2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷2，共31页。

A．①×2﹣②×4B．①﹣②×2
C．①+②×2D．由②得，y＝，再代入①
2．（2021秋•福田区校级期中）已知直角三角形的两边长均为3，则第三边长为（ ）
A．3B．C．D．
3．（2021秋•福田区校级期中）甲乙两人在一环形跑道上同时从A点匀速跑步，已知甲的速度比乙的速度快，若两人同向出发，则两人在6分钟时第1次相遇；若两人背向出发，两人在3分钟时第1次相遇，则甲的速度是乙的速度的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．5
4．（2021秋•福田区校级期中）＝（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
5．（2021秋•福田区校级期中）若点P（a，b）满足a2b＞0，则点P所在的象限为（ ）
A．第一象限或第二象限B．第一象限或第四象限
C．第二象限或第三象限D．第三象限或第四象限
6．（2021秋•福田区校级期中）已知是关于x、y的二元一次方程，则a+b＝（ ）
A．B．C．或D．
7．（2021秋•福田区校级期中）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与一次函数y＝cx+d（c≠0）的图象的交点在第三象限，则方程组的解可能是（ ）
A．x＝﹣，y＝﹣2B．x＝﹣3，y＝2C．x＝3，y＝2D．x＝6，y＝﹣2
8．（2021秋•罗湖区校级期中）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝3B．x＝1.5C．x＝﹣3D．x＝﹣1.5
9．（2021秋•福田区校级期中）在平面直角坐标系中有点A（0，0），点A第1次运动到点A1（0，1），第2次运动到点A2（1，0），第3次运动到点A3（1，1），第4次运动到点A4（0，0），第5次运动到点A5（﹣1，1），第6次运动到点A6（﹣1，0），第7次运动到点A7（0，1），第8次运动到点A8（0，2），第9次运动到点A9（1，1）…，依此规律运动下去，点A第2021次运动到点A2021的坐标是（ ）
A．（1，288）B．（0，288）C．（1，289）D．（0，289）
10．（2021秋•罗湖区校级期中）已知点A（﹣2，1），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，由此得点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0）B．（﹣，0）C．（﹣1，0）D．（1，0）
11．（2021秋•罗湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的等边△AOB的顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，3）
12．（2021秋•罗湖区校级期中）一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法：
①A、B两地相距60千米：
②出发1小时，货车与小汽车相遇；
③小汽车的速度是货车速度的2倍；
④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了60千米；
⑤出发2小时，小货车离终点还有80千米，其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋•罗湖区校级期中）一个正数a的平方根是3x+2与5x+6，则这个正数a是 ．
14．（2021秋•福田区校级期中）一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象必经过的点的坐标为 ．
15．（2021秋•南山区校级期中）已知是方程组的解，则a+b的值为 ．
16．（2021秋•罗湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•福田区校级期中）计算：
（1）
（2）
（3）
18．（2021秋•罗湖区校级期中）计算下列各题
（1）（+1）（﹣1）﹣+（﹣π）0．
（2）（﹣）2+2×3﹣（﹣2）2．
19．（2021秋•福田区校级期中）解下列方程组：
（1）
（2）
20．（2021秋•罗湖区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“2属派生点”P′的坐标为 ；
（2）若点P的“4属派生点”P′的坐标为（2，﹣7），求点P的坐标；
（3）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，求k的值．
21．（2021秋•福田区校级期中）如图①，A、B、C三地依次在一直线上，两辆汽车甲、乙分别从A、B两地同时出发驶向C地，如图②，是两辆汽车行驶过程中到B地的距离s（km）与行驶时间t（h）的关系图象，其中折线段EF﹣FG是甲车的图象，线段OM是乙车的图象．
（1）图②中，a的值为 ；点M的坐标为 ；
（2）当甲车在乙车与B地的中点位置时，求行驶的时间t的值．
22．（2021秋•福田区校级期中）某兴趣小组观察下雨天学校池塘水面高度h（单位：cm）与观察时间t（单位：min）的关系，并根据当天观察数据画出了如图所示的图象，请你结合图象回答下列问题：
（1）求线段BC的表达式；
（2）试求出池塘原有水面的高度．
23．（2021秋•罗湖区校级期中）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值．
24．（2021秋•福田区校级期中）图形的变换趣味无穷，如图1，在平面直角坐标系中，线段l位于第二象限，A（a，b）是线段l上一点，对于线段我们也可以做一些变换；
（1）如图2，将线段l以y轴为对称轴作轴对称变换得到线段l1，若点A（﹣2，3），则点A（﹣2，3）关于y轴对称的点A1的坐标是 ．
（2）如图3，将线段l绕坐标原点O顺时针方向旋转90°得到线段l2，则点A（a，b）的对应点A3的坐标是什么？并说明理由．
2021-2022学年上学期深圳市初中数学八年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2021秋•罗湖区校级期中）解方程组时，消去未知数y，最简单的是（ ）
