2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＜4}，则A∩B＝（　　）
A．{y|0＜y＜4} B．{y|0＜y＜1} C．{y|1＜y＜4} D．∅
3．（5分）设a＝2﹣1，b＝（）0，c＝log0.21，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
4．（5分）计算：sin＝（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
5．（5分）设扇形的半径为2cm，弧长为6cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）若函数y＝f（x）是偶函数，在（0，+∞）上有最大值8，则函数f（x）在（﹣∞，0）上有（　　）
A．最小值﹣8 B．最大值8 C．最小值﹣4 D．最小值﹣6
7．（5分）已知幂函数f（x）＝xα过点（4，2），则f（9）等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）函数f（x）＝的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[4，+∞）
9．（5分）为了得到函数y＝2sin（3x+）的图象，只需把函数y＝2sin3x的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
10．（5分）设函数f（x）＝（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征，函数y＝﹣|x|（x∈[﹣2，2]）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（5分）若函数f（x）＝在R上为单调增函数，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．[1，2） C．（1，2） D．[1，2]
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知f（x）＝，则f[f（1）]＝　 　．
14．（5分）在平面直角坐标系中，与角边相同的角的集合S＝　 　．
15．（5分）方程lnx＝﹣x+1的解的个数为　 　．
16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+1），则函数f（x）＝　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜5}，集合B是函数y＝+lg（9﹣x）的定义域．
（1）求集合B；
（2）求A∩（∁UB）．
18．（12分）已知，f（α）＝．
（1）化简f（α）；
（2）若＝﹣，求tanα．
19．（12分）已知tanα＝2，计算：
（1）；
（2）sinαcosα；
（3）若α是第三象限角，求sinα、cosα．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx﹣1．
（1）若b＝0，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；
（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增，求b的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期，振幅，初相；
（2）当时，求f（x）的值域．
22．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（2）探究是否存在实数a，使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{0}，B＝{0，1，2}，
∴A∩B＝{0}．
故选：A．
2．（5分）已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＜4}，则A∩B＝（　　）
A．{y|0＜y＜4} B．{y|0＜y＜1} C．{y|1＜y＜4} D．∅
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{y|y＞1}，B＝{y|y＜4}，
∴A∩B＝{y|1＜y＜4}．
故选：C．
3．（5分）设a＝2﹣1，b＝（）0，c＝log0.21，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵，∴a＝，
∵＝1，∴b＝1，
∵log0.21＝0，∴c＝0，
∴c＜a＜b，
故选：D．
4．（5分）计算：sin＝（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】把所求式子中的角变形为π﹣，利用诱导公式sin（π﹣α）＝sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
【解答】解：sin
＝sin（π﹣）
＝sin＝．
故选：B．
5．（5分）设扇形的半径为2cm，弧长为6cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题已知扇形的半径和弧长，直接根据弧长的变形公式α＝解之即可．
【解答】解：由题意圆心角α＝＝＝3，
故选：C．
6．（5分）若函数y＝f（x）是偶函数，在（0，+∞）上有最大值8，则函数f（x）在（﹣∞，0）上有（　　）
A．最小值﹣8 B．最大值8 C．最小值﹣4 D．最小值﹣6
【分析】根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），则有f（﹣x）≤8在（0，+∞）上恒成立，结合函数的奇偶性可得f（x）＝f（﹣x）≤8，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），
函数y＝f（x）在（0，+∞）上有最大值8，则f（﹣x）≤8在（0，+∞）上恒成立，
又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）≤8，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上有最大值8，
故选：B．
7．（5分）已知幂函数f（x）＝xα过点（4，2），则f（9）等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），求出f（x）＝，由此能求出f（9）．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），
∴4α＝2，解得：α＝，
∴f（x）＝＝，
∴f（9）＝＝3，
故选：C．
8．（5分）函数f（x）＝的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[4，+∞）
【分析】根据题意，先求出函数的定义域，设t＝x2﹣2x﹣8，x∈（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），则y＝，分析两个函数的单调性，结合复合函数单调性判断方法，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝，有x2﹣2x﹣8≥0，解可得x≤﹣2或x≥4，
即函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），
设t＝x2﹣2x﹣8，x∈（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞），则y＝，
t＝x2﹣2x﹣8，在（﹣∞，﹣2]上为减函数，在[4，+∞）上为增函数，
而y＝在[0，+∞）上为增函数，
根据复合函数的单调性可知，函数f（x）的单调递增区间为[4，+∞），
故选：D．
9．（5分）为了得到函数y＝2sin（3x+）的图象，只需把函数y＝2sin3x的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由于函数y＝2sin（3x+）＝2sin3（x+），
