而E(ξ)=0×(1−p)+1×p=p，
D(ξ)=(0−p)2×(1−p)+(1−p)2×p=p−p2，
4D(ξ)−1E(ξ)=4(p−p2)−1p=4−(4p+1p)，
∵ 0当4p=1p，p=12时，取“=”，
∴ 当p=12时，4D(ξ)−1E(ξ)取得最大值0．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
无
【解答】
解：可分为两类：第1类，若有1人参加“微电影社团”，
则从6人中选1人参加该社团，其余5人参加剩下的4个社团，
人数安排有1，1，1，2和0，1，2，2两种情况，
所以不同的参加方法种数为C61C51C41C31A33A44+C52C32A22A43=3600；
第2类，若无人参加“微电影社团"，则6人参加剩下的4个社团，
人数安排有1，1，2，2和0，2，2，2两种情况，
所以不同的参加方法种数为C62C42A22A44+C43C62C42=1440，
故不同的参加方法种数为3600+1440=5040．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据函数fx的性质，将y=fx−sinx的零点个数转化为y1=fx与y2=sinx图象的交点个数．
∵ x−π2f′x>0，当π20，∴ fx在π2,π上是增函数，
当0设π≤x≤2π，则0≤2π−x≤π，
由fx是以2π为最小正周期的偶函数知，f2π−x=fx．
故−2π≤x≤2π时，0所以y1=fx与y2=sinx在−2π,2π上有四个交点，
故选B．
9.
【答案】
A,B,D
【考点】
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则K2越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；
根据K2越小，则“X与Y有关系”的可信度越小，可知选项B正确；
从独立性检验可知，有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；
从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确．
故选ABD．
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(ax2+1x)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(ax2)n−r(1x)r=an−rCnrx2n−52r，
∴ 第5项系数为an−4Cn4，第7项的系数为an−6Cn6，
由第5项与第7项的系数相等，可知n=10，
又∵ 展开式的各项系数之和为1024，即当x=1时，(a+1)10=1024，解得a=1，
展开式中奇数项的二项式系数和为2n−1=512，故A错误；
由n=10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，故B正确；
当2n−52r=0时，即r=8时，展开式中存在常数项，故C正确；
当2n−52r=15时，r=2，系数为18C102=45，故D正确.
故选BCD.
【答案】
A,C,D
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得小汽车的普及率为34．
对于A，这5个家庭均拥有小汽车的概率为345=2431024，所以A成立；
对于B，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为C53×343×142=135512，所以B不成立；
对于C，这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，所以C成立；
对于D，这5个家庭中，4个家庭以上（含4个家庭）拥有小汽车的概率为C54×344×14+345=81128，所以D成立．
故选ACD．
【答案】
B,C
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
根据f(x)=x3−6x2+9x−abc，a【解答】
解：求导函数可得f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，
∵ a∴ a<1设f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)
=x3−(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x−abc，
∵ f(x)=x3−6x2+9x−abc，
∴ a+b+c=6，ab+ac+bc=9，
∴ b+c=6−a，
∴ bc=9−a(6−a)<(6−a2)2，
∴ a2−4a<0，∴ 0∴ 0∴ f(0)<0，f(1)>0，f(3)<0，
∴ f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0．
故选BC．
三、填空题
【答案】
80
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
【解答】
解：由随机变量ξ∼B10,0.8可知E(ξ)=10×0.8=8．
因为η=10ξ，所以Eη=10Eξ=80．
故答案为：80．
【答案】
1260
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若取出的数字中含0，则可以组成C52C31C31A33个没有重复数字的四位数；
若取出的数字中不含0，则可以组成C52C32A44个没有重复数字的四位数．
综上所述，一共可以组成C52C31C31A33+C52C32A44=1260个没有重复数字的四位数．
故答案为：1260.
【答案】
1328
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
【解答】
解：从集合A中任取两个不同的元素，分别记为m，n，
有A82种不同的取法．
因为只有f3=f6=0，
所以要使fmfn≠0，
则应使fm≠0且fn≠0，
这样的取法共有A62种，
因此所求的概率P=1−A62A82=1328．
故答案为：1328．
【答案】
(−∞,−3)∪(0,3)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设F(x)=g(x)f(x)，
则F′(x)=g′(x)f(x)+g(x)f′(x)，
∵ 当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，
∴ F(x)在(−∞,0)上为增函数；
∵f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F(−x)=g(−x)f(−x)=−g(x)f(x)=−F(x)，
∴ F(x)为R上的奇函数，故F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.
∵ g(−3)=0，必有F(−3)=F(3)=0.
可知F(x)<0的解集为(−∞,−3)∪(0,3).
故答案为：(−∞,−3)∪(0,3).
