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高中物理粤教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动第二节 匀变速直线运动的规律第2课时导学案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动第二节 匀变速直线运动的规律第2课时导学案，共12页。
速度与位移的关系
1.公式：vt2－v02＝2as.
2.推导：由速度公式vt＝v0＋at，位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得vt2－v02＝2as.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式vt2－v02＝2as适用于所有的直线运动.( × )
(2)确定公式vt2－v02＝2as中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.( √ )
(3)因为vt2－v02＝2as，则vt2＝v02＋2as，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0.( × )
(4)在公式vt2－v02＝2as中，a为矢量，与规定的正方向相反时a取负值.( √ )
2.航母上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“歼－15”战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s，若该飞机滑行100 m时起飞，假设跑道水平，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为 .
答案 40 m/s
解析 根据公式vt2－v02＝2as，
代入数据解得v0＝40 m/s.
一、速度与位移的关系
导学探究 如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？哪种方法较简单.
答案 方法一 由vt＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间t＝eq \f(v,a).
所以飞机起飞通过的位移为s＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(v2,2a).
方法二 由vt2－v02＝2as得s＝eq \f(v2,2a).
方法二较简单.
知识深化 对vt2－v02＝2as的理解
1.适用范围：仅适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：公式中v0、vt、a、s都是矢量，解题时一定要先规定正方向，一般取v0的方向为正方向：
(1)若做匀加速直线运动，a取正值，若做匀减速直线运动，a取负值.
(2)s＞0，位移的方向与初速度方向相同，s＜0则为减速到0，又反向运动到计时起点另一侧的位移.
(3)vt＞0，速度的方向与初速度方向相同，vt＜0则为减速到0，又反向运动的速度.
注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.
3.公式的特点：不涉及时间，v0、vt、a、s中已知三个量可求第四个量.
一长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车通过隧道时的加速度大小；
(2)列车通过隧道所用的时间.
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)s＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
vt＝12 m/s，由vt2－v02＝2as得，
加速度a＝eq \f(vt2－v02,2s)＝0.02 m/s2.
(2)由vt＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(vt－v0,a)＝eq \f(12－10,0.02) s＝100 s.
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
1.如果题目中无位移s，也不让求s，一般选用速度公式vt＝v0＋at；
2.如果题目中无末速度vt，也不让求vt，一般选用位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2；
3.如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用速度和位移关系公式vt2－v02＝2as.
某型号航空母舰上装有帮助战斗机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当战斗机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞.设航空母舰处于静止状态.问：
(1)若要求该战斗机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使战斗机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号战斗机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少应为多长？
答案 (1)30 m/s (2)250 m
解析 (1)设弹射系统使战斗机具有的初速度为v0，由运动学公式vt2－v02＝2as
可知v0＝eq \r(vt2－2as)＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，战斗机从静止开始做匀加速直线运动.由vt2＝2as′可知该舰身长至少应为s′＝eq \f(vt2,2a)＝250 m.
针对训练1 做匀加速直线运动的某物体，速度从v增加到3v时经过的位移是s，则它的速度从3v增加到5v时经过的位移是( )
A.eq \f(3,2)s B.eq \f(5,2)s C.s D.2s
答案 D
解析 根据速度－位移公式得(3v)2－v2＝2as，(5v)2－(3v)2＝2as′，联立两式解得s′＝2s.故选D.
二、v－t图像
1.利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移.“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差.通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和.
2.理解
(1)初速度为v0的匀加速直线运动的v－t图像如图1甲，其中v0t与矩形面积相等，eq \f(1,2)at2与三角形面积相等，所以s＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
(2)当物体做匀减速直线运动时，如图乙，公式中的a取负值.相当于从匀速直线运动的位移中“减去”了一部分.
图1
某一做直线运动的物体的v－t图像如图2所示，根据图像求：
图2
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程.
答案 (1)6 m (2)5 m (3)7 m
解析 (1)物体距出发点最远的距离sm＝eq \f(1,2)v1t1＝eq \f(1,2)×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内物体的位移s＝s1－s2＝eq \f(1,2)v1t1－eq \f(1,2)v2t2＝eq \f(1,2)×4×3 m－eq \f(1,2)×2×1 m＝5 m；
(3)前4 s内物体通过的路程s′＝|s1|＋|s2|＝eq \f(1,2)×4×3 m＋eq \f(1,2)×2×1 m＝7 m.
