高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第二章 圆周运动本章综合与测试导学案及答案

这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第二章 圆周运动本章综合与测试导学案及答案，共16页。


一、竖直面内的圆周运动
1．竖直面内圆周运动的轻绳模型
如图1所示，图甲中小球受绳拉力和重力作用，图乙中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动．小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心，我们称这类运动为轻绳模型．
图1
(1)最低点
F－mg＝meq \f(v12,r)
所以F＝mg＋meq \f(v12,r)
F为绳的拉力(或轨道的支持力)．
(2)最高点
①v2＝eq \r(gr)时，mg＝meq \f(v22,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零．
②v2meq \f(v22,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点．
③v2>eq \r(gr)时，mg(3)临界状态
小球在最高点时，绳子拉力(或轨道的压力)为零，小球只受重力．重力提供向心力，由mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)，这是小球能通过最高点的最小速度．
如图2所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
图2
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值．
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 eq \r(2) m/s
解析 (1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝meq \f(v12,L)，解得v1＝eq \r(gL)＝2 m/s.
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝meq \f(v22,L)，解得FT＝15 N.
(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝eq \f(mv32,L)，将FT′＝45 N代入解得v3＝4eq \r(2) m/s，即小球运动过程中速度的最大值为4eq \r(2) m/s.
2．竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
如图3所示，细杆上固定的小球和光滑圆形管道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下既不能做近心运动，又不能做离心运动，这类运动称为轻杆模型．
图3
(1)最低点(与轻绳模型、凹形桥最低点动力学方程相同)
F－mg＝meq \f(v2,r)
所以F＝mg＋meq \f(v2,r).
(2)最高点
①v＝eq \r(gr)时，mg＝meq \f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力．
②vmeq \f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力，mg－F＝meq \f(v2,r)，即F＝mg－meq \f(v2,r)，v越大，F越小．
③v>eq \r(gr)时，mg(3)v＝eq \r(gr)是杆上没有弹力的临界条件，也是杆的弹力为支持力还是拉力的分界点；因为有杆的支撑，小球通过最高点的临界速度为0.
长L＝0.5 m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A.A的质量为m＝2 kg.当A通过最高点时，如图4所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：
图4
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s.
答案 (1)16 N，方向向下 (2)44 N，方向向上
解析 设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg＝meq \f(v02,L)，代入数据解得v0＝eq \r(gL)＝eq \r(5) m/s.
(1)当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因v1(2)当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg＋F2＝meq \f(v22,L)，代入数据解得F2＝44 N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上．
易错提醒 求物体对轨道(杆)的压力，或对绳(杆)的拉力时，先根据牛顿第二定律求出轨道(杆)对物体的支持力或绳(杆)对物体的拉力，再根据牛顿第三定律，求出物体对轨道(杆)的压力或对绳(杆)的拉力．
二、圆周运动的临界问题
物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．
圆周运动常见的临界问题：
(1)在轻绳模型中，若小球恰好通过最高点，则在最高点时有mg＝meq \f(v2,r)，v＝eq \r(gr).
(2)在轻杆模型中，若小球恰好通过最高点，则在最高点时有v＝0；通过最高点时杆恰好无弹力，则有mg＝meq \f(v2,r)，v＝eq \r(gr).
(3)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值．
(4)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.
(5)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值．
(2019·双峰一中高一下期末)如图5所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是( )
图5
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
答案 C
解析 A、B、C三物体角速度相同，a＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，fB＝mω2R，fC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好开始滑动时，kmg＝mω2r，ω＝eq \r(\f(kg,r))，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选项C正确，D错误．
如图6所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方eq \f(4,3)r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.
图6
(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值．
答案 (1)eq \r(\f(μg,r)) (2)eq \r(\f(3g,4r))
解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12，解得：ω1＝eq \r(\f(μg,r)).
(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ＝mω22r
tan θ＝eq \f(3,4)
联立解得：ω2＝ eq \r(\f(3g,4r)).
