2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷2，共29页。

A．0B．7C．﹣7D．±7
2．（2021秋•浦东新区期中）在﹣3，0，2x，1﹣，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2021秋•徐汇区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．，π，0，22都是单项式
B．单项式ab的系数，次数都是1
C．没有加减运算的都是单项式
D．（﹣xn+1）÷（﹣x）n＝﹣x
4．（2021秋•静安区校级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．（2a2）2＝2a2B．（﹣3x）3＝﹣27x3
C．（xy2）3＝x3y5D．（a）2＝a2
5．（2021秋•静安区校级期中）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（﹣x2）n＝x2nB．﹣（﹣am+1）2＝a2m+2
C．（﹣x5）5＝x25D．（﹣xn）2＝x2n
6．（2021秋•静安区校级期中）下列因式分解中正确的是（ ）
A．4x²﹣9y²＝（4x+9y）（4x﹣9y）
B．a²﹣a﹣2＝（a﹣2）（a﹣1）
C．a²（a²﹣b）+b（a²﹣b）＝a4﹣b²
D．a²﹣ab+b2＝（a﹣b）2
7．（2021秋•静安区校级期中）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021秋•徐汇区校级期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．x4﹣4x2+16＝（x2﹣4）2B．3x2﹣9y+3＝（x2﹣3y）
C．x2n﹣xn＝xn（x+1）（x﹣1）D．4x2+8ax+4a2＝4（x+a）2
9．（2021秋•徐汇区校级期中）下列各式中是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021秋•浦东新区校级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①x3+2xy+x＝x（x2+2y）
②x2+2xy+4y2＝（x+2y）2
③﹣2x2+8y2＝﹣（2x+4y）（x﹣2y）
④a3﹣abc+a2b﹣a2c＝a（a﹣c）（a+b）
⑤（m﹣n）（2x﹣5y﹣7z）+（m﹣n）（3y﹣10x+3z）＝﹣（m﹣n） （8x+2y+4z）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•嘉定区期中）把多项式3xy2﹣2x2y﹣4y3+x3按字母y的降幂排列是： ．
12．（2021秋•静安区校级期中）当x＝2时，代数式3x（x+1）的值是 ．
13．（2021秋•静安区校级期中）如果（x﹣a）（x﹣b）＝x2+5x+6，那么a+b的值是 ．
14．（2021秋•静安区校级期中）y的倒数与x的和，用代数式表示为 ．
15．（2021秋•静安区校级期中）﹣xm+ym+2m+n（m＞n）是一个 次 项式，最高项的系数是 ．
16．（2021秋•静安区校级期中）计算：a•a2•a3﹣（a3）2+（﹣a2）3+a6＝ ．
17．（2021秋•静安区校级期中）如果用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，那么，第n个图案中有白地面砖 块．
18．（2013秋•闵行区期中）如果单项式xm﹣2y2n与x3yn+3是同类项，那么mn＝ ．
19．（2021秋•浦东新区期中）计算：﹣ab（9ab﹣a+6b）＝ ．
20．（2021春•秦淮区期末）若am＝2，an＝3，则a3m+n＝ ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•静安区校级期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）
22．（2021秋•浦东新区期中）计算：（x﹣3y+2c）（x+3y+2c）．
23．（2021秋•静安区校级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形不重叠的放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图中两块阴影部分的周长和．
24．（2021秋•浦东新区期中）计算：2x2﹣x（2x﹣5y）+y（2x﹣y）．
25．（2021秋•静安区校级期中）在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，点P在边BA上，点Q在边CD上，且BP＝m，CQ＝n，其中，m＜a，n＜a，m≠n，在长方形ABCD中，分别以BP、CQ为边作正方形BPP1P2，正方形CQQ1Q2（点P2、Q2在边BC上）．
（1）画出图形；
（2）当m＜n时，求三角形PQ1C的面积．
26．（2021秋•静安区校级期中）计算：﹣﹣+．
27．（2021秋•镇平县期中）先化简后求值：（x﹣y）（y﹣x）﹣[x2﹣2x（x+y）]，其中．
28．（2021秋•松江区期中）某公司生产甲、乙两种产品，一月份这两种产品的产值分别是a万元和b万元，为了调整产品结构，确定增加甲种产品的产值，使每月的增长率都为x；同时减少乙种产品的产值，每月减少的百分率也是x，求：
（1）二月份生产甲、乙两种产品的产值分别为多少？
（2）三月份生产甲、乙两种产品的产值共多少？（用含字母a，b，x的代数式表示）．
29．（2021春•任丘市期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a、b的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
30．（2021秋•闵行区校级期中）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）．
比如47×43，它们的乘积的前两位是4×（4+1）＝20，它们乘积的后两位是7×3＝21．所以47×43＝2021；
再如62×68，它们乘积的前两位是6×（6+1）＝42，它们乘积的后两位是2×8＝16，所以62×68＝4216．
又如21×29，2×（2+1）＝6，不足两位，就将6写在百位；1×9＝9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29＝609．
该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：
设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）
则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+（10﹣b）．
两数相乘可得：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝100a2+10a（10﹣b）+10ab+b（10﹣b）＝100a2+100a+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）．
（注：其中a（a+1）表示计算结果的前两位，b（10﹣b）表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如44×73、77×28、55×64等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤．
