2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷1，共25页。试卷主要包含了下列算式中，计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•浦东新区期中）如果（4n）3＝224，那么n的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．下列算式中，计算正确的是（ ）
A．3a•4a2＝7a2B．3a•4a2＝12a2
C．3a•4a2＝7a3D．3a•4a2＝12a3
3．（2021秋•芜湖期中）在x2y，，，四个代数式中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．把代数式ax2﹣8ax+16a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x+4）2B．a（x﹣4）2
C．a（x﹣8）2D．a（x+4）（x﹣4）
5．（2021秋•杨浦区校级期中）已知分式，当x、y的值同时扩大4倍时，分式的值（ ）
A．不变B．扩大4倍C．扩大16倍D．扩大5倍
6．（2021秋•浦东新区期中）如图，一张长方形硬纸片的长为12厘米，宽为10厘米，将它的四角各剪下一个边长为x厘米的正方形（阴影部分），然后沿虚线将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ这四个部分折起，构成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的体积是（ ）
A．（12﹣x）（10﹣x）B．x（12﹣x）（10﹣x）
C．（12﹣2x）（10﹣2x）D．x（12﹣2x）（10﹣2x）
7．（2021秋•普陀区期中）将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（ ）
A．2xB．4xC．﹣4xD．4x4
8．（2021秋•普陀区期中）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）
10．（2021秋•浦东新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2021的值为（ ）
A．2019B．2021C．2021D．2022
二．填空题（共10小题）
11．分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝ ．
12．（2021•普陀区二模）分解因式：x2﹣5x﹣6＝ ．
13．若25xm+3y6与﹣25x5y2n为同类项，则mn＝ ．
14．（2021秋•浦东新区期中）计算：（﹣x2y）3（﹣3xy2）2＝ ．
15．若2021a＝m，2021b＝n（a、b都是正整数），则用含m、n的式子表示2021a+b＝ ．
16．某超市进了一批商品，每件进价为a元，如果要获利20%，那么每件商品的零售价应定为 元（用含有a的代数式表示）．
17．多项式﹣3x2﹣2xy2+x3y+4x4y3+5按x降幂排列得到 ．
18．（2021秋•浦东新区期中）将多项式﹣x4+2x3y﹣3x2y3+6xy2按y的降幂排列是 ．
19．（2021秋•浦东新区期中）如果单项式﹣x4ym与xny3是同类项，那么（m﹣n）2021＝ ．
20．因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 ．
三．解答题（共10小题）
21．分解因式：18a3b+14a2b﹣2abc．
22．分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．
23．（2021秋•浦东新区期中）分解因式：（2x﹣y）（x+3y）﹣（x+y）（y﹣2x）．
24．计算：[（a﹣2）4]3•[（2﹣a）3]3（用幂的形式表示结果）．
25．（2021秋•浦东新区期中）计算：（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．
26．计算：（a﹣3）（a2+9）（a+3）．
27．计算：（2x﹣y+5）（2x+y+5）．
28．设甲数为m，乙数为n，
（1）用代数式表示：甲数的5倍加上甲、乙两数和的平方；
（2）当m＝2，n＝3时，求（1）代数式的值．
29．（2008秋•闸北区校级期中）先化简，再求值：2a2﹣2[3a﹣2（﹣a2+2a﹣1）﹣2]，其中．
30．如图是小丽新家的平面图，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）用含x、y的代数式表示地面的总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多34m2，地面总面积比厨房面积的7倍还多5平方米，而且平均地面装修费为每平方米60元，那么装修地面总共用去多少元？
2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•浦东新区期中）如果（4n）3＝224，那么n的值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可．
【解答】解：∵（4n）3＝（22n）3＝26n＝224，
∴6n＝24，
解得n＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．下列算式中，计算正确的是（ ）
A．3a•4a2＝7a2B．3a•4a2＝12a2
C．3a•4a2＝7a3D．3a•4a2＝12a3
【考点】单项式乘单项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案．
【解答】解：3a•4a2
＝3×4a•a2
＝12a3，则只有选项D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2021秋•芜湖期中）在x2y，，，四个代数式中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】单项式．
【分析】根据单项式的定义可知，几个字母与数的乘积或单个的字母与单个的数都是单项式，即可得答案．
【解答】解：根据单项式的定义可知，
∴在x2y，，，四个代数式中，单项式有x2y，．
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式的定义，准确的把握单项式的定义是解决问题的关键．
4．把代数式ax2﹣8ax+16a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x+4）2B．a（x﹣4）2
C．a（x﹣8）2D．a（x+4）（x﹣4）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：ax2﹣8ax+16a
＝a（x2﹣8x+16）
＝a（x﹣4）2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
5．（2021秋•杨浦区校级期中）已知分式，当x、y的值同时扩大4倍时，分式的值（ ）
A．不变B．扩大4倍C．扩大16倍D．扩大5倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】依题意分别用4x和4y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用4x和4y去代换原分式中的x和y，
得＝＝＝4×，
可见新分式是原分式的4倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6．（2021秋•浦东新区期中）如图，一张长方形硬纸片的长为12厘米，宽为10厘米，将它的四角各剪下一个边长为x厘米的正方形（阴影部分），然后沿虚线将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ这四个部分折起，构成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的体积是（ ）
A．（12﹣x）（10﹣x）B．x（12﹣x）（10﹣x）
C．（12﹣2x）（10﹣2x）D．x（12﹣2x）（10﹣2x）
【考点】列代数式；认识立体图形．
【专题】整式；空间观念；几何直观．
【分析】确定纸盒的长、宽、高，进而表示体积即可．
【解答】解：由折叠可知，纸盒的长为（12﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm，高为xcm，
根据体积的计算方法得，x（12﹣2x）（10﹣2x），
故选：D．
【点评】本题考查立体图形的认识，理解展开与折叠时各个部分之间的关系是解决问题的关键．
