2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷2，共51页。
2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷2
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•海淀区校级期中）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021秋•朝阳区期中）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝AD＝5.2km，CB＝CD＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）

A．3km B．4km C．5km D．5.2km
3．（2021秋•东城区校级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣2）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
4．（2021秋•西城区校级期中）如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是（　　）

A．38° B．48° C．62° D．70°
5．（2021秋•海淀区校级期中）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（　　）

A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
6．（2021秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（　　）

A．（3，5） B．（6，6） C．（3，3） D．（3，6）
7．（2021秋•昌平区校级期中）已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（　　）
A．22 B．23 C．21 D．24
8．（2021秋•海淀区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F．下列结论不一定成立的是（　　）

A．AF＝DF B．∠BAF＝∠ACF
C．BF⊥AC D．S△ABD：S△ACD＝AB：AC
9．（2021秋•昌平区校级期中）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，面积为1的是（　　）

A．②③ B．①③ C．①②③ D．④
10．（2021秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC＝5，DB＝DC，若∠ABC为60°，则BE长为（　　）

A．5 B．3 C．2.5 D．2
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是　 　．

12．（2021秋•西城区校级期中）若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为　 　．
13．（2021秋•西城区校级期中）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是　 　．
14．（2021秋•朝阳区期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①DF＝EF；
②∠EFD＝90°；
③∠CDF＝∠BEF；
④四边形CDFE的面积是△ABC面积的一半；
⑤△DEF面积保持不变．
其中正确的结论是　 　．

15．（2021秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE是AB的垂直平分线，若BE+CE＝12，BC＝8，则△ABC的周长为　 　．

16．（2021秋•海淀区校级期中）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：　 　．（写出一个即可）

17．（2021秋•海淀区校级期中）如图等腰△ABC中，AB＝AC，M为其底角平分线的交点，将△BCM沿CM折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA＝DM，则∠ABC的度数为　 　．

18．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是　 　．

19．（2021秋•海淀区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠CBE＝30°，若以C为圆心，CB长为半径画圆交BE延长线于F，且EF＝6，则BF＝　 　．

20．（2021秋•海淀区校级期中）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：
①存在无数个△MNP是等腰三角形；
②存在无数个△MNP是等边三角形；
③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；
④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．
所有正确结论的序号是　 　．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•海淀区校级期中）已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AE＝CF．

22．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，直角△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°．过点B做射线BD⊥AB于B，点P为BC边上任一点，在射线BD上取一点Q，使得PQ＝AP．

（1）请依题意补全图形；
（2）试判断AP和PQ的位置关系并加以证明．
23．（2021秋•昌平区校级期中）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

24．（2020秋•西城区校级期中）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是射线CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD，DF交EM延长线于点F．

（1）如图1，当点E在CA上时，填空：AD　 　DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD与DF的数量关系，并证明你的结论．
25．（2021秋•海淀区校级期中）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．

26．（2021秋•西城区校级期中）在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：
（1）例如，当∠B是锐角时，如图1，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，用尺规画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是　 　；
A．全等 B．不全等 C．不一定全等
我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的．
（2）例如，已知：如图2，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．

27．（2021秋•海淀区校级期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE＝AB，AF⊥AC，AF＝AC，连接EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．

28．（2021秋•西城区校级期中）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．我们发现利用SSS证明两个三角形全等，从而证明∠AOC＝∠BOC．学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法．

方法如下：如图1，将两个全等的三角形纸片△DEF和△MNL的一组对应边分别与∠AOB的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB的另一条边上，则△DEF和△MNL的另一组对应边的交点P在∠AOB的平分线上．

（1）小慧的做法正确吗？说明理由．
小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线．（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中∠QRS的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
29．（2021秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．
（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？
（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

30．（2021秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．
（1）请你在图中补全图形；
（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；
（3）连接CF，求证：DF＝CF．