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为 ．设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为 ．（a，b表示1～9的正整数）
（3）请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．
如：100a（a+1）+b（10﹣b）的运算式．
2021-2022学年上学期上海市初中数学七年级期中典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•浦东新区期中）若（x2+px+q）（x2+7）的计算结果中，不含x2项，则q的值是（ ）
A．0B．7C．﹣7D．±7
【考点】多项式乘多项式．
【分析】把式子展开，找到所有x2项的系数，令它的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+7）
＝x4+7x2+px3+7px+qx2+7q
＝x4+px3+（7+q）x2+7px+7q．
∵乘积中不含x2项，
∴7+p＝0，
∴q＝﹣7．
故选：C．
【点评】考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
2．（2021秋•浦东新区期中）在﹣3，0，2x，1﹣，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】整式．
【专题】常规题型；整式．
【分析】根据整式的定义即可得．
【解答】解：在﹣3，0，2x，1﹣，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式有﹣3，0，2x，，a2﹣3ab+b2这5个，
故选：D．
【点评】本题主要考查整式，解题的关键是掌握整式的定义．
3．（2021秋•徐汇区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．，π，0，22都是单项式
B．单项式ab的系数，次数都是1
C．没有加减运算的都是单项式
D．（﹣xn+1）÷（﹣x）n＝﹣x
【考点】单项式；同底数幂的除法．
【专题】实数；数感．
【分析】单项式ab的系数，次数都是2；不是单项式；（﹣xn+1）÷（﹣x）n需要分n是奇数和偶数两种情况运算．
【解答】解：就没有加减运算，但不是单项式；故C不正确；
单项式ab的系数，次数都是2，故B不正确；
当n为奇数时，（﹣xn+1）÷（﹣x）n＝x，当n为偶数时，（﹣xn+1）÷（﹣x）n＝﹣x；故D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查单项式的定义和同底数幂的除法；牢固掌握单项式的定义和同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．
4．（2021秋•静安区校级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．（2a2）2＝2a2B．（﹣3x）3＝﹣27x3
C．（xy2）3＝x3y5D．（a）2＝a2
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A．（2a2）2＝4a4，故本选项不合题意；
B．（﹣3x）3＝﹣27x3，故本选项符合题意；
C．（xy2）3＝x3y6，故本选项不合题意；
D．（a）2＝a2，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．注意掌握指数的变化是解答此题的关键．
5．（2021秋•静安区校级期中）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（﹣x2）n＝x2nB．﹣（﹣am+1）2＝a2m+2
C．（﹣x5）5＝x25D．（﹣xn）2＝x2n
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的性质进行解答．
【解答】解：A．当n是奇数时，原式＝﹣x2n，当n是偶数时，原式＝x2n，故本选项不合题意，
B．﹣（﹣am+1）2＝﹣a2m+2，故本选项不合题意，
C．（﹣x5）5＝﹣x25，故本选项不合题意，
D．（﹣xn）2＝x2n，故本选项符合合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的性质，掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2021秋•静安区校级期中）下列因式分解中正确的是（ ）
A．4x²﹣9y²＝（4x+9y）（4x﹣9y）
B．a²﹣a﹣2＝（a﹣2）（a﹣1）
C．a²（a²﹣b）+b（a²﹣b）＝a4﹣b²
D．a²﹣ab+b2＝（a﹣b）2
【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据提公因式法、公式法和十字相乘法，对各选项分析判断即可．
【解答】解：A．利用平方差公式：4x²﹣9y²＝（2x+3y）（2x﹣3y），故此选项不符合题意；
B．利用十字相乘法：a²﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1），故此选项不符合题意；
C．利用提公因式法：a²（a²﹣b）+b（a²﹣b）＝（a²﹣b）（a²+b），故此选项不符合题意；
D．利用完全平方公式：＝＝，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，解题关键在于熟练掌握提公因式法、公式法和十字相乘法．
7．（2021秋•静安区校级期中）一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为（ ）
A．B．C．D．
【考点】列代数式（分式）．
【专题】分式；应用意识．
【分析】设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度＝总路程除以总时间，进行列式化简即可．
【解答】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：，从B到A的时间为：，
∴平均速度为：＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查列代数式及分式化简，掌握平均速度的求法是解题的关键．
8．（2021秋•徐汇区校级期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．x4﹣4x2+16＝（x2﹣4）2B．3x2﹣9y+3＝（x2﹣3y）
C．x2n﹣xn＝xn（x+1）（x﹣1）D．4x2+8ax+4a2＝4（x+a）2
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝3（x2﹣3y+1），不符合题意；
C、原式＝xn（xn﹣1），不符合题意；
D、原式＝4（x2+2ax+a2）＝4（x+a）2，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．（2021秋•徐汇区校级期中）下列各式中是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】最简分式．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．