1.(轻绳模型)(多选)如图7所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g)( )
图7
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C．小球的线速度大小等于eq \r(gR)
D．小球的向心加速度大小等于g
答案 BCD
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝meq \f(v2,R)＝ma，即v＝eq \r(gR)，a＝g，选项B、C、D正确．
2.(轻杆模型)如图8所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝eq \r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O点的距离，g是重力加速度，则球对杆的作用力是( )
图8
A.eq \f(1,2)mg的拉力 B.eq \f(1,2)mg的压力
C．零 D.eq \f(3,2)mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝meq \f(v′2,L)，解得：v′＝eq \r(gL)，而eq \r(\f(1,2)gL)3．(圆周运动的临界问题)(2019·北京十一学校期末)一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图9所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)( )
图9
A.eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,h)) B．πeq \r(gh) C.eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l)) D．2πeq \r(\f(l,g))
答案 A
解析 如图所示，设细绳与转动轴夹角为θ，当小球即将离开水平面时FN＝0，转速n有最大值，则mgtan θ＝m(2πnmax)2htan θ，nmax＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,h))，故A正确，B、C、D错误．
4.(圆周运动的临界问题)如图10所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，结果可用根式表示)
图10
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
答案 (1)eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s (2)2eq \r(5) rad/s
解析 (1)若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mω02lsin θ
解得ω0＝eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s
(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω′2lsin α
解得ω′＝eq \r(\f(g,lcs α))＝2eq \r(5) rad/s
考点一 竖直面内的圆周运动
1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图1所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
图1
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝eq \r(gL)＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
2.(多选)如图2所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
图2
A．若v0＝eq \r(gR)，则小球对管内壁无压力
B．若v0>eq \r(gR)，则小球对管内上壁有压力
C．若0 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力
答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq \f(v02,R)，解得v0＝eq \r(gR)，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0＞eq \r(gR)，则有mg＋FN＝meq \f(v02,R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0＜v0＜eq \r(gR)，则有mg－FN＝meq \f(v02,R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误．
3．(多选)(2019·双峰一中高一下期末)如图3所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，关于小球在最高点的速度v，下列说法正确的是( )
图3
A．v的最小值为eq \r(gl)
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由eq \r(gl)逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由eq \r(gl)逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
答案 BCD
解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的最小值是零，故A错误．v由零逐渐增大，由向心力公式F＝eq \f(mv2,l)可知，F也增大，故B正确．当v＝eq \r(gl)时，F＝eq \f(mv2,l)＝mg，此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞eq \r(gl)时，杆对球的力为拉力，由mg＋FT＝eq \f(mv2,l)可得FT＝meq \f(v2,l)－mg，则当v由eq \r(gl)逐渐增大时，拉力FT逐渐增大；当v＜eq \r(gl)时，杆对球的力为支持力，由mg－FN＝eq \f(mv2,l)可得FN＝mg－eq \f(mv2,l)，当v由eq \r(gl)逐渐减小时，支持力FN逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C、D正确．
4．某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，重力加速度为g，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( )
A．mg B．2mg
C．mg＋eq \f(mv2,R) D．2eq \f(mv2,R)
答案 B
解析 在最高点有：F1＋mg＝meq \f(v2,R)，解得：F1＝meq \f(v2,R)－mg；在最低点有：F2－mg＝meq \f(v2,R)，解得：F2＝mg＋meq \f(v2,R).所以由牛顿第三定律可知，F2′－F1′＝F2－F1＝2mg，B正确．
考点二 圆周运动的临界问题
5.如图4所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是( )
图4
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力的作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
答案 B
解析 物块做匀速圆周运动，受重力、支持力和静摩擦力，故A错误，B正确；根据向心力公式F＝mω2r可知，当ω一定时，半径越大，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，故C错误；根据向心力公式F＝mreq \f(4π2,T2)可知，当r一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，故D错误．
6.(多选)如图5所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
图5
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝eq \r(\f(kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案 AC
解析 a、b最大静摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时，kmg＝mω2·2l，ω＝eq \r(\f(kg,2l))，C项正确；当ω＝eq \r(\f(kg,3l))时，对a：f＝mlω2＝mleq \f(kg,3l)＝eq \f(1,3)kmg，D项错误．
7.(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一竖直轻质细杆的A点和B点，如图6所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平方向成θ角，b绳沿水平方向且长为l，则下列说法正确的是( )
图6
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>eq \r(\f(g,ltan θ))时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
解析 对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝eq \f(mg,sin θ)，为定值，A正确，B错误；当FTacs θ＝mω2l即ω＝eq \r(\f(g,ltan θ))时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误．
8.(多选)如图7所示，在水平转台上放一个质量为M＝2 kg 的木块，它与转台间的最大静摩擦力为fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量为m＝1.0 kg 的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可能是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
图7
A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
答案 BCD
解析 当木块有远离轴心运动的趋势时，
有：mg＋fmax＝Mω2rmax
当木块有靠近轴心运动的趋势时，
有：mg－fmax＝Mω2rmin
解得：rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m
即0.08 m≤r≤0.32 m，
故木块到O点的距离可能是B、C、D.
