2020-2021学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷_20211022215939

这是一份2020-2021学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷_20211022215939，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|2x+3＞7}，B＝{x|1﹣x＞3}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞﹣2} D．{x|x＜2}
2．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x3﹣1，则f（﹣2）＝（　　）
A．13 B．11 C．﹣13 D．﹣11
3．（5分）已知α为第二象限角，则为（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．（5分）函数f（x）＝5x+x﹣19的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．（5分）为了得到函数的图象，只需将函数g（x）＝2tan2x的图象（　　）
A．向上移动个单位长度 B．向上移动个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣3+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（m，n），则（　　）
A．logmn＞lognm B．2m＜3n
C．2log2m＜3log3n D．mm＜nn
7．（5分）在△ABC中，＝，则＝（　　）
A．+ B．+ C．+ D．+
8．（5分）函数f（x）＝sinx•ln|x|的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知向量，的夹角为，且|+2|＝，||＝1，则||＝（　　）
A． B．1 C． D．2
10．（5分）某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数H（t）与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：H（t）＝ekt+λ.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20．打某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（　　）
A．44 B．48 C．80 D．125
11．（5分）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，2] B．（0，2] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
12．（5分）已知A，B为圆O上不重合的两个点，C为圆O上任意一点，且2+3+k＝，则k2的取值范围是（　　）
A．[1，5） B．[1，25） C．[4，25） D．[5，25）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知平面向量＝（2，3），＝（15，x），若⊥，则x＝　 　．
14．（5分）幂函数y＝f（x）的图象经过点P（9，3），则f（36）＝　 　．
15．（5分）已知，且sinα＝，则cosβ＝　 　．
16．（5分）已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量＝（1，3），＝（3，2）．
（1）求•（+2）的值；
（2）若（+λ）∥（λ+），求实数λ的值．
18．（12分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间上的最大值．

19．（12分）已知α为锐角，．
（1）求tanα的值；
（2）求sin2α﹣cos2α+cos2α的值．
20．（12分）已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间[1，4]的最小值为﹣2．
（1）求a的值；
（2）若函数存在零点，求m的取值范围．
21．（12分）已知函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先将函数y＝f（x）图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）在区间有且只有一个x0，使得g（x0）取得最大值，求α的取值范围．
22．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2ex．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（3x﹣1）+f（5﹣ax）﹣（a﹣3）x+4＞0的解集．