针对训练2 如图3是一物体做直线运动的v－t图像，由图可知，该物体( )
图3
A.0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
B.0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
C.第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D.第3 s内和第4 s内的加速度不相同
答案 B
解析 0～2 s内物体的位移s2＝eq \f(1＋2×1,2) m＝1.5 m，则平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(s2,t2)＝0.75 m/s；0～4 s内物体的位移s4＝1.5 m＝s2，则平均速度eq \x\t(v)4＝eq \f(s4,t4)＝0.375 m/s，A错，B对.第1 s内和第4 s内位移大小均为0.5 m，C错.第3 s内和第4 s内加速度均为－1 m/s2，D错.
(2020·广元天立国际学校高二月考)有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的s－t图像如图4甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示.根据图像做出的以下判断中正确的是( )
图4
A.物体A和B均做匀变速直线运动
B.在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C.t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D.在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案 D
解析 由题图甲看出：物体A和B的位移－时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移都大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错；由题图乙可以看出C、D两物体的图线在t＝3 s交于一点，所以此时速度一定相同，但是由于两物体的速度不是一直相同，位移不相同，故C错；由题图乙看出：前3 s内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D对.
s－t图像与v－t图像的比较
针对训练3 在如图5所示的s－t图像和v－t图像中，给出的四条曲线1、2、3、4分别代表四个不同物体的运动情况，则下列说法正确的是( )
图5
A.图线1、3表示物体做曲线运动
B.s－t图像中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等
C.v－t图像中t3时刻物体3的速度大于物体4的速度
D.两图像中t2、t4时刻分别表示物体2和4开始反向运动
答案 B
解析 运动图像反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图像还是位移—时间图像，只能表示物体做直线运动，故A错误.s－t图像中0～t1时间内物体1和2通过的位移相等，所用时间相等，则平均速度相等，故B正确.由题图知，v－t图像中t3时刻物体3的速度等于物体4的速度，故C错误.s－t图像的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动，而t2时刻之前物体2沿正方向运动，t2时刻之后物体2沿负方向运动，故t2时刻物体2开始反向运动；v－t图像中速度的正负表示运动方向，物体4在0～t5这段时间内速度始终为正，故t4时刻物体4没有反向运动，故D错误.
考点一 速度与位移的关系vt2－v02＝2as
1.(2020·哈师大附中高一月考)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s增加到20 m/s时的位移为s，则当速度由20 m/s增加到40 m/s时，它的位移是( )
A.s B.2s C.3s D.4s
答案 D
解析 根据vt2－v02＝2as，速度由10 m/s增加到20 m/s时，(20 m/s)2－(10 m/s)2＝2as；速度由20 m/s增加到40 m/s时，(40 m/s)2－(20 m/s)2＝2as′，联立解得s′＝4s，选项D正确.
2.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车开始刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A.7 m/s2 B.17 m/s2 C.14 m/s2 D.3.5 m/s2
答案 A
解析 设汽车开始刹车时速度的方向为正方向，由02－v02＝2as得a＝eq \f(－v02,2s)＝－7 m/s2，A正确.
3.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.4∶1 D.2∶1
答案 B
解析 因两小车的末速度均为0，由vt2－v02＝2as得
eq \f(s1,s2)＝eq \f(v012,v022)＝eq \f(1,4)，选项B正确.
4.如图1所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则sAB∶sBC等于( )
图1
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
答案 C
解析 由vt2－v02＝2as得sAB＝eq \f(v2,2a)，sBC＝sAC－sAB＝eq \f(2v2,2a)－eq \f(v2,2a)＝eq \f(3v2,2a)，故sAB∶sBC＝1∶3，选项C正确.
5.(2020·湖北广水一中高一期末)一个小球从固定斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )
A.4 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.3eq \r(2) m/s
答案 D
考点二 v－t图像的综合应用
6.(多选)做直线运动的物体的v－t图像如图2所示.由图像可知( )
图2
A.前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B.15 s末物体回到出发点
C.前15 s内物体的位移为37.5 m
D.前10 s内的平均速度为2.5 m/s
答案 ACD
解析 在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s物体的加速度为a1＝eq \f(v10－v0,t1)＝eq \f(5－0,10) m/s2＝0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为a2＝eq \f(0－5,5) m/s2＝－1 m/s2，故A正确；v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在前15 s内的位移为s＝eq \f(1,2)×15×5 m＝37.5 m，前10 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(s1,t1)＝eq \f(\f(1,2)×10×5,10) m/s＝2.5 m/s，故B错误，C、D正确.