7．（2021秋•普陀区期中）将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（ ）
A．2xB．4xC．﹣4xD．4x4
【考点】单项式；完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（A）4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；
（B）4x2+4x+1＝（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
（C）4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
（D）4x4+4x2+1＝（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
8．（2021秋•普陀区期中）如图，边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；几何直观．
【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），利用面积相等即可解答．
【解答】解：左边阴影面积为a2﹣b2
右边梯形面积为
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故选：A．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b）
【考点】多项式乘多项式；平方差公式的几何背景；因式分解的应用．
【专题】整式；几何直观．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
10．（2021秋•浦东新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2021的值为（ ）
A．2019B．2021C．2021D．2022
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；因式分解；运算能力．
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2021
＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2021
＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2021
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2021
＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2021
＝x﹣x2﹣2x+2021
＝﹣x2﹣x+2021
＝﹣（x2+x）+2021
＝﹣1+2021
＝2019．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
二．填空题（共10小题）
11．分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝ （x+1）（y﹣3） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用分组分解法、提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：xy﹣3x+y﹣3
＝x（y﹣3）+（y﹣3）
＝（y﹣3）（x+1）．
故答案为：（y﹣3）（x+1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法分解因式，正确分组是解题关键．
12．（2021•普陀区二模）分解因式：x2﹣5x﹣6＝ （x﹣6）（x+1） ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【分析】因为﹣6×1＝﹣6，﹣6+1＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
13．若25xm+3y6与﹣25x5y2n为同类项，则mn＝ 8 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，即可列出关于m和n的方程组，解方程组可求得m，n，把m，n代入代数式可得到结果．
【解答】解：∵25xm+3y6与﹣25x5y2n是同类项，
∴，
解得：，
∴mn＝23＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和同类项的定义，熟记同类项的定义：“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同”是解决问题的关键．
14．（2021秋•浦东新区期中）计算：（﹣x2y）3（﹣3xy2）2＝ ﹣x8y7 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
【解答】解：（﹣x2y）3（﹣3xy2）2
＝（﹣x6y3）×（9x2y4）
＝﹣x8y7．
故答案为：﹣x8y7．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．若2021a＝m，2021b＝n（a、b都是正整数），则用含m、n的式子表示2021a+b＝ mn ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵2021a＝m，2021b＝n（a、b都是正整数），
∴2021a+b＝2021a×2021b＝mn．
故答案为：mn．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．某超市进了一批商品，每件进价为a元，如果要获利20%，那么每件商品的零售价应定为 （1+20%）a 元（用含有a的代数式表示）．
【考点】列代数式．
【专题】计算题；应用意识．
【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出零售价，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，每件商品的零售价应定为（1+20%）a元．
故答案为：（1+20%）a．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
17．多项式﹣3x2﹣2xy2+x3y+4x4y3+5按x降幂排列得到 4x4y3+x3y﹣3x2﹣2xy2+5 ．
【考点】多项式．
【专题】整式；数感．
【分析】按x的降幂排列就是把多项式按x的指数从大到小进行排列．
【解答】解：多项式﹣3x2﹣2xy2+x3y+4x4y3+5按x的降幂排列为：
4x4y3+x3y﹣3x2﹣2xy2+5．
故答案为：4x4y3+x3y﹣3x2﹣2xy2+5．
【点评】本题考查了多项式的升、降幂排列，解决本题需注意两点：一点是确定按哪个字母进行升、降幂排列，再一点就是注意在过程中不能改变各项的符号和多项式的大小．
18．（2021秋•浦东新区期中）将多项式﹣x4+2x3y﹣3x2y3+6xy2按y的降幂排列是 ﹣3x2y3+6xy2+2x3y﹣x4 ．
【考点】多项式．
【专题】整式；数据分析观念．
【分析】根据多项式的项的概念和降幂排列的概念，可知多项式的项为：﹣x4，2x3y，﹣3x2y3，6xy2，将各项按y的指数由大到小排列可得．
【解答】解：多项式﹣x4+2x3y﹣3x2y3+6xy2按y的降幂排列是：﹣3x2y3+6xy2+2x3y﹣x4；
故答案为：﹣3x2y3+6xy2+2x3y﹣x4．
【点评】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．（1）多项式中的每个单项式叫做多项式的项；（2）一个多项式的各项按照某个字母指数从大到小或者从小到大的顺序排列，叫做降幂或升幂排列．解题时要注意灵活运用．
19．（2021秋•浦东新区期中）如果单项式﹣x4ym与xny3是同类项，那么（m﹣n）2021＝ 1 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m＝3，n＝4，
∴m﹣n＝3﹣4＝﹣1，
∴（m﹣n）2021＝（﹣1）2021＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
20．因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是 （x﹣4）（x+3） ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：因式分解x2+ax+b时，
∵李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵王勇看错了b的值，分解的结果为（x+2）（x﹣3），