故把函数y＝sin3x的图象上所有的点向左平 个单位长度，即可得到函数y＝sin（3x+）的图象，
故选：B．
10．（5分）设函数f（x）＝（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则有（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1＜0，解可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝（2a﹣1）x+b是R上的减函数，
则2a﹣1＜0
∴a＜
故选：B．
11．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征，函数y＝﹣|x|（x∈[﹣2，2]）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用特殊值进行排除即可．
【解答】解：当x＝2时，y＝﹣2，排除，A，C，D，
故选：B．
12．（5分）若函数f（x）＝在R上为单调增函数，则实数k的取值范围是（　　）
A．（0，2] B．[1，2） C．（1，2） D．[1，2]
【分析】利用分段函数以及函数的单调性列出不等式求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝在R上为单调增函数，
所以，解得1≤k≤2．
故选：D．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知f（x）＝，则f[f（1）]＝　8　．
【分析】先求f（1）的值，判断出将1代入解析式2x2+1；再求f（3），判断出将3代入解析式x+5即可．
【解答】解：∵f（1）＝2+1＝3
∴f[f（1）]＝f（3）＝3+5＝8
故答案为：8
14．（5分）在平面直角坐标系中，与角边相同的角的集合S＝　　．
【分析】利用终边相同的角的定义进行分析即可．
【解答】解：根据终边相同的角的定义可知，与角边相同的角的集合S＝．
故答案为：．
15．（5分）方程lnx＝﹣x+1的解的个数为　1　．
【分析】方程lnx＝﹣x+1的解的个数，即为函数y＝lnx和函数y＝﹣x+1交点的个数，根据图象即可得到方程解的个数．
【解答】解：方程lnx＝﹣x+1的解的个数，即为函数y＝lnx和函数y＝﹣x+1交点的个数，
画出函数y＝lnx和函数y＝﹣x+1的图象，

根据图象可知，函数y＝lnx和函数y＝﹣x+1交点的个数为1，
∴方程lnx＝﹣x+1的解的个数为1．
故答案为：1．
16．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+1），则函数f（x）＝　　．
【分析】要求函数的解析式，已知已有x＞0时的函数解析式，只要根据题意求出x＜0及x＝0时的即可，根据奇函数的性质容易得f（0）＝0，而x＜0时，由﹣x＞0及f（﹣x）＝﹣f（x）可求
【解答】解：设x＜0则﹣x＞0
∵当x＞0时，f（x）＝x（x+1）
∴f（﹣x）＝（﹣x）（1﹣x）
由函数f（x）为奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x）
∴﹣f（x）＝（﹣x）（1﹣x）
即f（x）＝x（1﹣x），x＜0
∵f（0）＝0适合f（x）＝x（x+1），x＞0
∴f（x）＝
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜5}，集合B是函数y＝+lg（9﹣x）的定义域．
（1）求集合B；
（2）求A∩（∁UB）．
【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0且对数的真数大于0联立求解x的取值集合得B；
（2）直接利用补集和交集的概念求解．
【解答】解：（1）要使原函数有意义，则，解得3≤x＜9，
所以B＝{x|3≤x＜9}；
（2）因为B＝{x|3≤x＜9}，所以∁UB＝{x|x＜3或x≥9}，
所以A∩（∁UB）＝{x|2≤x＜5}∩{x|x＜3或x≥9}＝{x|2≤x＜3}．
18．（12分）已知，f（α）＝．
（1）化简f（α）；
（2）若＝﹣，求tanα．
【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．
（2）由（1）及已知利用诱导公式可得cosα＝﹣，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解：（1）f（α）＝＝＝sinα．
（2）∵＝﹣，
∴sin（﹣α）＝﹣，可得cosα＝﹣，
∴α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sinα＝＝，tan＝﹣，
当α是第三象限角时，sinα＝﹣＝﹣，tan＝．
19．（12分）已知tanα＝2，计算：
（1）；
（2）sinαcosα；
（3）若α是第三象限角，求sinα、cosα．
【分析】（1）由已知化弦为切求解；
（2）分母看作1，用平方关系替换，在化弦为切求解；
（3）联立商的关系与平方关系求解．
【解答】解：（1）＝；
（2）sinαcosα＝＝；
（3）∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，①
代入sin2α+cos2α＝1中，可得4cos2α+cos2α＝1．
∴，得cos，
又∵α是第三象限角，∴．
代入①式得．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx﹣1．
（1）若b＝0，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；
（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增，求b的取值范围．
【分析】（1）利用二次函数的性质即可得到答案；
（2）利用二次函数的单调性与其图象的开口以及对称轴的位置有关，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）当b＝0时，f（x）＝x2﹣1，
其对称轴为x＝0，图象开口向上，
所以函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值为f（3）＝8，最小值为f（0）＝﹣1；
（2）由于函数f（x）的图象开口向上，且f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增，
则有对称轴，解得b≥2，
所以b的取值范围为b≥2．
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期，振幅，初相；
（2）当时，求f（x）的值域．
【分析】（1）直接利用函数的关系式求出函数中的最小正周期，振幅，初相；
（2）利用函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）函数．
所以函数的最小正周期为，振幅为2；初相位．
（2）当，
所以，
则，
所以f（x）∈[﹣1，2]．
22．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（2）探究是否存在实数a，使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用单调性的定义证明即可；
（2）由f（x）为奇函数，可得出f（﹣x）＝﹣f（x），从而可得出（a+2）•2x+a＝﹣a•2x﹣（a+2），从而解得a的值．
【解答】（1）证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
因为x1＜x2，所以＜，所以﹣＞0，且+1＞0，+1＞0，
所以＞0
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上为减函数，
（2）解：，要使f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
所以＝﹣，
所以＝，
所以（a+2）•2x+a＝﹣a•2x﹣（a+2），
所以（a+1）（2x+1）＝0，解得a＝﹣1，
所以存在实数a＝﹣1，使f（x）为奇函数．