四、解答题
【答案】
解：由于m∈R，复数z可以表示为z=2+im2−3m1+i−21−i=2m2−3m−2+m2−3m+2i
(1)当2m2−3m−2=0，m2−3m+2=0. 即m=2时，z为零．
(2)当m2−3m+2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(3)当2m2−3m−2=0，m2−3m+2≠0， 即m=−12时，z为纯虚数．
(4)当2m2−3m−2=−m2−3m+2，即m=0或m=2时，
z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于m∈R，复数z可以表示为z=2+im2−3m1+i−21−i=2m2−3m−2+m2−3m+2i
(1)当2m2−3m−2=0，m2−3m+2=0. 即m=2时，z为零．
(2)当m2−3m+2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(3)当2m2−3m−2=0，m2−3m+2≠0， 即m=−12时，z为纯虚数．
(4)当2m2−3m−2=−m2−3m+2，即m=0或m=2时，
z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
【答案】
解：(1)由题意知f(1)=−3−c，即b−c=−3−c，
解得b=−3.
因为f′(x)=4ax3lnx+ax4⋅1x+4bx3=x3(4alnx+a+4b)，
由题意知f′(1)=0，即a+4b=0，
解得a=12.
(2)由(1)知f′(x)=48x3lnx(x>0)，
令f′(x)=0，解得x=1，
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(3)由(2)知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=−3−c，此极小值也是最小值，
要使f(x)≥−2c2(x>0)恒成立，
只需−3−c≥−2c2，即2c2−c−3≥0，
即(2c−3)(c+1)≥0，
解得c≥32或c≤−1.
所以c的取值范围为(−∞,−1]∪[32,+∞).
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）因为x=1时函数取得极值得f(x)=−3−c求出b，然后令导函数=0求出a即可；
（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f(x)的单调区间；
（3）不等式f(x)≥−2c2恒成立即f(x)的最小值≥−2c2，求出c的解集即可．
【解答】
解：(1)由题意知f(1)=−3−c，即b−c=−3−c，
解得b=−3.
因为f′(x)=4ax3lnx+ax4⋅1x+4bx3=x3(4alnx+a+4b)，
由题意知f′(1)=0，即a+4b=0，
解得a=12.
(2)由(1)知f′(x)=48x3lnx(x>0)，
令f′(x)=0，解得x=1，
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，而f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(3)由(2)知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=−3−c，此极小值也是最小值，
要使f(x)≥−2c2(x>0)恒成立，
只需−3−c≥−2c2，即2c2−c−3≥0，
即(2c−3)(c+1)≥0，
解得c≥32或c≤−1.
所以c的取值范围为(−∞,−1]∪[32,+∞).
【答案】
解：(1)由频率分布直方图可知，该班学生物理成绩的平均数为
55×230+65×430+75×630+85×1030+95×830
=130×(55×2+65×4+75×6+85×10+95×8)
=81．
(2)依题意知，成绩在[50,60)内的人数为30×230=2，
成绩在[60,80)内的人数为30×430+630=10 ,
∴成绩低于80分的总人数为12，
ξ的所有可能取值为2，3，4，
Pξ=2=C22C122=166，
Pξ=3=C21C101C122=1033，
Pξ=4=C102C122=1522，
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望E(ξ)=2×166+3×1033+4×1522=113．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由频率分布直方图可知，该班学生物理成绩的平均数为
55×230+65×430+75×630+85×1030+95×830
=130×(55×2+65×4+75×6+85×10+95×8)
=81．
(2)依题意知，成绩在[50,60)内的人数为30×230=2，
成绩在[60,80)内的人数为30×430+630=10 ,
∴成绩低于80分的总人数为12，
ξ的所有可能取值为2，3，4，
Pξ=2=C22C122=166，
Pξ=3=C21C101C122=1033，
Pξ=4=C102C122=1522，
∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望E(ξ)=2×166+3×1033+4×1522=113．
【答案】
解：(1)由表中数据，得x=16(15+25+35+45+55+65)=40，y=1695+80+65+40+35+15=55 ，
b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2=10400−6×40×5511350−6×402=−1.6，
a=y−bx=55−−1.6×40=119，
所以y关于x的线性回归方程为y=−1.6x+119 .
当x=40时，y=−1.6×40+119=55，
所以年龄为40岁人群的骑乘人数为55人.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，6，
PX=2=12×12=14，
PX=3=2×12×13=13，
PX=4=13×13+2×12×16=518，
PX=5=2×13×16=19，
PX=6=16×16=136.
所以X的分布列为：
所以EX=2×14+3×13+4×518+5×19+6×136=103.
【考点】
求解线性回归方程
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
(1)利用已知数据求出x，y，求得线性回归方程，求预测值
(2)利用所知概率求离散型随机变量的分布列和期望
【解答】
解：(1)由表中数据，得x=16(15+25+35+45+55+65)=40，y=1695+80+65+40+35+15=55 ，
b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2=10400−6×40×5511350−6×402=−1.6，
a=y−bx=55−−1.6×40=119，
所以y关于x的线性回归方程为y=−1.6x+119 .
当x=40时，y=−1.6×40+119=55，
所以年龄为40岁人群的骑乘人数为55人.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，6，
PX=2=12×12=14，
PX=3=2×12×13=13，
PX=4=13×13+2×12×16=518，
PX=5=2×13×16=19，
PX=6=16×16=136.
所以X的分布列为：
所以EX=2×14+3×13+4×518+5×19+6×136=103.