2021-2022学年上学期北京市初中数学八年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•海淀区校级期中）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2021秋•朝阳区期中）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝AD＝5.2km，CB＝CD＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（　　）

A．3km B．4km C．5km D．5.2km
【考点】全等三角形的应用；角平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】利用已知得出△ADC≌△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．
【解答】解：连接AC，
在△ADC和△ABC中
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．
故选：B．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，得出△ADC≌△ABC（SSS）是解题关键．
3．（2021秋•东城区校级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣2）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣2）+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
4．（2021秋•西城区校级期中）如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是（　　）

A．38° B．48° C．62° D．70°
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；运算能力．
【分析】用△ABC≌△ECD求出∠ACB＝∠D＝62°，再根据三角形内角和可求出结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，
∴∠ACB＝∠D＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
5．（2021秋•海淀区校级期中）如图的方格纸中有若干个点，若AB两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（　　）

A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【考点】轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：AB两点关于过点P3的直线对称．
故选：C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
6．（2021秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等．则点P的坐标为（　　）

A．（3，5） B．（6，6） C．（3，3） D．（3，6）
【考点】坐标与图形性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，
∵点P到∠xOy的两边距离相等，
∴点P的坐标为（3，3）
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．（2021秋•昌平区校级期中）已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（　　）
A．22 B．23 C．21 D．24
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】根据勾股定理求出斜边长，再根据三角形的周长定义计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，此三角形的斜边长＝＝10，
∴此三角形的周长＝6+8+10＝24．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
8．（2021秋•海淀区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F．下列结论不一定成立的是（　　）

A．AF＝DF B．∠BAF＝∠ACF
C．BF⊥AC D．S△ABD：S△ACD＝AB：AC
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：A、∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
故选项A不符合题意；
B、∵AF＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DAF＝∠CAD+∠CAF，
∠ADF＝∠BAD+∠B，
∴∠B＝∠CAF，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF，∠ACF＝∠BAC+∠B，
∴∠BAF＝∠ACF，
故选项B不符合题意；
C、根据已知不能得出BF⊥AC，
故选项C符合题意；
D、∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．（2021秋•昌平区校级期中）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，面积为1的是（　　）

A．②③ B．①③ C．①②③ D．④
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】分别求出四个阴影三角形的面积，即可得出答案．
【解答】解：①阴影三角形＝×1×1＝；
②阴影三角形＝×2×1＝1；
③阴影三角形＝×1×2＝1；
④阴影三角形＝×2×2＝2；
则四个阴影三角形中，面积为1的是②③；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形面积；熟练掌握正方形的性质和三角形面积公式是解题的关键．
10．（2021秋•海淀区校级期中）如图，AB＝AC＝5，DB＝DC，若∠ABC为60°，则BE长为（　　）

A．5 B．3 C．2.5 D．2
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE＝BC．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝5，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝2.5．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•西城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是　7　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题．
【解答】解：作BF⊥AC于点F，如右图所示，
∵在△ABC中，AB＝14，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，∠BFA＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BF，
∴BF＝7，
∵AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB的动点，F
∴BD+DE的最小值是BF，
∴BD+DE＝7，
故答案为：7．

【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．（2021秋•西城区校级期中）若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为　30°　．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴120°只能是等腰三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理，掌握定理的应用，注意分类讨论思想的应用．
13．（2021秋•西城区校级期中）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是　1＜AD＜4　．
【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．
【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE＝AB，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
而AB＝3，AC＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
即1＜AD＜4．