【解答】解：A、该分式的分子分母中含有公因式（x﹣5），不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；
C、该分式的分子分母中含有公因式（a﹣b），不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、该分式的分子分母中含有公因数4，不是最简分式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
10．（2021秋•浦东新区校级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①x3+2xy+x＝x（x2+2y）
②x2+2xy+4y2＝（x+2y）2
③﹣2x2+8y2＝﹣（2x+4y）（x﹣2y）
④a3﹣abc+a2b﹣a2c＝a（a﹣c）（a+b）
⑤（m﹣n）（2x﹣5y﹣7z）+（m﹣n）（3y﹣10x+3z）＝﹣（m﹣n） （8x+2y+4z）
A．1B．2C．3D．4
【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可．
【解答】解：①左边为三项，右边乘开为两项，故错误；
②右边（x+2y）2＝x2+4xy+4y2≠左边，故错误；
③公因数2未提出来，故错误；
④a3﹣abc+a2b﹣a2c
＝（a3+a2b）﹣（abc+a2c）
＝a2（a+b）﹣ac（a+b）
＝a（a﹣c）（a+b）
④正确；
⑤等式右边的（8x+2y+4z）未提取公因数2，故错误．
综上，只有④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•嘉定区期中）把多项式3xy2﹣2x2y﹣4y3+x3按字母y的降幂排列是： ﹣4y3+3xy2﹣2x2y+x3 ．
【考点】多项式．
【专题】计算题．
【分析】按y的指数从大到小排列即可．
【解答】解：多项式3xy2﹣2x2y﹣4y3+x3按x的降幂排列是﹣4y3+3xy2﹣2x2y+x3．
故答案为﹣4y3+3xy2﹣2x2y+x3．
【点评】本题考查的知识点为：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
12．（2021秋•静安区校级期中）当x＝2时，代数式3x（x+1）的值是 18 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】把x＝2代入代数式3x（x+1），求值即可．
【解答】解：将x＝2代入代数式3x（x+1），得：
3×2×（2+1）＝18．
故答案为18．
【点评】本题考查了代数式的求值，只要将已知条件代入求值即可．
13．（2021秋•静安区校级期中）如果（x﹣a）（x﹣b）＝x2+5x+6，那么a+b的值是 ﹣5 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】将（x﹣a）（x﹣b）转化为x2﹣（a+b）x+ab，然后根据（x﹣a）（x﹣b）＝x2+5x+6，即可得出结论．
【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b＝x2﹣（a+b）x+ab，
∴x2﹣（a+b）x+ab＝x2+5x+6，
∴a+b＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解答本题的关键．
14．（2021秋•静安区校级期中）y的倒数与x的和，用代数式表示为 +x ．
【考点】列代数式．
【专题】分式；应用意识．
【分析】先表示y的倒数，再表示它们的和．
【解答】解：y的倒数与x的和为+x．
故答案为：+x．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
15．（2021秋•静安区校级期中）﹣xm+ym+2m+n（m＞n）是一个 m 次 三 项式，最高项的系数是 ﹣1、1 ．
【考点】多项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．据此作答即可．
【解答】解：﹣xm+ym+2m+n（m＞n）是一个m次三项式，最高项的系数是﹣1、1．
故答案为：m，三，﹣1、1．
【点评】本题考查多项式的概念，熟记多项式的次数、项数的定义是解题的关键．
16．（2021秋•静安区校级期中）计算：a•a2•a3﹣（a3）2+（﹣a2）3+a6＝ 0 ．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方以及合并同类项法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝a6﹣a6+（﹣a6）+a6＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查同底数幂乘法、幂的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键．
17．（2021秋•静安区校级期中）如果用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干个图案，那么，第n个图案中有白地面砖 （4n+2） 块．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【分析】根据图形分析可得规律：每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形，即可得：第n个图案中共有6+4（n﹣1）个白色六边形．
【解答】解：由图知左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻，
即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形，则第n个图案中共有白色六边形6+4×（n﹣1）＝4n+2个，
故第n个图案中有白色地面砖（4n+2）块，
故答案为：（4n+2）．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：多一个黑色六边形，多4个白色六边形．
18．（2013秋•闵行区期中）如果单项式xm﹣2y2n与x3yn+3是同类项，那么mn＝ 15 ．
【考点】同类项．
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值再根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：∵单项式xm﹣2y2n与x3yn+3是同类项，
∴m﹣2＝3，2n＝n+3，
∴m＝5，n＝3
∴mn＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出m、n的值是解题关键．
19．（2021秋•浦东新区期中）计算：﹣ab（9ab﹣a+6b）＝ ﹣6a2b2+a2b﹣4ab2 ．
【考点】单项式乘多项式．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣ab（9ab﹣a+6b）＝﹣6a2b2+a2b﹣4ab2．
故答案为：﹣6a2b2+a2b﹣4ab2．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
20．（2021春•秦淮区期末）若am＝2，an＝3，则a3m+n＝ 24 ．