2020-2021学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|2x+3＞7}，B＝{x|1﹣x＞3}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x＜﹣2或x＞2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞﹣2} D．{x|x＜2}
【分析】先求出集合A，B，然后利用集合并集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|2x+3＞7}＝{x|x＞2}，B＝{x|1﹣x＞3}＝{x|x＜﹣2}，
所以A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞2}．
故选：A．
2．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x3﹣1，则f（﹣2）＝（　　）
A．13 B．11 C．﹣13 D．﹣11
【分析】根据题意，求出f（2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x+x3﹣1，
则f（2）＝4+8﹣1＝11，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣11，
故选：D．
3．（5分）已知α为第二象限角，则为（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【分析】由α是第二象限角，推导出为第三象限角．
【解答】解：∵α是第二象限角，
∴+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，
∴﹣π+2kπ＜＜﹣+2kπ，k∈Z．
∴为第三象限角．
故选：C．
4．（5分）函数f（x）＝5x+x﹣19的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝5x+x﹣19是连续函数且单调递增，
∵f（1）＝5+1﹣19＝﹣13＜0，
f（2）＝25+2﹣19＝8＞0
∴f（1）f（2）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在（1，2）．
故选：B．
5．（5分）为了得到函数的图象，只需将函数g（x）＝2tan2x的图象（　　）
A．向上移动个单位长度 B．向上移动个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：只需将函数g（x）＝2tan2x的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选：D．
6．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣3+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（m，n），则（　　）
A．logmn＞lognm B．2m＜3n
C．2log2m＜3log3n D．mm＜nn
【分析】根据指数函数的图象与性质求出f（x）的图象所过定点坐标，得出m、n的值，再判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：函数f（x）＝ax﹣3+1中，令x﹣3＝0，解得x＝3，
所以y＝f（3）＝a0+1＝2，
所以f（x）的图象恒过定点（3，2），所以m＝3，n＝2，
对于A，logmn＝log32＜log23＝lognm，所以A错误；
对于B，2m＝8，3n＝9，所以2m＜3n，选项B正确；
对于C，2log2m＝2log23＝log29＞3log3n＝log323，所以C错误；
对于D，mm＝33＞22＝nn，所以D错误．
故选：B．
7．（5分）在△ABC中，＝，则＝（　　）
A．+ B．+ C．+ D．+
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量运算法则进行化简即可．
【解答】解：∵＝，
∴﹣+5（﹣）＝，
即6＝5+，
即＝+，
故选：A．
8．（5分）函数f（x）＝sinx•ln|x|的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号进行判断即可．
【解答】解：函数的定义域是{x|x≠0}，
f（﹣x）＝sin（﹣x）ln|﹣x|＝﹣sinxln|x|＝﹣f（x），
则f（x）是奇函数，排除AC，
当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除B，
故选：D．
9．（5分）已知向量，的夹角为，且|+2|＝，||＝1，则||＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据题意，设||＝t，由数量积的计算公式可得|+2|2＝1+4t2+4tcos＝3，解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设||＝t，
若向量，的夹角为，且||＝1，则|+2|2＝1+4t2+4tcos＝3，
解可得：t＝或﹣1（舍），
故t＝，
故选：C．
10．（5分）某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数H（t）与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：H（t）＝ekt+λ.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20．打某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（　　）
A．44 B．48 C．80 D．125
【分析】由已知可得H（5）＝8，H（8）＝20，联立求得e3k，采用整体运算求解H（14）得答案．
【解答】解：依题意得，H（5）＝e5k+λ＝8，H（8）＝e8k+λ＝20，
，
∴H（14）＝e14k+λ＝．
故某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为125人．
故选：D．
11．（5分）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，2] B．（0，2] C．[0，+∞） D．[2，+∞）
【分析】根据对数函数的性质，结合函数值域转化为不等式关系进行求解即可．
【解答】解：若f（x）的值域为R，
则y＝ax2+4x+2能取所有的正数，
设y＝ax2+4x+2的值域为A，
则（0，+∞）⊆A，
当a＝0时，y＝4x+2的值域为R，满足条件（0，+∞）⊆A，
当a≠0时，要使（0，+∞）⊆A，则满足，
即，即0＜a≤2，
综上0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0，2]，
故选：A．
12．（5分）已知A，B为圆O上不重合的两个点，C为圆O上任意一点，且2+3+k＝，则k2的取值范围是（　　）
A．[1，5） B．[1，25） C．[4，25） D．[5，25）
【分析】设圆的半径为1，＜，＞＝θ，利用平方法，结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】解：设圆的半径为1，＜，＞＝θ，∵A，B为圆O上不重合的两个点，
∴0＜θ≤π，
由2+3+k＝，得﹣k＝2+3，平方得k2＝4+9+12•＝13+12cosθ，
∵0＜θ≤π，∴﹣1≤cosθ＜1，
即，﹣12≤12cosθ＜12，则，∴1≤13+12cosθ＜25，
即1≤k2＜25，
即k2的取值范围是[1，25），
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（5分）已知平面向量＝（2，3），＝（15，x），若⊥，则x＝　﹣10　．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，
【解答】解：∵平面向量＝（2，3），＝（15，x），且⊥，
∴•＝2×15+3x＝0，求得x＝﹣10，
故答案为：﹣10．
14．（5分）幂函数y＝f（x）的图象经过点P（9，3），则f（36）＝　6　．
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算f（36）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，
因为函数图象过点P（9，3），
所以9α＝3，解得α＝，
所以f（x）＝，
所以f（36）＝＝6．
故答案为：6．
15．（5分）已知，且sinα＝，则cosβ＝　　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cos（α+β）的值，进而根据β＝（α+β）﹣α，利用两角差的余弦函数公式即可求解．
【解答】解：∵，
∴α+β∈（0，π），
又∵sin（α+β）＝＜sinα＝，
∴α+β∈（，π），
∵sinα＝，sin（α+β）＝，
∴cosα＝＝＝，cos（α+β）＝﹣＝﹣＝﹣．
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝．
故答案是：．
16．（5分）已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是　　．
【分析】利用函数的解析式以及奇偶性和周期性，作出函数f（x）的图象，由图象分析得到关于a的不等关系，求解即可得到答案．
【解答】解：依题意可作出f（x）在[﹣4，5]上的图象，如图所示．

