2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（理科），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）cos120°是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（5分）已知实数集为R，集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|x＜1}，则M∩∁RN＝（　　）
A．φ B．{x|1＜x＜3} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}
3．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝tanx C．y＝x3 D．
4．（5分）在菱形ABCD中，下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知sin（π+θ）＜0，cos（π﹣θ）＜0，则角θ所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（　　）
A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32
C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3
7．（5分）要得到y＝sin2x+cos2x的图象，只需将y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
8．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间为（　　）
A．（﹣1，0） B． C． D．（1，2）
9．（5分）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知，则＝（　　）
A． B． C．2 D．4
11．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上图象关于y轴对称，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2020）+f（2019）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3x42+的取值范围是（　　）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，3） C．[﹣3，3） D．（﹣3，3]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（3））的值为　 　．
14．（5分）已知点A（1，1），B（﹣1，5），若＝，则点C的坐标为　 　．
15．（5分）（文）函数f（x）＝cos2x+2sinx的最小值为　 　．
16．（5分）①函数y＝sin2x的单调增区间是，（k∈Z）；
②函数y＝tanx在它的定义域内是增函数；
③函数y＝|cos2x|的周期是π；
④函数是偶函数．
其中正确的是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
（1）求sinα、cosα、tanα的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知cos（x﹣）＝，x∈（，）．
（1）求sinx的值；
（2）求sin（2x）的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值．

21．（12分）已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量＝（2﹣2sinA，sinA+cosA）与向量＝（sinA﹣cosA，1+sinA）共线，且角A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数的值域．
22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣ax+6．
（Ⅰ）若g（x）为偶函数，求a的值并写出g（x）的增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式g（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，当x＞1时，求的最小值；
（Ⅲ）对任意x1∈[1，+∞），x2∈[﹣2，4]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．

2019-2020学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）cos120°是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos60°，从而求得结果．
【解答】解：cos120°＝cos（180°﹣60°）＝﹣cos60°＝﹣，
故选：A．
2．（5分）已知实数集为R，集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|x＜1}，则M∩∁RN＝（　　）
A．φ B．{x|1＜x＜3} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x≤3}
【分析】利用集合的补集的定义求出集合N的补集；利用交集的定义求出M∩（∁RN）．
【解答】解：∵集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|x＜1}，
∴∁RN＝{x|x≥1}，
则M∩（∁RN）＝{x|1≤x＜3}
故选：C．
3．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B．y＝tanx C．y＝x3 D．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．f（x）＝x﹣1是非奇非偶函数，不满足条件．
B．y＝tanx是奇函数，在定义域上函数不是单调函数，不满足条件．
C．y＝x3是奇函数，在定义域上为增函数，满足条件．
D.是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．
故选：C．
4．（5分）在菱形ABCD中，下列式子成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用菱形的几何性质以及向量相等的概念进行判断，即可得到答案．
【解答】解：因为ABCD是菱形，则有AB＝CD且AB∥CD，
所以，故选项A，B错误；
又AD＝BC且AD∥BC，
所以，
故选项C错误，选项D正确．
故选：D．

