2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷1

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2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•西湖区校级期中）下列是一元一次不等式的是（　　）
A．2x＞1 B．x﹣2＜y﹣2 C．2＜3 D．x2＜9
2．（2021秋•拱墅区期中）有下列命题中是真命题的为（　　）
A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
B．三边长为，，的三角形为直角三角形
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
3．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC中，DG，AF，EH均为斜边中线，则以DG，AF，EH为边构成的三角形是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．（2021秋•西湖区校级期中）已知三角形两边为3cm和5cm，则使三角形周长为偶数的第三边长可能为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021秋•拱墅区期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝﹣ax﹣x+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
8．（2021秋•江干区校级期中）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
9．（2021秋•江干区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）

A．3 B．5 C． D．6
10．（2021秋•拱墅区期中）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　）

A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE交于点F，∠A＝60°，CF＝4，EF＝1，则BD的长度为 　 　．

12．（2021秋•江干区校级期中）已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是　 　，该逆命题是　 　命题．（“真”、“假”）．
13．（2021秋•余杭区期中）已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是　 　．
14．（2021秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，CB＝CA，点D在AB上，若BD＝BC，AD＝CD，则∠ACB＝　 　．

15．（2021秋•萧山区期中）等腰三角形的一个角为42°，则它的顶角的度数为　 　．
16．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是线段BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连接CE．
（1）若CD＝2时，CE＝　 　；
（2）设BD＝a，当△EDC的面积最大时，a＝　 　．

三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图，作出△ABC的角平分线BD；（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法）
（2）若AB＝6，CD＝2，求△ABD的面积．

18．（2021秋•西湖区校级期中）已知等腰三角形ABC．
（1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；
（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的腰长．
19．（2021秋•江干区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠EAF＝45°，求∠ADC的度数．

20．（2021秋•西湖区校级期中）如图1，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．

（1）求证：CD＝BE；
（2）如图2，若∠EAD＝60°，点H为AE的中点，求∠BFD的大小；
（3）在（2）的条件下，CD垂直平分AE于H，连接BD，设AD＝m，CD＝n，BD＝p，猜想m，n，p满足的关系式，并证明．
21．（2021秋•拱墅区期中）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．

22．（2021秋•江干区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．
（1）BC边上的高为　 　；AB边上的高为　 　．
（2）当CP⊥AB时，求t的值；
（3）若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．

23．（2021秋•下城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）当D在线段BC上时，
①求证：△BAD≌△CAE．
②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．
（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数．

24．（2021秋•萧山区期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连接AC，CE．
（1）已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．