因为a＜a+，
由图可知，
解得﹣≤a＜0，
故a的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知向量＝（1，3），＝（3，2）．
（1）求•（+2）的值；
（2）若（+λ）∥（λ+），求实数λ的值．
【分析】（1）由已知求得（+2）的坐标，再由数量积求解；
（2）由已知求得（+λ）与（λ+）的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求得实数λ的值．
【解答】解：（1）∵＝（1，3），＝（3，2），
∴，则•（+2）＝（1，3）•（7，7）＝1×7+3×7＝28；
（2）（+λ）＝（1+3λ，3+2λ），（λ+）＝（λ+3，3λ+2），
∵（+λ）∥（λ+），∴（1+3λ）（3λ+2）﹣（3+2λ）（λ+3）＝0，
整理得：λ2＝1，即λ＝±1．
18．（12分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间上的最大值．

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．
【解答】解：（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得b+A＝1，b﹣A＝﹣3，求得A＝2，b＝﹣1．
×＝+，∴ω＝1．
再根据五点法作图可得1×（﹣）+φ＝，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin（x+）﹣1．
（2）当x∈，x+∈[，]，故当x+＝时，
函数f（x）取得最大值为2×﹣1＝0．
19．（12分）已知α为锐角，．
（1）求tanα的值；
（2）求sin2α﹣cos2α+cos2α的值．
【分析】（1）直接根据同角三角函数基本关系式求解即可，
（2）直接根据二倍角公式以及同角三角函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）因为α为锐角，所以．
又，所以，
所以.，
解得tanα＝7．
（2）sin2α﹣cos2α+cos2α＝2sinαcosα﹣cos2α+sin2α+cos2α＝＝＝＝．
20．（12分）已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在区间[1，4]的最小值为﹣2．
（1）求a的值；
（2）若函数存在零点，求m的取值范围．
【分析】（1）直接对a分类讨论，利用函数的单调性求最值，即可得到满足条件的a值；
（2）利用函数的单调性求出函数g（x）的范围，再由题意可得关于m的不等式，求解得答案．
【解答】解：（1）若a＞1，则f（x）＝logax在区间[1，4]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝0，不符合条件；
若0＜a＜1，则f（x）＝logax在区间[1，4]上单调递减，f（x）min＝f（4）＝loga4＝﹣2，解得a＝．
综上，a＝．
（2）由题意可知，＝，
∵＞，∴＜．
∵函数存在零点，∴3+m＞0，即m＞﹣3．
故m的取值范围为（﹣3，+∞）．
21．（12分）已知函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先将函数y＝f（x）图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）在区间有且只有一个x0，使得g（x0）取得最大值，求α的取值范围．
【分析】（1）利用三角函数关系式的变换和，进一步求出函数的关系式；
（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用及函数的取值范围的讨论，求出α的取值范围．
【解答】解：（1）函数函数，
＝
＝cos（2ωx+）+sin（2ωx+）
＝cos2ωx，
且，
解得ω＝1，
所以f（x）＝cos2x；
（2）由题意可知：g（x）＝2cos2（x﹣）＝2cos（2x﹣）．
由于g（x）在区间有且只有一个x0，使得g（x0）取得最大值，
所以0＜2α≤2π，即0＜α≤π．
由于，所以2x﹣，
则，即时，，
故．
当，即，，
故α∈∅．
综上所述：α的取值范围为（．
22．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2ex．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（3x﹣1）+f（5﹣ax）﹣（a﹣3）x+4＞0的解集．
【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可．
（2）利用作商法判断函数的单调性，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2ex，
所以当x＜0，即﹣x＞0时，有f（﹣x）＝（﹣x）2e﹣x＝﹣f（x），
故f（x）＝﹣x2e﹣x，
则f（x）＝．
（2）当x＞0时，f（x）＞0，任取x1＞x2＞0，
则＝＝（）2，
∵x1＞x2＞0，∴＞1，＞1，则＞1，即f（x1）＞f（x2），即 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）是R上的增函数．
原不等式等价于f（3x﹣1）+3x﹣1＞﹣f（5﹣ax）+ax﹣5＝f（ax﹣5）+ax﹣5，
构造函数h（x）＝f（x）+x，易知h（x）也是R上的增函数，
原不等式等价于3x﹣1＞ax﹣5，即（a﹣3）x＜4，
当a＞3时，不等式的解集为（﹣∞，），
当a＝3时，不等式的解集为R；
当a＜3时，不等式的解集为（，+∞）．