【点评】此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
14．（2021秋•朝阳区期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①DF＝EF；
②∠EFD＝90°；
③∠CDF＝∠BEF；
④四边形CDFE的面积是△ABC面积的一半；
⑤△DEF面积保持不变．
其中正确的结论是　①②③④　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CEF，可得EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，∠ADF＝∠CEF，依次判断可求解．
【解答】解：连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，F是AB边上的中点，
∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB；
又∵AD＝CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD，∠ADF＝∠CEF，故①正确；
∵∠AFD+∠CFD＝90°，
∴∠CFE+∠CFD＝∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°，故②正确；
∵∠ADF＝∠CEF，
∴∠CDF＝∠BEF，故③正确；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△ADF＝S△CEF，
∵四边形CDFE的面积＝S△CDF+S△CEF＝S△CDF+S△ADF＝S△ACF，
∴四边形CDFE的面积＝S△ACB，故④正确；
∵△DEF面积＝×DF×EF＝DF2，点D在AC上运动，
∴△DEF面积不确定．故⑤错误；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ADF≌△CEF是本题的关键．
15．（2021秋•朝阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE是AB的垂直平分线，若BE+CE＝12，BC＝8，则△ABC的周长为　32　．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出AE＝BE，再通过等量代换求出AC的长，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵BE+CE＝12，
∴AE+CE＝12，
∴AC＝12，
∵AB＝AC，
∴AB＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+12+8＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出AC的长，这也是此题的突破点．
16．（2021秋•海淀区校级期中）如图，已知AE平分∠BAC，点D是AE上一点，连接BD，CD．请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD．添加的条件是：　AB＝AC（答案不唯一）　．（写出一个即可）

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】根据角平分线定义推出∠BAD＝∠CAD，进而利用全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
添加AB＝AC，
利用SAS可得△ABD≌△ACD，
添加∠B＝∠C，
利用AAS可得△ABD≌△ACD，
添加∠ADB＝∠ADC，
利用ASA可得△ABD≌△ACD，
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
17．（2021秋•海淀区校级期中）如图等腰△ABC中，AB＝AC，M为其底角平分线的交点，将△BCM沿CM折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA＝DM，则∠ABC的度数为　72°　．

【考点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，设∠A＝2x，则∠DAM＝x，∠MBC＝∠MCB＝45°﹣x，根据折叠的性质得到∠MDC＝∠MBC＝45°﹣x，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵M为其底角平分线的交点，
∴AM平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
设∠A＝2x，则∠DAM＝x，∠MBC＝∠MCB＝45°﹣x，
∵DA＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
由折叠的性质可得：∠MDC＝∠MBC＝45°﹣x，
则∠ADM＝180°﹣∠MDC＝135°+x，
在△ADM中，∠DAM+∠DMA+∠ADM＝180°，即x+x+135°+x＝180°，
解得：x＝18°，
则∠A＝2x＝36°．
∴∠ABC＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键熟练掌握三角形的内角和定理，难度一般．
18．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，如果AB＝8，BC＝10，则△ABC的面积是　20　．

【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出AD，进而利用三角形面积公式解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：20
【点评】此题考查含30°角的直角三角形，关键是根据含30°的直角三角形的性质得出AD＝4解答．
19．（2021秋•海淀区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠CBE＝30°，若以C为圆心，CB长为半径画圆交BE延长线于F，且EF＝6，则BF＝　9　．

【考点】等腰三角形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，∠ADB＝90°，设BD＝CD＝x，则BC＝2x，求得CF＝BC＝2x，根据直角三角形的性质得到BE＝x，求得BF＝6+x，过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝90°，
设BD＝CD＝x，则BC＝2x，
∴CF＝BC＝2x，
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝x，
∵EF＝6，
∴BF＝6+x，
过C作CH⊥BF于H，
∴BF＝2BH＝2FH，
∴BH＝3+x，CH＝BC＝x，
∵BH2+CH2＝BC2，
∴（3+x）2+x2＝（2x）2，
解得：x＝（负值舍去），
∴BF＝6+x＝9，
故答案为：9．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2021秋•海淀区校级期中）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：
①存在无数个△MNP是等腰三角形；
②存在无数个△MNP是等边三角形；
③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；
④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．
所有正确结论的序号是　①②③　．
【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】利用图象法，画出图形判定即可解决问题．
【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．