A．①×2﹣②×4B．①﹣②×2
C．①+②×2D．由②得，y＝，再代入①
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】观察方程组中两方程中y的系数确定出加减消元法即可．
【解答】解：解方程组时，消去未知数y最简单的方法是①+②×2，
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2021秋•福田区校级期中）已知直角三角形的两边长均为3，则第三边长为（ ）
A．3B．C．D．
【考点】勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据题意可知，长为3的两边为直角边，再利用勾股定理即可求出斜边的长．
【解答】解：第三边的长＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键．
3．（2021秋•福田区校级期中）甲乙两人在一环形跑道上同时从A点匀速跑步，已知甲的速度比乙的速度快，若两人同向出发，则两人在6分钟时第1次相遇；若两人背向出发，两人在3分钟时第1次相遇，则甲的速度是乙的速度的（ ）倍．
A．2B．3C．4D．5
【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设乙的速度为x米/分钟，甲的速度为kx米/分钟，环形跑道的长为S米，根据路程＝速度×时间，即可得出关于k，x的二元一次方程组（S和x是设而不求），解之即可得出k值．
【解答】解：设乙的速度为x米/分钟，甲的速度为kx米/分钟，环形跑道的长为S米，
依题意，得：，
解得：k＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2021秋•福田区校级期中）＝（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．8
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】依据算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：∵82＝64，
∴＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
5．（2021秋•福田区校级期中）若点P（a，b）满足a2b＞0，则点P所在的象限为（ ）
A．第一象限或第二象限B．第一象限或第四象限
C．第二象限或第三象限D．第三象限或第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】根据a2b＞0＞0可得b＞0，可得a＞0或a＜0，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征可判断出P点所在象限．
【解答】解：∵a2b＞0，
∴b＞0，a＞0或a＜0，
当a＞0，b＞0时，点P所在的象限为第一象限；
当a＜0，b＞0时，点P所在的象限为第二象限；
故选：A．
【点评】此题考查了点的坐标，关键是掌握各象限内点的坐标符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．也考查了有理数的加法与乘法法则．
6．（2021秋•福田区校级期中）已知是关于x、y的二元一次方程，则a+b＝（ ）
A．B．C．或D．
【考点】绝对值；二元一次方程的定义．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】利用二元一次方程的定义得出关于a，b的方程，求出即可．
【解答】解：由题意，得
|a|＝1且a﹣1≠0．则a＝﹣1．
﹣b＝1，则b＝﹣．
所以a+b＝﹣1+（﹣）＝﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确解二元一次方程是解题关键．
7．（2021秋•福田区校级期中）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与一次函数y＝cx+d（c≠0）的图象的交点在第三象限，则方程组的解可能是（ ）
A．x＝﹣，y＝﹣2B．x＝﹣3，y＝2C．x＝3，y＝2D．x＝6，y＝﹣2
【考点】一次函数的性质；一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】一次函数及其应用；符号意识．
【分析】一个一次函数解析式可以看做是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0）与一次函数y＝cx+d（c≠0）的图象的交点在第三象限，
∴方程组的解中x，y都小于0，故可能是：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
8．（2021秋•罗湖区校级期中）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝3B．x＝1.5C．x＝﹣3D．x＝﹣1.5
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】利用函数图象可得y＝0时，x＝1.5，进而可得答案．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得y＝0时，x＝1.5，
因此关于x的方程kx+b＝0的解为x＝1.5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息．
9．（2021秋•福田区校级期中）在平面直角坐标系中有点A（0，0），点A第1次运动到点A1（0，1），第2次运动到点A2（1，0），第3次运动到点A3（1，1），第4次运动到点A4（0，0），第5次运动到点A5（﹣1，1），第6次运动到点A6（﹣1，0），第7次运动到点A7（0，1），第8次运动到点A8（0，2），第9次运动到点A9（1，1）…，依此规律运动下去，点A第2021次运动到点A2021的坐标是（ ）
A．（1，288）B．（0，288）C．（1，289）D．（0，289）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】依所给点的坐标，在平面直角坐标系中画出点的运动轨迹，可以发现点的横坐标始终为0，1，﹣1，纵坐标每隔7次运动增加1，由2021÷7＝288…3，即可求解．