7.如图3所示，某物体的运动分三段，0～2 s为第Ⅰ段，2～4 s为第Ⅱ段，4～5 s为第Ⅲ段，则下列说法正确的是( )
图3
A.第1 s内与第5 s内的速度方向相反
B.第1 s内的加速度大于第5 s内的加速度
C.第Ⅰ段与第Ⅲ段的平均速度相等
D.第Ⅰ段与第Ⅲ段的加速度方向相同
答案 C
解析 0～5 s内速度均为正值，说明物体一直向正方向运动，A错误；第1 s内的加速度a1＝eq \f(4－0,2) m/s2＝2 m/s2，第5 s内的加速度a2＝eq \f(0－4,1) m/s2＝－4 m/s2，正负号表示加速度方向，B、D错误；第Ⅰ段的位移s1＝eq \f(1,2)×4×2 m＝4 m，第Ⅲ段的位移s3＝eq \f(1,2)×1×4 m＝2 m，平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(s1,t1)＝2 m/s，eq \x\t(v)3＝eq \f(s3,t3)＝eq \f(2 m,1 s)＝2 m/s，C正确.
8.(2021·哈尔滨四校高一上期中)有一质点从x轴的坐标原点开始沿x轴做直线运动，其速度随时间变化的图像如图4所示，下列四个选项的图像中，a表示质点运动的加速度，s表示质点的位移，其中正确的是( )
图4
答案 B
解析 由v－t图像可知，0～1 s内质点的加速度为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(2,1) m/s2＝2 m/s2，同理可得1～2 s内质点的加速度为－2 m/s2,2～3 s内质点的加速度为－3 m/s2,3～4 s内质点的加速度为3 m/s2，故A错误，B正确；位移—时间图线的斜率表示速度，质点做变速运动，则位移—时间图线应该是曲线，不是直线，故C、D错误.
9.(多选)物体甲的s－t图像和物体乙的v－t图像分别如图5甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是( )
图5
A.甲在0～6 s时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m
B.甲在0～6 s时间内平均速度为零
C.乙在0～6 s时间内通过的总位移为零
D.乙在0～6 s时间内加速度大小不变，方向发生了变化
答案 AC
解析 位移－时间图像中图线的斜率表示速度.题图甲中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，大小不为零，总位移为Δs＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；由题图乙可知，乙在0～6 s时间内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s时发生改变，v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s时间内通过的总位移为零，故C正确；在速度－时间图像中斜率表示加速度，题图乙中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D错误.
10.(多选)(2020·四川广安高一上检测)如图6所示是P、Q两质点从同一地点由静止开始运动的v－t图像，由图线可以判定( )
图6
A.P质点的速度越来越小
B.零时刻P质点的加速度为零
C.在0～t1时间内，P质点在Q质点前面
D.在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度
答案 CD
解析 在v－t图像中，图线上某一点的纵坐标代表此时刻质点的瞬时速度，从题图中可以看出在0～t1时间内，P质点的速度越来越大，故A错误；由于在v－t图像中，图线的切线斜率表示加速度，所以零时刻P质点的速度虽然为零，但是切线斜率(即加速度)不为零，故B错误；在v－t图像中，图线与横轴围成的面积表示位移，所以在0～t1时间内，P质点的位移大于Q质点的位移，因P、Q两质点从同一地点由静止开始运动，则P质点在Q质点前面，根据eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)可知，在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度，选项C、D正确.
11.如图7所示，木块A、B并排且固定在水平地面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图7
A.eq \f(2v1＋v2,3) B. eq \r(\f(2v12＋v22,3))
C. eq \r(\f(v12＋v22,3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹运动的加速度为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝2a·2L，两式联立可得v＝eq \r(\f(2v12＋v22,3))，故B正确.
12.如图8所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后，又匀减速地在水平面上滑过s2后停下，测得s2＝2s1，物体经过斜面与水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
图8
A.a1＝a2 B.a1＝2a2
C.a1＝eq \f(1,2)a2 D.a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为vt，对于匀加速直线运动阶段有：vt2＝2a1s1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维法有：vt2＝2a2s2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(s2,s1)＝2，即a1＝2a2，B正确.