如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．

故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值．
故答案为①②③．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•海淀区校级期中）已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AE＝CF．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等．
【分析】由平行线性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF＝CE，即可得结论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，且∠B＝∠D，DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴AF＝CE
∴AF﹣EF＝CE﹣EF
∴AE＝CF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
22．（2021秋•西城区校级期中）已知：如图，直角△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°．过点B做射线BD⊥AB于B，点P为BC边上任一点，在射线BD上取一点Q，使得PQ＝AP．

（1）请依题意补全图形；
（2）试判断AP和PQ的位置关系并加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）作QM⊥CB，交CB延长线于点M，证BM＝QM后设CP＝a，PB＝b，BM＝QM＝m，知AC＝BC＝a+b，根据AP＝PQ得（a+b）2+a2＝（b+m）2+m2，整理、变形可得a＝m，即CP＝QM，继而可证Rt△ACP≌Rt△PMQ，从而易得答案．
【解答】解：（1）点P、Q即为所求作的点；


（2）AP和PQ的位置关系是垂直．
过点Q作QM⊥CB，交CB延长线于点M，
则∠C＝∠QMP＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
又∵∠ABD＝90°，
∴∠QBM＝45°，
∴BM＝QM，
设CP＝a，PB＝b，BM＝QM＝m，
则AC＝BC＝a+b，
∵AP＝PQ，
∴（a+b）2+a2＝（b+m）2+m2，
整理，得：a2﹣m2＝mb﹣ab
因式分解可得（a﹣m）（a+b+m）＝0，
∵a+b+m≠0，
∴a﹣m＝0，即a＝m，
∴CP＝QM，
∴Rt△ACP≌Rt△PMQ（HL），
∴∠QPM＝∠PAC，
∵∠PAC+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠QPM＝90°，
∴∠APQ＝90°，即AP⊥PQ．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
23．（2021秋•昌平区校级期中）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】（1）依据∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD＝；
（2）依据勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：由上题知AD＝，
同理可得BD＝，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵32+42＝52，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
24．（2020秋•西城区校级期中）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是射线CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD，DF交EM延长线于点F．

（1）如图1，当点E在CA上时，填空：AD　＝　DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如图2，当点E在CA的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD与DF的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）连接BE，先证Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），得AD＝BE，∠EBM＝∠DAC，再证△EBM≌△FDM（ASA），得BE＝DF，即可得出结论；
（2）连接BE，先证△ACD和△BCE（SAS），得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，再证△BME≌△DMF（ASA），得BE＝DF，即可得出结论．
【解答】解：（1）AD＝DF，理由如下：
连接BE，如图1所示：
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AD＝BE，∠EBM＝∠DAC，
∵∠DAC+∠ADC＝90°，∠FDM+∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠FDM，
∴∠EBM＝∠FDM，
∵M是BD的中点，
∴BM＝DM，
在△EBM和△FDM中，
，
∴△EBM≌△FDM（ASA），
∴BE＝DF，
∴AD＝DF，
故答案为：＝；
（2）根据题意将图形补全，如图2所示：
AD与DF的数量关系：AD＝DF，证明如下：
连接BE，
∵∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠ACB＝90°，DF⊥AD，
∴∠BEC+∠MBE＝∠ADC+∠MDF＝90°，
∴∠MBE＝∠MDF，
∵M是BD的中点，
∴MB＝MD，
在△BME和△DMF中，
，
∴△BME≌△DMF（ASA），
∴BE＝DF，
∴AD＝DF．


【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（2021秋•海淀区校级期中）在△ABC的边AC上取一点，使得AB＝AD，若点D恰好在BC的垂直平分线上，写出∠ABC与∠C的数量关系，并证明．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】结论：∠ABC＝3∠C．设∠C＝x，证明∠CBD＝x，∠ABD＝2x即可解决问题．
【解答】解：结论：∠ABC＝3∠C．
理由：设∠C＝x．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC，
∴∠C＝∠CBD＝x，
∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝2x，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠ABD+∠C＝3x，
∴∠ABC＝3∠C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
26．（2021秋•西城区校级期中）在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：
（1）例如，当∠B是锐角时，如图1，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，用尺规画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是　A　；
A．全等 B．不全等 C．不一定全等
我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的．
（2）例如，已知：如图2，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．