2021-2022学年上学期杭州市初中数学八年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•西湖区校级期中）下列是一元一次不等式的是（　　）
A．2x＞1 B．x﹣2＜y﹣2 C．2＜3 D．x2＜9
【考点】一元一次不等式的定义．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；符号意识．
【分析】利用一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：A、是一元一次不等式，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
C、不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、未知数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2．（2021秋•拱墅区期中）有下列命题中是真命题的为（　　）
A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
B．三边长为，，的三角形为直角三角形
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据锐角三角形的概念、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：A、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，本选项说法是假命题；
B、∵（）2+（）2＝3+4＝7，（）2＝5，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，本选项说法是假命题；
C、等腰三角形的底边上的高、底边的中线、顶角平分线互相重合，本选项说法是假命题；
D、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC中，DG，AF，EH均为斜边中线，则以DG，AF，EH为边构成的三角形是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半，可得出DG＝AB，EH＝AC，AF＝BC，在Rt△ABC中利用勾股定理可得出BC2＝AB2+AC2，进而可得出（BC）2＝（AB）2+（AC）2，即AF2＝DG2+EH2，再利用勾股定理的逆定理可找出以DG，AF，EH为边构成的三角形是直角三角形．
【解答】解：在Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC中，DG，AF，EH均为斜边中线，
∴DG＝AB，EH＝AC，AF＝BC．
∵△ABC为直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴（BC）2＝（AB）2+（AC）2，即AF2＝DG2+EH2，
∴以DG，AF，EH为边构成的三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理，找出AF2＝DG2+EH2是解题的关键．
4．（2021秋•西湖区校级期中）已知三角形两边为3cm和5cm，则使三角形周长为偶数的第三边长可能为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】可先求出第三边的取值范围．再根据5+3为偶数，周长也为偶数，可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．
【解答】解：设第三边长为x，
则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
又x为偶数，因此x＝4或6．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系和特殊解．注意：偶数加偶数为偶数，偶数加奇数为奇数．
5．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝108°，得∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，易求∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，进而可求∠AED＝∠BAE＝72°，从而可判断△ABD、△ADC、△ABE、△ADE、△AEC是等腰三角形．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AD＝AE，
∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EAC＝∠C，
∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，
∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，
同理：△CAD是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数为6个，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，解题的关键是求出每个角的度数．
6．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连接BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ABC，由E是AD的中点，得出△ABE的面积＝△DBE的面积＝△ABC的面积，进而得出△BCE的面积＝△ABC的面积，再利用CF＝2EF，求出△BEF的面积．
【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ABC＝6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积＝△DBE的面积＝△ABC的面积＝3，
△ACE的面积＝△DCE的面积＝△ABC的面积＝3，
∴△BCE的面积＝△ABC的面积＝6，
∵CF＝2EF，
∴△BEF的面积＝×6＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角形面积的关系．
7．（2021秋•拱墅区期中）若点（x1，y1）、（x2，y2）是一次函数y＝﹣ax﹣x+2图象上不同的两点，记m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），当m＜0时，a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】根据一次函数的性质知，当k＜0时，判断出y随x的增大而减小．
【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝﹣ax﹣x+2＝（﹣a﹣1）x+2图象上的不同的两点，m＝（x1﹣x2）（ y1﹣y2）＜0，
∴该函数图象是y随x的增大而减小，
∴﹣a﹣1＜0，
解得 a＞﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是要根据函数的增减性进行推理．
8．（2021秋•江干区校级期中）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，由∠DCB＝∠EBC，所以∠ABE＝∠ACD，根据ASA可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
B、由∠ADC＝∠AEB，根据AAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
C、由AD＝AE，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
D、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（2021秋•江干区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）

A．3 B．5 C． D．6
【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DE，如图所示，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．（2021秋•拱墅区期中）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　）

A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】阅读型；应用意识．
【分析】在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB＝b，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】解：要想求AD的长，仅需知道BC和BD的长，理由是：
如图4，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵
∴△DEB≌△DCB（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝a，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝a，
∵BD＝DF＝b，
∴AD＝AF+DF＝a+b．
故选：A．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE交于点F，∠A＝60°，CF＝4，EF＝1，则BD的长度为 　4　．

【考点】三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠AEC＝∠CDB＝∠BEC＝90°，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∠ACE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝∠CDB＝∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∠ACE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝1，∠ABD＝30°，
∴BF＝2EF＝2，
在Rt△CDF中，CF＝4，∠ACE＝30°，
∴DF＝CF＝2，
∴BD＝BF+DF＝2+2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
12．（2021秋•江干区校级期中）已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”，它的逆命题是　如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形　，该逆命题是　真　命题．（“真”、“假”）．
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等腰三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是“如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形；真．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．（2021秋•余杭区期中）已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是　4或5　．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意得出两种情况，求出斜边，即可得出答案．
【解答】解：分为两种情况：当6和8都是直角边时，斜边为＝10，
则该直角三角形斜边上的中线长为；
当6为直角边，8为斜边时，
则此时该直角三角形斜边上的中线长是＝4；
故答案为：4或5．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的应用，能求出符合条件的所以情况是解此题的关键．
14．（2021秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，CB＝CA，点D在AB上，若BD＝BC，AD＝CD，则∠ACB＝　108°　．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】设∠A＝x°，然后利用等边对等角表示出各个角的度数，然后利用三角形内角和定理求得x的值后即可求得答案．
【解答】解：设∠A＝x°，
∵CA＝CB，DA＝DC，
∴∠B＝∠A＝∠ACD＝x°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠CDB＝2x°，
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，
∴x+x+2x+x＝180，
∴x＝36°，
∴∠ACB＝3x°＝108°，
故答案为：108°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，了解等边对等角的性质是解答本题的关键，难度不大．
15．（2021秋•萧山区期中）等腰三角形的一个角为42°，则它的顶角的度数为　42°或96°　．
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】等腰三角形两底角相等且内角和为180°，这个42°的角是底角或者顶角，分两种情况讨论即可．
【解答】解：该题分两种情况讨论
①42°的角为顶角时，顶角的度数是42°，
②42°的角为底角，顶角为180°﹣42°×2＝96°，
故答案为：42°或96°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，内角和为180°且两底角相等；分类讨论思想的应用是正确解答本题的关键．
16．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是线段BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连接CE．
（1）若CD＝2时，CE＝　4　；
（2）设BD＝a，当△EDC的面积最大时，a＝　3　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）先证明△CAE≌△BAD（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出答案；
（2）过E作EF⊥BC于F，先由全等三角形的性质得CE＝BD＝a，∠ACE＝∠ABD＝60°，则CD＝6﹣a，∠ECF＝60°，得∠CEF＝90°﹣60°＝30°，再由直角三角形的性质得CF＝CE＝a，EF＝CF＝a，然后由三角形面积公式得△EDC的面积＝﹣（a﹣3）2+，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴CE＝BD，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4，
∴CE＝4，
故答案为：4；
（2）过E作EF⊥BC于F，如图所示：
则∠EFC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
由（1）得：△CAE≌△BAD，
∴CE＝BD＝a，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴CD＝6﹣a，∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CEF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CE＝a，EF＝CF＝a，
∴△EDC的面积＝CD×EF＝（6﹣a）×a＝a（6﹣a）＝﹣（a﹣3）2+，
∴当a＝3时，△EDC的面积最大＝，
故答案为：3．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图，作出△ABC的角平分线BD；（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法）
（2）若AB＝6，CD＝2，求△ABD的面积．