13.如图9所示为一质点做直线运动的v－t图像.求：
图9
(1)前2 s和后4 s的加速度大小；
(2)从开始运动到停止的过程中，质点运动的平均速度大小.
答案 见解析
解析 (1)由题图可知，前2 s的加速度a1＝eq \f(Δv1,Δt1)＝3 m/s2，后4 s的加速度a2＝eq \f(Δv2,Δt2)＝－1.5 m/s2，即后4 s的加速度大小为1.5 m/s2.
(2)从开始运动到停止的过程中
质点位移s＝eq \f(v2,2a1)＋eq \f(－v2,2a2)＋vt2＝42 m
eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)＝eq \f(42,10) m/s＝4.2 m/s.
14.一列以60 m/s的速度匀速行驶的火车由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，火车从关闭发动机开始到速度减为20 m/s时共前进3 200 m.求：
(1)火车减速时加速度的大小；
(2)火车继续减速至停止还要前进多远的距离.
答案 (1)0.5 m/s2 (2)400 m
解析 (1)设火车减速时加速度为a，则对火车速度从60 m/s减为20 m/s的过程，有
a＝eq \f(vt2－v02,2s1)＝－0.5 m/s2
则火车减速时加速度的大小为0.5 m/s2.
(2)设火车继续减速s2的距离后停下，
则0－vt2＝2as2，s2＝eq \f(0－vt2,2a)＝400 m. 种类
内容
v－t图像
s－t图像
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点
表示相遇
相同点
表示物体做直线运动
速度与位移的关系
1.公式：vt2－v02＝2as.
2.推导：由速度公式vt＝v0＋at，位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2，得vt2－v02＝2as.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式vt2－v02＝2as适用于所有的直线运动.( × )
(2)确定公式vt2－v02＝2as中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.( √ )
(3)因为vt2－v02＝2as，则vt2＝v02＋2as，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0.( × )
(4)在公式vt2－v02＝2as中，a为矢量，与规定的正方向相反时a取负值.( √ )
2.航母上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“歼－15”战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s，若该飞机滑行100 m时起飞，假设跑道水平，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为 .
答案 40 m/s
解析 根据公式vt2－v02＝2as，
代入数据解得v0＝40 m/s.
一、速度与位移的关系
导学探究 如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？哪种方法较简单.
答案 方法一 由vt＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间t＝eq \f(v,a).
所以飞机起飞通过的位移为s＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(v2,2a).
方法二 由vt2－v02＝2as得s＝eq \f(v2,2a).
方法二较简单.
知识深化 对vt2－v02＝2as的理解
1.适用范围：仅适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：公式中v0、vt、a、s都是矢量，解题时一定要先规定正方向，一般取v0的方向为正方向：
(1)若做匀加速直线运动，a取正值，若做匀减速直线运动，a取负值.
(2)s＞0，位移的方向与初速度方向相同，s＜0则为减速到0，又反向运动到计时起点另一侧的位移.
(3)vt＞0，速度的方向与初速度方向相同，vt＜0则为减速到0，又反向运动的速度.
注意 应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.
3.公式的特点：不涉及时间，v0、vt、a、s中已知三个量可求第四个量.
一长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车通过隧道时的加速度大小；
(2)列车通过隧道所用的时间.
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)s＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
vt＝12 m/s，由vt2－v02＝2as得，
加速度a＝eq \f(vt2－v02,2s)＝0.02 m/s2.
(2)由vt＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(vt－v0,a)＝eq \f(12－10,0.02) s＝100 s.
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
1.如果题目中无位移s，也不让求s，一般选用速度公式vt＝v0＋at；
2.如果题目中无末速度vt，也不让求vt，一般选用位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2；
3.如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用速度和位移关系公式vt2－v02＝2as.
某型号航空母舰上装有帮助战斗机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当战斗机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞.设航空母舰处于静止状态.问：
(1)若要求该战斗机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使战斗机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号战斗机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少应为多长？
答案 (1)30 m/s (2)250 m
解析 (1)设弹射系统使战斗机具有的初速度为v0，由运动学公式vt2－v02＝2as
可知v0＝eq \r(vt2－2as)＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时，战斗机从静止开始做匀加速直线运动.由vt2＝2as′可知该舰身长至少应为s′＝eq \f(vt2,2a)＝250 m.