【考点】全等三角形的性质；全等三角形的判定；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；尺规作图；推理能力．
【分析】（1）根据斜边直角边对应相等两个直角三角形全等即可得结论；
（2）作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，证明△CGB≌△FHE和Rt△AGC≌Rt△DHF最后注明△ABC≌△DEF即可．
【解答】解：（1）如图1，点D即为所求作的点．

因为BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，DF＝AC，
所以Rt△ABC和Rt△DEF的关系是：全等，
故选A；
（2）如图2，

作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，
∴∠CGB＝∠FHE＝90°，
在△CGB和△FHE中，

∴△CGB≌△FHE（AAS）．
∴CG＝FH．
在Rt△AGC和Rt△DHF中，

∴Rt△AGC≌Rt△DHF（HL）
∠A＝∠D．
∴∠ACB＝∠DFE
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是熟练应用全等三角形的判定与性质．
27．（2021秋•海淀区校级期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE＝AB，AF⊥AC，AF＝AC，连接EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】猜想：EF＝2AD，EF⊥AD．
证明：延长AD到M，使得AD＝DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD＝CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB＝MC，∠BAD＝∠M，即可求得∠EAF＝∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF＝AM，∠CAM＝∠F，即可解题．
【解答】猜想：EF＝2AD，EF⊥AD．
证明：延长AD到M，使得AD＝DM，连接MC，延长DA交EF于N，

∴AD＝DM，AM＝2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵在△ABD和△MCD中，，
∴△ABD≌△MCD，（SAS）
∴AB＝MC，∠BAD＝∠M，
∵AB＝AE，
∴AE＝MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF＝360°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∵∠CAD+∠M+∠MCA＝180°，
∴∠CAD+∠BAD+∠MCA＝180°，
即∠BAC+∠MCA＝180°，
∴∠EAF＝∠MCA．
∵在△AEF和△CMA中，，
∴△AEF≌△CMA，（SAS）
∴EF＝AM，∠CAM＝∠F，
∴EF＝2AD；
∵∠CAF＝90°，
∴∠CAM+∠FAN＝90°，
∵∠CAM＝∠F，
∴∠F+∠FAN＝90°，
∴∠ANF＝90°，
∴EF⊥AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△MCD和△AEF≌△CMA是解题的关键．
28．（2021秋•西城区校级期中）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：
如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．我们发现利用SSS证明两个三角形全等，从而证明∠AOC＝∠BOC．学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法．

方法如下：如图1，将两个全等的三角形纸片△DEF和△MNL的一组对应边分别与∠AOB的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB的另一条边上，则△DEF和△MNL的另一组对应边的交点P在∠AOB的平分线上．

（1）小慧的做法正确吗？说明理由．
小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线．（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中∠QRS的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】全等三角形的应用；角平分线的性质；作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观．
【分析】（1）依据全等三角形的性质以及角平分线的定义，即可得到交点P在∠AOB的平分线上．
（2）在RQ，RS上分别截取RA＝RB，RC＝RD，连接AD，BC，交于点P，作射线RP，依据全等三角形的性质以及角平分线的定义，即可得出RP即为所求．
【解答】解：（1）如图1所示，∵△DEF≌△MNL，
∴∠OLM＝∠OFD，LM＝FD，
又∵∠LOM＝∠FOD，
∴△LOM≌△FOD（AAS），
∴LO＝FO，DO＝MO，
∴LD＝FM，
又∵∠LPD＝∠FPM，
∴△LPD≌△FPM（AAS），
∴LP＝FP，
又∵OP＝OP，
∴△LOP≌△FOP（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB；