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则求解．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m+n＝（am）3•an＝8×3＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，掌握各知识点的运算法则是解答本题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•静安区校级期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．
【解答】解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）
＝2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]
＝2（x+y）（2x+4y）
＝4（x+y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握公因式是解题关键．
22．（2021秋•浦东新区期中）计算：（x﹣3y+2c）（x+3y+2c）．
【考点】完全平方公式；平方差公式．
【专题】计算题．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝[（x+2c）﹣3y][（x+2c）﹣3y]
＝（x+2c）2﹣（3y）2
＝x2+4xc+4c2﹣9y2．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
23．（2021秋•静安区校级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形不重叠的放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图中两块阴影部分的周长和．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图表示出两块儿阴影部分的周长，求出之和，化简即可得到结果．
【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，则：
小阴影部分的周长为：2（2b+n﹣a），
大阴影部分的周长为：2（a+n﹣2b），
∴两块阴影部分的周长和为：2（2b+n﹣a）+2（a+n﹣2b）＝4b+2n﹣2a+2a+2n﹣4b＝4n．
【点评】本题主要考查列代数式，通过图形列出代数式是解题的关键．
24．（2021秋•浦东新区期中）计算：2x2﹣x（2x﹣5y）+y（2x﹣y）．
【考点】单项式乘多项式．
【专题】整式．
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2x2﹣2x2+5xy+2xy﹣y2
＝7xy﹣y2．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
25．（2021秋•静安区校级期中）在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，点P在边BA上，点Q在边CD上，且BP＝m，CQ＝n，其中，m＜a，n＜a，m≠n，在长方形ABCD中，分别以BP、CQ为边作正方形BPP1P2，正方形CQQ1Q2（点P2、Q2在边BC上）．
（1）画出图形；
（2）当m＜n时，求三角形PQ1C的面积．
【考点】三角形的面积；矩形的性质；正方形的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）连结PQ1，Q1C，PC．根据△PQ1C的面积＝梯形PBQ2Q1面积+△Q1Q2C面积﹣△PBC面积计算即可．
【解答】解：（1）所画图形如下：
（2）如图，连结PQ1，Q1C，PC．则△PQ1C的面积＝梯形PBQ2Q1面积+△Q1Q2C面积﹣△PBC面积＝（m+n）（2a﹣n）+n2﹣×m×2a＝an﹣mn．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，列代数式三角形的面积等知识，得出△PQ1C的面积的计算公式是解答本题的关键．
26．（2021秋•静安区校级期中）计算：﹣﹣+．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先对每一个分式进行拆分化简，然后再进行分式的加减计算即可．
【解答】解：＝＝1+2y+，
＝＝y﹣3+，
＝＝3y+2﹣，
＝＝2y﹣2﹣．
∴原式＝1+2y+﹣（y﹣3+）﹣（3y+2﹣）+（2y﹣2﹣）
＝（﹣）+（﹣）
＝+
＝
＝．
【点评】本题考查分式的加减计算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
27．（2021秋•镇平县期中）先化简后求值：（x﹣y）（y﹣x）﹣[x2﹣2x（x+y）]，其中．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据完全平方公式和去括号法则可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x﹣y）（y﹣x）﹣[x2﹣2x（x+y）]
＝﹣x2+2xy﹣y2﹣x2+2x2+2xy
＝4xy﹣y2，
当时，原式＝＝﹣4﹣4＝﹣8．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
28．（2021秋•松江区期中）某公司生产甲、乙两种产品，一月份这两种产品的产值分别是a万元和b万元，为了调整产品结构，确定增加甲种产品的产值，使每月的增长率都为x；同时减少乙种产品的产值，每月减少的百分率也是x，求：
（1）二月份生产甲、乙两种产品的产值分别为多少？
（2）三月份生产甲、乙两种产品的产值共多少？（用含字母a，b，x的代数式表示）．
【考点】列代数式；整式的混合运算．
【专题】应用题．
【分析】（1）由一月份甲乙两种产品的产值分别是a万元和b万元，甲种产品每月增长率为x，乙种产品每月减少的百分率为x，表示出二月份生产甲、乙两种产品的产值分别a（1+x）、b（1﹣x）；
（2）由（1）得出的二月份甲、乙两种产品的产值，同理根据甲种产品每月增长率为x，乙种产品每月减少的百分率为x，表示出三月份生产甲、乙两种产品的产值，求出两个月的产值之和，利用完全平方公式化简，合并即可得到三月份两种产品的总产值．
【解答】解：（1）a+ax＝a（1+x）万元，b﹣bx＝b（1﹣x）万元；
（2）二月份甲、乙两种产品的产值分别是a（1+x）万元和b（1﹣x）万元，
由甲种产品每月增长率为x，乙种产品每月减少的百分率为x，
可得三月份甲产品的产值为a（1+x）+ax（1+x）＝a（1+x）2，
乙产品的产值为b（1﹣x）﹣bx（1﹣x）＝b（1﹣x）2，
则三月份生产甲、乙两种产品的产值共有：a（1+x）2+b（1﹣x）2＝（a+b）x2+2（a﹣b）x+a+b．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及列代数式，弄清题意列出相应的代数式是解本题的关键．
29．（2021春•任丘市期末）欢欢与乐乐两人共同计算（2x+a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a、b的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，于是2b﹣3a＝﹣13①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，可得到2b+a＝﹣1②，解关于①②的方程组即可求出a、b的值；