针对训练1 做匀加速直线运动的某物体，速度从v增加到3v时经过的位移是s，则它的速度从3v增加到5v时经过的位移是( )
A.eq \f(3,2)s B.eq \f(5,2)s C.s D.2s
答案 D
解析 根据速度－位移公式得(3v)2－v2＝2as，(5v)2－(3v)2＝2as′，联立两式解得s′＝2s.故选D.
二、v－t图像
1.利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移.“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差.通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和.
2.理解
(1)初速度为v0的匀加速直线运动的v－t图像如图1甲，其中v0t与矩形面积相等，eq \f(1,2)at2与三角形面积相等，所以s＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
(2)当物体做匀减速直线运动时，如图乙，公式中的a取负值.相当于从匀速直线运动的位移中“减去”了一部分.
图1
某一做直线运动的物体的v－t图像如图2所示，根据图像求：
图2
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程.
答案 (1)6 m (2)5 m (3)7 m
解析 (1)物体距出发点最远的距离sm＝eq \f(1,2)v1t1＝eq \f(1,2)×4×3 m＝6 m；
(2)前4 s内物体的位移s＝s1－s2＝eq \f(1,2)v1t1－eq \f(1,2)v2t2＝eq \f(1,2)×4×3 m－eq \f(1,2)×2×1 m＝5 m；
(3)前4 s内物体通过的路程s′＝|s1|＋|s2|＝eq \f(1,2)×4×3 m＋eq \f(1,2)×2×1 m＝7 m.
针对训练2 如图3是一物体做直线运动的v－t图像，由图可知，该物体( )
图3
A.0～2 s内和0～4 s内的位移不相等
B.0～2 s内和0～4 s内的平均速度大小不相等
C.第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D.第3 s内和第4 s内的加速度不相同
答案 B
解析 0～2 s内物体的位移s2＝eq \f(1＋2×1,2) m＝1.5 m，则平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(s2,t2)＝0.75 m/s；0～4 s内物体的位移s4＝1.5 m＝s2，则平均速度eq \x\t(v)4＝eq \f(s4,t4)＝0.375 m/s，A错，B对.第1 s内和第4 s内位移大小均为0.5 m，C错.第3 s内和第4 s内加速度均为－1 m/s2，D错.
(2020·广元天立国际学校高二月考)有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的s－t图像如图4甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示.根据图像做出的以下判断中正确的是( )
图4
A.物体A和B均做匀变速直线运动
B.在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小
C.t＝3 s时，物体C、D的位移相同
D.在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大
答案 D
解析 由题图甲看出：物体A和B的位移－时间图像都是倾斜的直线，斜率都不变，速度都不变，说明两物体都做匀速直线运动，故A错误；由题图甲看出，在0～3 s的时间内，物体A的位移都大于B的位移，且从图像上可以看出两者之间的距离一直在增大，故B错；由题图乙可以看出C、D两物体的图线在t＝3 s交于一点，所以此时速度一定相同，但是由于两物体的速度不是一直相同，位移不相同，故C错；由题图乙看出：前3 s内，D的速度较大，C、D间距离增大，故D对.
s－t图像与v－t图像的比较
针对训练3 在如图5所示的s－t图像和v－t图像中，给出的四条曲线1、2、3、4分别代表四个不同物体的运动情况，则下列说法正确的是( )
图5
A.图线1、3表示物体做曲线运动
B.s－t图像中0～t1时间内物体1和2的平均速度相等
C.v－t图像中t3时刻物体3的速度大于物体4的速度
D.两图像中t2、t4时刻分别表示物体2和4开始反向运动
答案 B
解析 运动图像反映物体的运动规律，不是运动轨迹，无论速度—时间图像还是位移—时间图像，只能表示物体做直线运动，故A错误.s－t图像中0～t1时间内物体1和2通过的位移相等，所用时间相等，则平均速度相等，故B正确.由题图知，v－t图像中t3时刻物体3的速度等于物体4的速度，故C错误.s－t图像的斜率表示物体的速度，斜率大于0，表示物体沿正方向运动；斜率小于0，表示物体沿负方向运动，而t2时刻之前物体2沿正方向运动，t2时刻之后物体2沿负方向运动，故t2时刻物体2开始反向运动；v－t图像中速度的正负表示运动方向，物体4在0～t5这段时间内速度始终为正，故t4时刻物体4没有反向运动，故D错误.