【解答】解：由已知点的坐标可知点的运动路线7个一组循环，
点的横坐标分别为0，1，﹣1，纵坐标1，2，3，…，
∵2021÷7＝288…3，
∴第2021 次运动点的横坐标为1，纵坐标为289，
∴A2021（1，289），
故选：C．
【点评】本题考查点的坐标；能够根据点的坐标，通过画出点的运动轨迹，寻找到点的坐标规律是解题的关键．
10．（2021秋•罗湖区校级期中）已知点A（﹣2，1），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，由此得点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0）B．（﹣，0）C．（﹣1，0）D．（1，0）
【考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】根据题意画出坐标系，在坐标系内找出A、B两点，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，求出P点坐标即可．
【解答】解：如图所示，
作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P点即为所求点．
∵A（﹣2，1），
∴A′（﹣2，﹣1），
设直线A′B的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝x+1，
∴当y＝0时，x＝﹣1，即P（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
11．（2021秋•罗湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的等边△AOB的顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，3）
【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出AD与OD的长度，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，如图所示：
∵△AOB是等边三角形，AD⊥OB，
∴OB＝OA＝6，OD＝OB＝2，
由勾股定理可知：AD＝＝＝3，
∴A（﹣3，3）
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、坐标与图形性质、勾股定理，解题的关键是作出OB边上的高，求出AD与OD的长度，属于中考常考题型．
12．（2021秋•罗湖区校级期中）一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法：
①A、B两地相距60千米：
②出发1小时，货车与小汽车相遇；
③小汽车的速度是货车速度的2倍；
④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了60千米；
⑤出发2小时，小货车离终点还有80千米，其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
A、B两地相距120千米，故①错误；
出发1小时，货车与小汽车相遇，故②正确；
小汽车的速度是120÷1.5＝80（千米/小时），货车的速度为：120÷3＝40（千米/小时），即小汽车的速度是货车速度的80÷40＝2倍，故③正确；
出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（80﹣40）×1.5＝60（千米），故④正确；
出发2小时，小货车离终点还有120﹣40×2＝40（千米），故⑤错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共4小题）
13．（2021秋•罗湖区校级期中）一个正数a的平方根是3x+2与5x+6，则这个正数a是 1 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【解答】解：∵3x+2和5x+6是一个正数a的平方根，
∴3x+2+5x+6＝0．
解得：x＝﹣1，
（3x+2）2＝（﹣3+2）2＝1，
∴这个正数a是1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
14．（2021秋•福田区校级期中）一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象必经过的点的坐标为 （0，﹣2） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】代入x＝0求出y值，进而可得出一次函数图象必过的点的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝kx﹣2＝﹣2，
∴一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象必经过点（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入x＝0求出y值是解题的关键．
15．（2021秋•南山区校级期中）已知是方程组的解，则a+b的值为 3 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x与y的值代入方程组求出a+b的值即可．
【解答】解：把代入方程组得：，
①+②得：3（a+b）＝9，
则a+b＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
16．（2021秋•罗湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是 217 ．
【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】规律型；一次函数及其应用．
【分析】根据OA1＝1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1＝1，
∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝1，B1A2＝，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3＝2，
∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B10的坐标是（29，29）．
∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．
故答案为217．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•福田区校级期中）计算：
（1）
（2）
（3）
【考点】平方差公式；零指数幂；二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）利用绝对值、零指数幂的意义计算；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣﹣1+2
＝4+1；
（2）原式＝3×（）
＝15×
＝15；
（3）原式＝7﹣5+（6+2﹣4）÷
＝2+﹣4
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（2021秋•罗湖区校级期中）计算下列各题
（1）（+1）（﹣1）﹣+（﹣π）0．
（2）（﹣）2+2×3﹣（﹣2）2．
【考点】实数的运算；平方差公式；零指数幂．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【分析】（1）先根据平方差公式，立方根，零指数幂进行计算，再算加减即可；
（2）先根据完全平方公式，二次根式的乘法和二次根式的性质进行计算，再求出即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣1+3+1
＝8；
（2）原式＝2﹣2+3+6﹣8
＝2﹣2+3+2﹣8
＝﹣3．
【点评】本题考查了平方差公式，立方根，零指数幂，完全平方公式，实数的混合运算，二次根式的混合运算，二次根式的乘法和二次根式的性质等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
19．（2021秋•福田区校级期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①×2+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
②﹣①得：9x＝9，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元方法与加减消元法．
20．（2021秋•罗湖区校级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“2属派生点”P′的坐标为 （4，﹣1） ；
（2）若点P的“4属派生点”P′的坐标为（2，﹣7），求点P的坐标；
（3）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，求k的值．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】新定义；平面直角坐标系；运算能力．
【分析】（1）由定义可列出P'坐标满足的关系式为：﹣2+2×3＝4，2×（﹣2）+3＝﹣1；
（2）设P（a，b），由定义可得2＝a+4b，﹣7＝4a+b，求出a与b即可；
（3）由已知可设P（0，b），则点P的“k属派生点”P′点为（kb，b），再由题意可得|kb|＝3|b|，即可求k的值．
【解答】解：（1）由定义可知：
﹣2+2×3＝4，2×（﹣2）+3＝﹣1，
∴P′的坐标为（4，﹣1），
故答案为（4，﹣1）；
（2）设P（a，b），
∴2＝a+4b，﹣7＝4a+b，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴P（﹣2，1）；
（3）∵点P在y轴的正半轴上，
∴P点的横坐标为0，
设P（0，b），
则点P的“k属派生点”P′点为（kb，b），
∴PP'＝|kb|，PO＝|b|，
∵线段PP′的长度为线段OP长度的3倍，
∴|kb|＝3|b|，
∴k＝±3．
【点评】本题考查坐标与图形的性质；理解定义，能够根据定义求出“k属派生点”的坐标是解题的关键．
21．（2021秋•福田区校级期中）如图①，A、B、C三地依次在一直线上，两辆汽车甲、乙分别从A、B两地同时出发驶向C地，如图②，是两辆汽车行驶过程中到B地的距离s（km）与行驶时间t（h）的关系图象，其中折线段EF﹣FG是甲车的图象，线段OM是乙车的图象．
（1）图②中，a的值为 240 ；点M的坐标为 （4，240） ；
（2）当甲车在乙车与B地的中点位置时，求行驶的时间t的值．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）先求出直线EF的解析式，进而求出点N的坐标，再根据点N的坐标求出直线OM的解析式，进而求出直线FG的解析式，即可得出a的值；
（2）根据行驶的路程与行驶时间的关系列式求解即可．
【解答】解：（1）设EF的解析式为y＝k1x+150，
因为直线EF经过（2.5，0），所以2.5k1+150＝0，解得k1＝﹣60，
所以EF的解析式为y＝﹣60x+150；
因为点N在EF上，所以点N的纵坐标为：﹣60×1.25+150＝75，
因为点N的坐标为（1.25，75）；
设直线OM的解析式为y＝k2x，因为直线OM经过点N，所以1.25k2＝75，解得k2＝60，
所以直线OM的解析式为y＝60x，
所以直线FG的解析式为y＝60x﹣150，
所以点G的纵坐标，即a＝60×6.5﹣150＝240，
所以点M的横坐标为240÷60＝4，即点M的坐标为（4，240）．
故答案为：240；（4，240）；
（2）此时甲车运动到BC中点，所以时间为（150+240÷2）÷60＝4.5（h）．
【点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
22．（2021秋•福田区校级期中）某兴趣小组观察下雨天学校池塘水面高度h（单位：cm）与观察时间t（单位：min）的关系，并根据当天观察数据画出了如图所示的图象，请你结合图象回答下列问题：
（1）求线段BC的表达式；