【考点】角平分线的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用基本作图作BD平分∠BAC；
（2）作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）如图，BD为所作；

（2）作DE⊥AB于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×6×2＝6．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
18．（2021秋•西湖区校级期中）已知等腰三角形ABC．
（1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；
（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的腰长．
【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】（1）因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
（2）已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论：x+x＝9或x+x＝18．
【解答】解：（1）当2为底时，三角形的三边为3，2，3，可以构成三角形，周长为：3+2+3＝8；
当3为底时，三角形的三边为3，2，2，可以构成三角形，周长为：3+2+2＝7．
△ABC的周长为8或7．
（2）设三角形的腰为x，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9或AB+AD＝18，分下面两种情况解．
a：x+x＝9，
∴x＝6，
∴三边长分别为6，6，15，
∵6+6＜15，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
b：x+x＝18，
∴x＝12，
∴三边长分别为12，12，3．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为12．

【点评】要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
19．（2021秋•江干区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠EAF＝45°，求∠ADC的度数．

【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BD，CE＝BD，那么AE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF⊥AC；
（2）以E为圆心，BE长为半径画圆，根据∠BAD＝∠BCD＝90°可得A、B、C、D四点共圆，且直径是BD，E为圆心，再利用圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：（1）EF⊥AC．
理由：连接AE，CE．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
又∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC．

（2）方法一：如图1：
以E为圆心，BE长为半径画圆，
∵∠BAD+∠DCB＝90°+90°＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，且直径是BD，E为圆心，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAC+∠DAE＝45°，
∵AE＝DE，
∴∠ADB＝∠EAD，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝∠BAC+∠EAD＝45°．

方法二：如图2，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD，AC的中点，
∴AE＝BE＝DE＝CE，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠CDB，∠FAE＝∠FCE＝45°，
设∠2＝∠3＝x，∠1＝∠CDB＝y，
∴∠4＝2y，∠AEB＝2x，
∴2x+2y＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠ADC＝x+y＝∠ADB+∠BDC＝45°．

【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质，圆周角定理，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
20．（2021秋•西湖区校级期中）如图1，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．

（1）求证：CD＝BE；
（2）如图2，若∠EAD＝60°，点H为AE的中点，求∠BFD的大小；
（3）在（2）的条件下，CD垂直平分AE于H，连接BD，设AD＝m，CD＝n，BD＝p，猜想m，n，p满足的关系式，并证明．
【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据∠DAE＝∠BAC得到∠CAD＝∠BAE，利用SAS定理证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到△ADE为等边三角形，根据等腰三角形三线合一得到∠ADH＝∠EDH＝30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（3）根据勾股定理得到BE2+DE2＝BD2，根据全等三角形的性质得到BE＝CD，等量代换得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠CAD＝∠BAE，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴CD＝BE；
（2）解：∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∵点H为AE的中点，
∴∠ADH＝∠EDH＝∠ADE＝30°，
∵△BAE≌△CAD，
∴∠AEB＝∠ADC＝30°，
∴∠BFD＝∠BED+∠EDH＝120°；
（3）解：m2+n2＝p2，
证明如下：由（2）可知，∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD，
∵△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD，
∴CD2+AD2＝BD2，即m2+n2＝p2．