9．(多选)如图8所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在轨道上，四幅图中轨道的半径都为R，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图8
A．图甲中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．图乙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C．图丙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．图丁中，轨道车通过轨道最高点的最小速度为eq \r(gR)
答案 BC
解析 在题图甲中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg－FN＝meq \f(v2,R)，即座椅给人施加向上的力，当速度大小为eq \r(gR)时，人只受重力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg＋F＝meq \f(v2,R)，即座椅上的安全带给人施加向下的力，故A错误；在题图乙中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带一定给人向上的力，故B正确；在题图丙中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C正确；在题图丁中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D错误．
10．(多选)(2020·烟台二中高一月考)如图9所示，轻杆一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球．给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图9
A．小球在最高点时对杆的作用力为零
B．小球在最高点时对杆的作用力大小为mg
C．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大
D．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大
答案 BD
解析 以小球为研究对象，设在最高点时杆对小球的作用力大小为F，方向竖直向上，小球刚好能通过最高点P，速度为零，根据牛顿第二定律得，mg－F＝eq \f(mv2,r)＝0，即有F＝mg，再由牛顿第三定律得，小球在最高点时对杆的作用力大小也为mg，方向竖直向下，故A错误，B正确；对于小球，在最高点时：若veq \r(gr)，杆对球的作用力方向竖直向下，由mg＋F＝eq \f(mv2,r)，得F＝eq \f(mv2,r)－mg，当速度v增大时，杆对球的作用力F增大，则球对杆的力增大，故D正确．
11．(2019·六安一中期中)如图10所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置用平直细线相连的质量相等的两物体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速增大到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则两个物体将要发生的运动情况是( )
图10
A．两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
B．只有A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
C．两物体均沿半径方向滑动，A靠近圆心、B远离圆心
D．两物体均沿半径方向滑动，A、B都远离圆心
答案 B
解析 当两物体刚要滑动时，A、B所受静摩擦力都是最大静摩擦力fm.对A有fm－FT＝mω2rA，对B有fm＋FT＝mω2rB，烧断细线的瞬间，FT消失，A的向心力由圆盘的静摩擦力提供，且f＝mω2rA12．(多选)(2019·蛟河一中高一月考)如图11所示，用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的甲、乙两物块(均可视为质点)，放置在水平圆盘上，甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲、乙两物块的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
图11
A．圆盘转动的角速度最大为eq \r(\f(3μg,2L))
B．圆盘转动的角速度最大为eq \r(\f(2μg,3L))
C．轻绳最大弹力为eq \f(1,3)μmg
D．轻绳最大弹力为μmg
答案 BC
解析 当ω较小时，甲、乙均由静摩擦力充当向心力，ω增大，由F＝mω2r可知，它受到的静摩擦力也增大，而r甲＝L，r乙＝2L，r甲对甲：μmg－FT＝mω2L，解得FT＝eq \f(1,3)μmg；
故圆盘转动的角速度最大为 eq \r(\f(2μg,3L))， 轻绳弹力最大为eq \f(1,3)μmg，故选B、C.
13.如图12所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B从水平地面上以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg.g为重力加速度，忽略空气阻力，求A、B两球落地点间的距离．
图12
答案 3R
解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球，由牛顿第二定律得
3mg＋mg＝meq \f(vA2,R)
解得A球通过最高点C时的速度大小为vA＝2eq \r(gR)
对B球，由牛顿第二定律得
mg－0.75mg＝meq \f(vB2,R)
解得B球通过最高点C时的速度大小为vB＝eq \f(\r(gR),2)
A、B球做平抛运动的时间相同，由2R＝eq \f(1,2)gt2可得t＝eq \r(\f(2×2R,g))＝2eq \r(\f(R,g))
两球做平抛运动的水平位移分别为
xA＝vAt＝4R
xB＝vBt＝R
A、B两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R.
14．(多选)如图13甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示．则( )
图13
A．小球的质量为eq \f(aR,b)
B．当地的重力加速度大小为eq \f(R,b)
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
答案 ACD
解析 当小球受到的弹力方向向下时，有F＋mg＝eq \f(mv2,R)，解得F＝eq \f(m,R)v2－mg；当弹力方向向上时，有mg－F＝meq \f(v2,R)，解得F＝mg－meq \f(v2,R).对比F－v2图像可知，a＝mg，当v2＝b时，F＝0，可得b＝gR，则g＝eq \f(b,R)，m＝eq \f(aR,b)，A正确，B错误；v2＝c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确；v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等，D正确．