（2）如图2所示，在RQ，RS上分别截取RA＝RB，RC＝RD，连接AD，BC，交于点P，作射线RP，则RP即为所求，
又∵∠CRB＝∠DRA，
∴△BCR≌△ADR（SAS），
∴∠BCR＝∠ADR，
∵RA＝RB，RC＝RD，
∴AC＝BD，
又∵∠APC＝∠BPD，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴CP＝DP，
又∵RP＝RP，
∴△PCR≌△PDR（SSS），
∴∠PRC＝∠PRD，
∴RP平分∠QRS．


【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用全等三角形的对应边相等以及对应角相等．
29．（2021秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．
（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？
（2）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB＝∠EBC═∠A．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题，通过证明△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得BD＝CE，即可求解；
（2）可证△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD＝CE．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠DCB＝∠EBC＝∠A，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC+∠OCB＝60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC．
如图1，过点B作BG⊥CD于G，过点C作CF⊥BE于F．

∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，
∴OB＝OC，
在△BGO和△CFO中，
，
∴△BGO≌△CFO（AAS），
∴BG＝CF，
∵∠BOD＝∠A，
∴∠BDG＝∠BOD+∠ABE＝∠A+∠ABE＝∠CEF，
∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，
∴△BGD≌△CFE（AAS）
∴BD＝CE，
∴四边形BCED是等对边四边形；
（3）结论：四边形BCED是等对边四边形．理由如下：

如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，
∴OB＝OC，
在△BGO和△CFO中，
，
∴△BGO≌△CFO（AAS），
∴BG＝CF，
∵∠BOD＝∠A，
∴∠A+∠DOE＝180°，∠ADO+∠AEO＝180°，
∵∠AEO+∠CEF＝180°，∠ADO＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠CEF，
∵∠BDG＝∠CEF，∠BGD＝∠CEF＝90°，BG＝CE，
∴△BGD≌△CFE（AAS）
∴BD＝CE，
∴四边形BCED是等对边四边形．
【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
30．（2021秋•海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点E是AC上一点，连接BE，且∠BEC＝50°，D为点B关于直线AC的对称点，连接CD，将线段EB绕点E顺时针旋转40°得到线段EF，连接DF．
（1）请你在图中补全图形；
（2）请写出∠EFD的大小，并说明理由；
（3）连接CF，求证：DF＝CF．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；应用意识．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）如图2中，连接DE，证明△DEF是等边三角形即可解决问题．
（3）如图2中，连接BD．证明△EDB≌△FDC（SAS），推出∠EBD＝∠FCD，想办法证明∠FDC＝40°，∠FCD＝40°即可解决问题．
【解答】（1）解：图形如图1中所示：


（2）解：如图2中，连接DE．

∵B，D关于AC对称，
∴EB＝ED，∠BEC＝∠DEC＝50°，
∵EB＝EF，∠BEF＝40°，
∴∠FEC＝∠BEC﹣∠BEF＝50°﹣40°＝10°，DE＝EF，
∴∠DEF＝∠DEC+∠FEC＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EFD＝60°．

（3）证明：如图2中，连接BD．
∵B，D关于AC对称，
∴CB＝CD，∠BCA＝∠ACD，
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠BCA＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DB＝DC，∠BDC＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠BDC，
∴∠EDB＝∠FDC，
∴△EDB≌△FDC（SAS），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵B，D关于AC对称，
∴∠EDC＝∠EBC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠FDC＝40°，
∵EB＝ED，∠BED＝100°，
∴∠EBD＝∠EDB＝40°，
∴∠FCD＝∠EBD＝40°，
∴∠FDC＝∠FCD＝40°，
∴FD＝FC．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

考点卡片
1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
2．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
5．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
6．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
9．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

10．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
11．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
12．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
13．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．三角形综合题
三角形综合题．
19．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
20．四边形综合题
四边形综合题．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
24．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
25．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）