（2）试求出池塘原有水面的高度．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得线段BC的表达式；
（2）根据（1）中的函数表达式可以得到点B的坐标，从而可以求得AB对应的函数解析式，进而求得点A的坐标，点A的纵坐标就是池塘原有水面的高度．
【解答】解：（1）设线段BC对应的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即线段BC的表达式是y＝4x﹣15；
（2）当x＝6时，y＝4×6﹣15＝9，
则点B的坐标为（6，9），
设线段AB对应的函数解析式为y＝cx+d，
，
解得，
即线段AB对应的函数解析式为y＝x+7，
当x＝7时，y＝7，
即点A的坐标为（0，7），
即池塘原有水面的高度7cm．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．（2021秋•罗湖区校级期中）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，3）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝3，CE＝4，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值．
【解答】解：（1）把C（m，3）代入一次函数y＝﹣x+5，可得
3＝﹣m+5，
解得m＝4，
∴C（4，3），
设l2的解析式为y＝ax，则3＝4a，
解得a＝，
∴l2的解析式为y＝x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝3，CE＝4，
针对于y＝﹣x+5，
令x＝0，则y＝5；
令y＝0，则x＝10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO＝10，BO＝5，
∴S△AOC﹣S△BOC＝×10×3﹣×5×4＝15﹣10＝5．
【点评】本题主要考查了一次函数中两条直线的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
24．（2021秋•福田区校级期中）图形的变换趣味无穷，如图1，在平面直角坐标系中，线段l位于第二象限，A（a，b）是线段l上一点，对于线段我们也可以做一些变换；
（1）如图2，将线段l以y轴为对称轴作轴对称变换得到线段l1，若点A（﹣2，3），则点A（﹣2，3）关于y轴对称的点A1的坐标是 （2，3） ．
（2）如图3，将线段l绕坐标原点O顺时针方向旋转90°得到线段l2，则点A（a，b）的对应点A3的坐标是什么？并说明理由．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣旋转变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到点A（﹣2，3）关于y轴对称的点A1的坐标；
（2）过A作AB⊥x轴于B，过A3作A3C⊥x轴于C，连接OA，OA3，依据△BAO≌△A3OC，即可得到OB＝A3C＝|a|，BA＝CO＝|b|，进而得出A3（b，﹣a）．
【解答】解：（1）点A（﹣2，3）关于y轴对称的点A1的坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）；
（2）点A（a，b）的对应点A3的坐标是（b，﹣a），
证明：如图3，过A作AB⊥x轴于B，过A3作A3C⊥x轴于C，连接OA，OA3，
∵线段l绕点O旋转90°，
∴OA⊥OA3，OA＝OA3，
∴∠AOB+∠BAO＝∠AOB+∠A3OC＝90°，
∴∠BAO＝∠A3OC，
∴△BAO≌△A3OC（AAS），
∴OB＝A3C＝|a|，BA＝CO＝|b|，
∴A3（b，﹣a）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，解决问题的关键是掌握轴对称的性质以及旋转变换的性质．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
9．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
10．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
11．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
12．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
13．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
14．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
15．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
16．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
17．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
18．一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程．
19．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
20．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
21．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
22．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
23．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
24．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
25．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．