【答案】
解：(1)2×2列联表如下：
k=50×3×11−7×29210×40×32×18≈6.272<6.635．
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为工薪阶层以月收入5000元为分界点对“生二胎”的态度有差异．
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
Pξ=0=C42C52×C82C102=610×2845=2875，
Pξ=1=C41C52×C82C102+C42C52×C81C21C102=410×2845+610×1645=104225，
Pξ=2=C41C52×C81C21C102+C42C52×C22C102=410×1645+610×145=745，
Pξ=3=C41C52×C22C102=410×145=2225．
所以ξ的分布列为：
所以Eξ=0×2875+1×104225+2×745+3×2225=45．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)2×2列联表如下：
k=50×3×11−7×29210×40×32×18≈6.272<6.635．
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为工薪阶层以月收入5000元为分界点对“生二胎”的态度有差异．
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
Pξ=0=C42C52×C82C102=610×2845=2875，
Pξ=1=C41C52×C82C102+C42C52×C81C21C102=410×2845+610×1645=104225，
Pξ=2=C41C52×C81C21C102+C42C52×C22C102=410×1645+610×145=745，
Pξ=3=C41C52×C22C102=410×145=2225．
所以ξ的分布列为：
所以Eξ=0×2875+1×104225+2×745+3×2225=45．
【答案】
解：(1)因为f′x=3x2+2ax，
所以曲线在P1,0处的切线斜率为f′1=3+2a，
即3+2a=−3，a=−3，
又函数过点1,0，即−2+b=0，b=2．
所以fx=x3−3x2+2.
(2)由fx=x3−3x2+2，知f′x=3x2−6x，
由f′x=0，得x=0或x=2．
①当0所以fxmax=f0=2，fxmin=ft=t3−3t2+2．
②当2fxmin=f2=−2，fxmax为f0与ft中较大的一个．
ft−f0=t3−3t2=t2t−3<0，
所以fxmax=f0=2，即fx在0,t上的最大值为2；
当0当2(3)令g(x)=f(x)−c=x3−3x2+2−c，
则g′(x)=3x2−6x=3x(x−2)．
在[1, 2)上，g′(x)<0；在(2, 3]上，g′(x)>0．
要使g(x)=0在[1, 3]上恰有两个相异的实根，
则g(1)≥0，g(2)<0，g(3)≥0，即f(1)−c≥0，f(2)−c<0，f(3)−c≥0，解得c≤0，c>−2，c≤2，
故−2即c的取值范围为(−2,0]．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）利用导数的几何意义求出a，根据函数过(1, 0)点，求出b，即可求出函数f(x)的解析式；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f(x)在区间[0, t](0（3）构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．
【解答】
解：(1)因为f′x=3x2+2ax，
所以曲线在P1,0处的切线斜率为f′1=3+2a，
即3+2a=−3，a=−3，
又函数过点1,0，即−2+b=0，b=2．
所以fx=x3−3x2+2.
(2)由fx=x3−3x2+2，知f′x=3x2−6x，
由f′x=0，得x=0或x=2．
①当0所以fxmax=f0=2，fxmin=ft=t3−3t2+2．
②当2fxmin=f2=−2，fxmax为f0与ft中较大的一个．
ft−f0=t3−3t2=t2t−3<0，
所以fxmax=f0=2，即fx在0,t上的最大值为2；
当0当2(3)令g(x)=f(x)−c=x3−3x2+2−c，
则g′(x)=3x2−6x=3x(x−2)．
在[1, 2)上，g′(x)<0；在(2, 3]上，g′(x)>0．
要使g(x)=0在[1, 3]上恰有两个相异的实根，
则g(1)≥0，g(2)<0，g(3)≥0，即f(1)−c≥0，f(2)−c<0，f(3)−c≥0，解得c≤0，c>−2，c≤2，
故−2即c的取值范围为(−2,0]．年龄x
15
25
35
45
55
65
骑乘人数y
95
80
65
40
35
15
月收入（元）
[1000,2000)
[2000,3000)
[3000,4000)
[4000,5000)
[5000,6000)
[6000,7000)
频数
5
10
15
10
5
5
反对人数
4
8
12
5
2
1
月收入不低于
5000元的人数
月收入低于
5000元的人数
总计
反对
赞成
总计
PK2≥k0
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
ξ
2
3
4
P

166
1033
1522
ξ
2
3
4
P

166
1033
1522
X
2
3
4
5
6
P
14
13
518
19
136
X
2
3
4
5
6
P
14
13
518
19
136
月收入不低于
5000元的人数
月收入低于
5000元的人数
总计
反对
3
29
32
赞成
7
11
18
总计
10
40
50
ξ
0
1
2
3
P
2875
104225
745
2225
月收入不低于
5000元的人数
月收入低于
5000元的人数
总计
反对
3
29
32
赞成
7
11
18
总计
10
40
50
ξ
0
1
2
3
P
2875
104225
745
2225
x
0
(0,2)
2
(2,t)
t
f′(x)
0
−
0
+
+
f(x)
2
↘
−2
↗
t2−3t2+2
x
0
(0,2)
2
(2,t)
t
f′(x)
0
−
0
+
+
f(x)
2
↘
−2
↗
t2−3t2+2