考点一 速度与位移的关系vt2－v02＝2as
1.(2020·哈师大附中高一月考)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s增加到20 m/s时的位移为s，则当速度由20 m/s增加到40 m/s时，它的位移是( )
A.s B.2s C.3s D.4s
答案 D
解析 根据vt2－v02＝2as，速度由10 m/s增加到20 m/s时，(20 m/s)2－(10 m/s)2＝2as；速度由20 m/s增加到40 m/s时，(40 m/s)2－(20 m/s)2＝2as′，联立解得s′＝4s，选项D正确.
2.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车开始刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A.7 m/s2 B.17 m/s2 C.14 m/s2 D.3.5 m/s2
答案 A
解析 设汽车开始刹车时速度的方向为正方向，由02－v02＝2as得a＝eq \f(－v02,2s)＝－7 m/s2，A正确.
3.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.4∶1 D.2∶1
答案 B
解析 因两小车的末速度均为0，由vt2－v02＝2as得
eq \f(s1,s2)＝eq \f(v012,v022)＝eq \f(1,4)，选项B正确.
4.如图1所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则sAB∶sBC等于( )
图1
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
答案 C
解析 由vt2－v02＝2as得sAB＝eq \f(v2,2a)，sBC＝sAC－sAB＝eq \f(2v2,2a)－eq \f(v2,2a)＝eq \f(3v2,2a)，故sAB∶sBC＝1∶3，选项C正确.
5.(2020·湖北广水一中高一期末)一个小球从固定斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )
A.4 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.3eq \r(2) m/s
答案 D
考点二 v－t图像的综合应用
6.(多选)做直线运动的物体的v－t图像如图2所示.由图像可知( )
图2
A.前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2
B.15 s末物体回到出发点
C.前15 s内物体的位移为37.5 m
D.前10 s内的平均速度为2.5 m/s
答案 ACD
解析 在v－t图像中，图线斜率表示加速度，故前10 s物体的加速度为a1＝eq \f(v10－v0,t1)＝eq \f(5－0,10) m/s2＝0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为a2＝eq \f(0－5,5) m/s2＝－1 m/s2，故A正确；v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移，故物体在前15 s内的位移为s＝eq \f(1,2)×15×5 m＝37.5 m，前10 s内的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(s1,t1)＝eq \f(\f(1,2)×10×5,10) m/s＝2.5 m/s，故B错误，C、D正确.
7.如图3所示，某物体的运动分三段，0～2 s为第Ⅰ段，2～4 s为第Ⅱ段，4～5 s为第Ⅲ段，则下列说法正确的是( )
图3
A.第1 s内与第5 s内的速度方向相反
B.第1 s内的加速度大于第5 s内的加速度
C.第Ⅰ段与第Ⅲ段的平均速度相等
D.第Ⅰ段与第Ⅲ段的加速度方向相同
答案 C
解析 0～5 s内速度均为正值，说明物体一直向正方向运动，A错误；第1 s内的加速度a1＝eq \f(4－0,2) m/s2＝2 m/s2，第5 s内的加速度a2＝eq \f(0－4,1) m/s2＝－4 m/s2，正负号表示加速度方向，B、D错误；第Ⅰ段的位移s1＝eq \f(1,2)×4×2 m＝4 m，第Ⅲ段的位移s3＝eq \f(1,2)×1×4 m＝2 m，平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(s1,t1)＝2 m/s，eq \x\t(v)3＝eq \f(s3,t3)＝eq \f(2 m,1 s)＝2 m/s，C正确.
8.(2021·哈尔滨四校高一上期中)有一质点从x轴的坐标原点开始沿x轴做直线运动，其速度随时间变化的图像如图4所示，下列四个选项的图像中，a表示质点运动的加速度，s表示质点的位移，其中正确的是( )
图4
答案 B
解析 由v－t图像可知，0～1 s内质点的加速度为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(2,1) m/s2＝2 m/s2，同理可得1～2 s内质点的加速度为－2 m/s2,2～3 s内质点的加速度为－3 m/s2,3～4 s内质点的加速度为3 m/s2，故A错误，B正确；位移—时间图线的斜率表示速度，质点做变速运动，则位移—时间图线应该是曲线，不是直线，故C、D错误.