（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）根据题意可知，由于欢欢抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，
那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a＝﹣13 ①
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6
即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，
可得2b+a＝﹣1 ②，
解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2；
（2）正确的式子：
（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6
【点评】本题主要是考查多项式的乘法，正确利用法则是正确解决问题的关键．
30．（2021秋•闵行区校级期中）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）．
比如47×43，它们的乘积的前两位是4×（4+1）＝20，它们乘积的后两位是7×3＝21．所以47×43＝2021；
再如62×68，它们乘积的前两位是6×（6+1）＝42，它们乘积的后两位是2×8＝16，所以62×68＝4216．
又如21×29，2×（2+1）＝6，不足两位，就将6写在百位；1×9＝9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29＝609．
该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：
设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）
则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+（10﹣b）．
两数相乘可得：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝100a2+10a（10﹣b）+10ab+b（10﹣b）＝100a2+100a+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）．
（注：其中a（a+1）表示计算结果的前两位，b（10﹣b）表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如44×73、77×28、55×64等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤．
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为 10a+a ．设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为 10b+（10﹣b） ．（a，b表示1～9的正整数）
（3）请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．
如：100a（a+1）+b（10﹣b）的运算式．
【考点】单项式乘多项式．
【专题】阅读型；整式；运算能力．
【分析】（1）根据阅读材料的速算过程即可求解；
（2）根据两位数的确定过程即可求解；
（3）模仿阅读材料中的方法即可写出．
【解答】解：（1）∵4×7+4＝32，4×3＝12，
∴44×73＝3212．
（2）十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为10a+a，
另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10﹣b）．
故答案为10a+a、10b+（10﹣b）．
（3）设其中一个因数的十位数字为a，个位数字也是a
则该数可表示为10a+a，
设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为10b+（10﹣b）（a，b表示1到9的整数）．
两数相乘可得：（10a+a）[10b+（10﹣b）]＝100ab+10a（10﹣b）+10ab+a（10﹣b）
＝100ab+100a+a（10﹣b）
＝100a（b+1）+a（10﹣b）．
【点评】本题考查了单项式乘以多项式、速算、两位数的确定，解决本题的关键是理解阅读材料．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
3．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
6．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
7．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
8．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
9．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
10．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
11．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
12．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
13．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
14．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
15．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
16．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
17．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
18．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
19．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
20．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
21．最简分式
最简分式的定义：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
22．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
23．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
24．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
27．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．