∴a＝﹣3+2＝﹣1，
∴原二次三项式为x2﹣x﹣12，
因此，x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3），
故答案为：（x﹣4）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．
三．解答题（共10小题）
21．分解因式：18a3b+14a2b﹣2abc．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】确定公因式2ab，然后提公因式即可．
【解答】解：原式＝2ab（9a2+7a﹣c）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
22．分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x2﹣2x﹣6）2．
故答案为：（x2﹣2x﹣6）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
23．（2021秋•浦东新区期中）分解因式：（2x﹣y）（x+3y）﹣（x+y）（y﹣2x）．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式（2x﹣y），进而分解因式即可．
【解答】解：原式＝（2x﹣y）（x+3y）+（x+y）（2x﹣y）
＝（2x﹣y）（x+3y+x+y）
＝（2x﹣y）（2x+4y）
＝2（2x﹣y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
24．计算：[（a﹣2）4]3•[（2﹣a）3]3（用幂的形式表示结果）．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：[（a﹣2）4]3•[（2﹣a）3]3
＝（a﹣2）12•（2﹣a）9
＝（2﹣a）12•（2﹣a）9
＝（2﹣a）21．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
25．（2021秋•浦东新区期中）计算：（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】首先利用积的乘方的性质、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则进行计算，再算加减即可．
【解答】解：原式＝9a2•a4+a6﹣a6
＝9a6+a6﹣a6
＝9a6．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握整式的各种运算法则．
26．计算：（a﹣3）（a2+9）（a+3）．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：（a﹣3）（a2+9）（a+3）
＝（a﹣3）（a+3）（a2+9）
＝（a2﹣9）（a2+9）
＝a4﹣81．
【点评】本题考查平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
27．计算：（2x﹣y+5）（2x+y+5）．
【考点】完全平方公式；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（2x﹣y+5）（2x+y+5）
＝（2x+5﹣y）（2x+5+y）
＝（2x+5）2﹣y2
＝4x2+20x+25﹣y2．
故答案为：4x2+20x+25﹣y2．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式．解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
28．设甲数为m，乙数为n，
（1）用代数式表示：甲数的5倍加上甲、乙两数和的平方；
（2）当m＝2，n＝3时，求（1）代数式的值．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）根据题意得出代数式解答即可；
（2）把m＝2，n＝3代入代数式解答即可．
【解答】解：（1）甲数的5倍加上甲、乙两数和的平方，用代数式表示为：5m+（m+n）2；
（2）把m＝2，n＝3代入5m+（m+n）2中，
原式＝5×2+（2+3）2＝35．
【点评】此题考查列代数式，关键是根据题意得出代数式或代入求值．
29．（2008秋•闸北区校级期中）先化简，再求值：2a2﹣2[3a﹣2（﹣a2+2a﹣1）﹣2]，其中．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2a2﹣6a﹣4a2+8a﹣4+4＝﹣2a2+2a，
当a＝时，原式＝﹣+1＝．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．如图是小丽新家的平面图，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）用含x、y的代数式表示地面的总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多34m2，地面总面积比厨房面积的7倍还多5平方米，而且平均地面装修费为每平方米60元，那么装修地面总共用去多少元？
【考点】列代数式；二元一次方程组的应用．
【专题】几何图形问题；应用意识．
【分析】（1）客厅面积为7ym2，卫生间面积4（7﹣3﹣x）＝4（4﹣x）m2，厨房面积为5xm2，卧室面积为3×（4+1）＝15m2，相加即可求解；
（2）要求总费用需要求出x，y的值，求出面积．题中有两相等关系“客厅面积比卫生间面积多34m2”“地面总面积比厨房面积的7倍还多5平方米”．用这两个相等关系列方程组可解得x，y的值，x＝2，y＝6，再求出地面总面积，可求装修地面总共用去多少元．
【解答】解：（1）依题意可知，客厅面积为7ym2，卫生间面积4（7﹣3﹣x）＝4（4﹣x）m2，厨房面积为5xm2，卧室面积为3×（4+1）＝15（m2），
故用含x、y的代数式表示地面的总面积为：7y+4（4﹣x）+5x+15＝（x+7y+31）m2；
（2）依题意有，
解得，
则地面的总面积为x+7y+31＝2+42+31＝75，
则装修地面总共用去75×60＝4500（元）．
故装修地面总共用去4500元．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，第一问中关键是找到各个长方形的长和宽，用代数式表示面积；第二问解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
3．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
4．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
5．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
9．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
10．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
11．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
12．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
13．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
14．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
15．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
16．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
17．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
18．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
19．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
20．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
21．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
22．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．