9.(多选)物体甲的s－t图像和物体乙的v－t图像分别如图5甲、乙所示，则关于这两个物体的运动情况，下列说法正确的是( )
图5
A.甲在0～6 s时间内运动方向不变，它通过的总位移大小为4 m
B.甲在0～6 s时间内平均速度为零
C.乙在0～6 s时间内通过的总位移为零
D.乙在0～6 s时间内加速度大小不变，方向发生了变化
答案 AC
解析 位移－时间图像中图线的斜率表示速度.题图甲中图线的斜率不变，知甲运动的速度不变，大小不为零，总位移为Δs＝2 m－(－2 m)＝4 m，故A正确，B错误；由题图乙可知，乙在0～6 s时间内，先向负方向做匀减速直线运动，后向正方向做匀加速直线运动，速度的方向在第3 s时发生改变，v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，则乙在0～6 s时间内通过的总位移为零，故C正确；在速度－时间图像中斜率表示加速度，题图乙中图线的斜率不变，知乙的加速度大小不变，方向也未发生改变，故D错误.
10.(多选)(2020·四川广安高一上检测)如图6所示是P、Q两质点从同一地点由静止开始运动的v－t图像，由图线可以判定( )
图6
A.P质点的速度越来越小
B.零时刻P质点的加速度为零
C.在0～t1时间内，P质点在Q质点前面
D.在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度
答案 CD
解析 在v－t图像中，图线上某一点的纵坐标代表此时刻质点的瞬时速度，从题图中可以看出在0～t1时间内，P质点的速度越来越大，故A错误；由于在v－t图像中，图线的切线斜率表示加速度，所以零时刻P质点的速度虽然为零，但是切线斜率(即加速度)不为零，故B错误；在v－t图像中，图线与横轴围成的面积表示位移，所以在0～t1时间内，P质点的位移大于Q质点的位移，因P、Q两质点从同一地点由静止开始运动，则P质点在Q质点前面，根据eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)可知，在0～t1时间内，P质点的平均速度大于Q质点的平均速度，选项C、D正确.
11.如图7所示，木块A、B并排且固定在水平地面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图7
A.eq \f(2v1＋v2,3) B. eq \r(\f(2v12＋v22,3))
C. eq \r(\f(v12＋v22,3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹运动的加速度为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝2a·2L，两式联立可得v＝eq \r(\f(2v12＋v22,3))，故B正确.
12.如图8所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后，又匀减速地在水平面上滑过s2后停下，测得s2＝2s1，物体经过斜面与水平面交接处时速度大小不变，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为( )
图8
A.a1＝a2 B.a1＝2a2
C.a1＝eq \f(1,2)a2 D.a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为vt，对于匀加速直线运动阶段有：vt2＝2a1s1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维法有：vt2＝2a2s2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(s2,s1)＝2，即a1＝2a2，B正确.
13.如图9所示为一质点做直线运动的v－t图像.求：
图9
(1)前2 s和后4 s的加速度大小；
(2)从开始运动到停止的过程中，质点运动的平均速度大小.
答案 见解析
解析 (1)由题图可知，前2 s的加速度a1＝eq \f(Δv1,Δt1)＝3 m/s2，后4 s的加速度a2＝eq \f(Δv2,Δt2)＝－1.5 m/s2，即后4 s的加速度大小为1.5 m/s2.
(2)从开始运动到停止的过程中
质点位移s＝eq \f(v2,2a1)＋eq \f(－v2,2a2)＋vt2＝42 m
eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)＝eq \f(42,10) m/s＝4.2 m/s.
14.一列以60 m/s的速度匀速行驶的火车由于遇到突发事故而关闭发动机做匀减速直线运动，火车从关闭发动机开始到速度减为20 m/s时共前进3 200 m.求：
(1)火车减速时加速度的大小；
(2)火车继续减速至停止还要前进多远的距离.
答案 (1)0.5 m/s2 (2)400 m
解析 (1)设火车减速时加速度为a，则对火车速度从60 m/s减为20 m/s的过程，有
a＝eq \f(vt2－v02,2s1)＝－0.5 m/s2
则火车减速时加速度的大小为0.5 m/s2.
(2)设火车继续减速s2的距离后停下，
则0－vt2＝2as2，s2＝eq \f(0－vt2,2a)＝400 m. 种类
内容
v－t图像
s－t图像
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点
表示相遇
相同点
表示物体做直线运动
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