【点评】本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（2021秋•拱墅区期中）从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．
（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km求出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的时间，下坡所用的时间，那么小明在乙地休息的时间＝1h﹣小明上坡所用的时间0.2h﹣平路上所用的时间﹣下坡所用的时间；
（2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：yAB＝6.5﹣10x，线段EF所对应的函数关系式为yEF＝4.5+20（x﹣0.9），即可解答；
（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，求出a的值，即可解答．
【解答】解：（1）小冲骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h），
平路上的速度为：10+5＝15（km/h）；
下坡的速度为：15+5＝20（km/h），
平路上所用的时间为：2（4.5÷15）＝0.6h，
下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h
所以小冲在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）；
（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，
所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，
即yAB＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．
线段EF所对应的函数关系式为yEF＝4.5+20（x﹣0.9）．
即yEF＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）；
（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，
设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地，
6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，
解得：a＝．
×10＝1（千米）．
答：丙地与甲地之间的距离为1千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题数量关系的运用，一次函数解析式的确定，一元一次方程的运用．解决本题的关键是读懂函数图象，求出一次函数的解析式．
22．（2021秋•江干区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．
（1）BC边上的高为　8cm　；AB边上的高为　9.6cm　．
（2）当CP⊥AB时，求t的值；
（3）若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BD求解即可．
（2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得AP＝AD，求出AD即可解决问题．
（3）分三种情形：①CA＝CP．②CA＝AP，③AP＝PC，由等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可．
【解答】（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝6（cm），
∴AH＝＝＝8（cm），
∵S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BD，
∴BD＝＝＝9.6（cm）．
∴BC边上的高为8cm．
故答案为：8cm，9.6cm；

（2）证明：如图2中，

∵CP⊥AB，BD⊥AC，
∴∠APC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，AB＝AC，
∴△ACP≌△ABD（AAS），
∴AD＝＝＝，
∴t＝＝．

（3）解：分三种情况：①如图3，当CA＝CP时，点P在AB上，

过点C作CE⊥AP于点E，
∵AC＝CP，
∴AE＝PE，
由（2）可知，AD＝AE＝，
∴AP+AC＝10+＝，
∴t＝＝3.9．
当CA＝CP＝10时，点P在BC上，
∴AP+AC＝12+10＝22，
∴t＝；
②如图4，当PA＝PC时，点P与点B重合，

∵PA＝AC＝10cm，
∴t＝＝5，
③如图5，当AP＝PC时，点P在BC上，过点A作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝6，
由（1）可知：AH＝8，
∵点P在BC上，
∴PC＝32﹣4t，
∴PH＝32﹣4t﹣6＝26﹣4t，
∴（26﹣4t）2+82＝（32﹣4t）2，
∴t＝．
综上所述，满足条件的t的值为3.9或或5或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
23．（2021秋•下城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）当D在线段BC上时，
①求证：△BAD≌△CAE．
②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．
（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）①根据SAS可证△BAD≌△CAE；
②D运动到BC中点时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上，画出四种图形，如图，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】证明：（1）①∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
②如图，连接DE，

若AC⊥DE，
又∵AD＝AE，
∴AC平分∠DAE，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，
∴AD平分∠CAB，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；
（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
①如图1：此时∠BAD＝26°，

∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°．
②如图2，此时∠ADB＝26°，

③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°．

④如图4，此时∠ADB＝26°．

综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想．
24．（2021秋•萧山区期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连接AC，CE．
（1）已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．

【考点】二次根式的应用；勾股定理的应用；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝8，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝4，ED＝2，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形和直角三角形的性质可知AE的值就是代数式 的最小值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC+CE＝+＝；
（2）如图1所示：C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD．

在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝＝＝13．
（3）如图2所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝4，ED＝2，DB＝8，连接AE交BD于点C．

∵AE＝AC+CE＝，
∴AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝4，AF＝BD＝8．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝＝＝10．
【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键．

考点卡片
1．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
2．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
7．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
14．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
17．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
20．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
21．三角形综合题
三角形综合题．
22．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
24．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．