5．（5分）已知sin（π+θ）＜0，cos（π﹣θ）＜0，则角θ所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由sin（π+θ）＝﹣sinθ＜0，cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＜0，知角θ在第一象限．
【解答】解：∵sin（π+θ）＝﹣sinθ＜0，
∴sinθ＞0．
∵cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＜0，
∴cosθ＞0．
∴角θ在第一象限．
故选：A．
6．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（　　）
A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32
C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，
∴log0.32＜0.32＜20.3，
故选：D．
7．（5分）要得到y＝sin2x+cos2x的图象，只需将y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y＝sin2x+cos2x变形为y＝Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y＝sin2x的解析式进行对照即可得平移方向和平移量
【解答】解：y＝sin2x+cos2x＝（sin2xcos+cos2xsin）＝sin（2x+）＝sin[2（x+）]
∴只需将y＝sin2x的图象向左平移个单位，即可得函数y＝sin[2（x+）]，即y＝sin2x+cos2x的图象
故选：B．
8．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间为（　　）
A．（﹣1，0） B． C． D．（1，2）
【分析】根据函数的解析式求得f（）f（1）＜0，根据函数的零点的判定定理求得函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+2x﹣1，∴f（）＝ln＜0 f（1）＝1＞0，∴f（）f（1）＜0，
故函数f（x）＝lnx+2x﹣1的零点所在区间为 ，
故选：C．
9．（5分）已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把（cosα﹣sinα）2利用完全平方公式展开后，再利用同角三角函数间的基本关系化简，把sinαcosα的值代入求出（cosα﹣sinα）2的值，由α的范围，得到cosα﹣sinα小于0，开方即可求出cosα﹣sinα的值．
【解答】解：∵sinαcosα＝，
∴（cosα﹣sinα）2＝cos2α﹣2sinαcosα+sin2α＝1﹣2sinαcosα＝，
∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，
则cosα﹣sinα＝﹣．
故选：D．
10．（5分）已知，则＝（　　）
A． B． C．2 D．4
【分析】根据两角和的正切公式求出tanα，再根据二倍角公式以及同角三角函数关系将弦化切，代入求值即可．
【解答】解：因为，
所以，
解得，
因为＝
＝
＝．
故选：B．
11．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上图象关于y轴对称，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2020）+f（2019）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】据条件即可知f（x）为偶函数，并且f（x）在[0，+∞）上是周期为2的周期函数，结合解析式即可求出所求．
【解答】解：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上图象关于y轴对称；
∴f（x）是偶函数；
又x≥0时，f（x+2）＝f（x）；
∴f（x）在[0，+∞）上为周期为2的周期函数；
又x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1）；
∴f（﹣2020）＝f（2020）＝f（0+2×1010）＝f（0）＝0，f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝1；
∴f（﹣2020）+f（2019）＝1．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3x42+的取值范围是（　　）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，3） C．[﹣3，3） D．（﹣3，3]
【分析】作出函数f（x）的图象，由图象可得x1+x2＝﹣4，x3x4＝1；1＜x4≤4；从而化简x3x42+，再利用函数的单调性求出它的取值范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，
由图可知，x1+x2＝﹣4，x3x4＝1；
当|log2x|＝2时，
x＝4或x＝，
则1＜x4≤4，
故x3x42+＝x4﹣，
其在1＜x4≤4上是增函数，
故﹣4+1＜x4﹣≤﹣1+4；
即﹣3＜x4﹣≤3；
即x3x42+的取值范围是（﹣3，3]，
故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（3））的值为　　．
【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；
【解答】解：∵函数，3＞1
∴f（3）＝，
∴f（）＝（）2+1＝+1＝，
故答案为；
14．（5分）已知点A（1，1），B（﹣1，5），若＝，则点C的坐标为　（0，3）　．
【分析】设点C的坐标，利用＝，求解即可．
【解答】解：点A（1，1），B（﹣1，5），＝（﹣2，4），
设C（a，b），＝（a﹣1，b﹣1），∵＝，
∴（a﹣1，b﹣1）＝，解得a＝0，b＝3．
点C的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）．
15．（5分）（文）函数f（x）＝cos2x+2sinx的最小值为　﹣3　．
【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f（x）＝cos2x+2sinx＝﹣2sin2x+2sinx+1结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数的最小值
【解答】解：∵f（x）＝cos2x+2sinx＝﹣2sin2x+2sinx+1
＝﹣2+
∵﹣1≤sinx≤1
当sinx＝﹣1时，函数有最小值﹣3
故答案为：﹣3
16．（5分）①函数y＝sin2x的单调增区间是，（k∈Z）；
②函数y＝tanx在它的定义域内是增函数；
③函数y＝|cos2x|的周期是π；
④函数是偶函数．
其中正确的是　①④　．
【分析】利用整体代换的思想和正弦函数的单调性即可判断选项①，利用正切函数的单调性即可判断选项②，利用周期函数的定义即可判断选项③，利用诱导公式以及偶函数的定义即可判断选项④．
【解答】解：令，解得（k∈Z），
所以函数y＝sin2x的单调增区间是，（k∈Z），故选项①正确；
函数y＝tanx在它的定义域内不具有单调性，故选项②错误；
因为，所以函数y＝|cos2x|的周期是，故选项③错误；
因为函数＝cosx，所以函数是偶函数，故选项④正确．
故答案为：①④．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
（1）求sinα、cosα、tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．结合三角函数的定义即可得到sinα、cosα、tanα的值；
（2）依据三角函数的诱导公式化简即可：＝，最后利用第（1）小问的结论得出答案．
【解答】解：（1）已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．
∴x＝＝，r＝1，
∴sinα＝；cosα＝；tanα＝；（6分）
（2）＝＝．（14分）
18．（12分）已知cos（x﹣）＝，x∈（，）．
（1）求sinx的值；
（2）求sin（2x）的值．
【分析】（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而根据sinx＝sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案
（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，
最后代入正弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：（1）因为x∈（，），
所以x﹣∈（），
sin（x﹣）＝＝．
sinx＝sin[（x﹣）+]
＝sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin
＝×+×＝．
（2）因为x∈（，），
故cosx＝﹣＝﹣＝﹣．
sin2x＝2sinxcosx＝﹣，
cos2x＝2cos2x﹣1＝﹣．
所以sin（2x+）＝sin2xcos+cos2xsin
＝﹣．
19．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式化简即可求的值；
（Ⅱ）直接三角函数的性质求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【解答】解：函数f．
化简可得：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）
（Ⅰ）＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2；
（Ⅱ）f（x）的最小正周期T＝＝π．
由≤2x﹣，
得：≤x≤
∴f（x）的单调递增区间为[，]．k∈Z．
20．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x的值．

【分析】（1）由函数f（x）的部分图象，求出A、T和ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再求对称轴方程．
（2）求出x∈[﹣，﹣]时f（x）的取值范围，即可求出f（x）的最大、最小值，以及取得最值时对应x的值．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝2，T＝﹣（﹣）＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2；
所以f（x）＝2sin（2x+φ）．
由f（）＝2sin（2×+φ）＝2，
令+φ＝+2kπ，k∈Z；
解得φ＝+2kπ，k∈Z；
又0＜φ＜π，
所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+）．
令2x+＝+kπ，k∈Z，
解得x＝+，k∈Z，
所以f（x）的对称轴方程为．
（2）当x∈[﹣，﹣]时，2x∈[﹣π，﹣]，2x+∈[﹣，0]；
令2x+＝0，解得x＝﹣，所以f（x）的最大值为0；
令2x+＝﹣，解得x＝﹣，所以f（x）最小值为﹣2；
所以函数f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值为0，最小值为﹣2．
且当时，f（x）max＝0；
当时，f（x）min＝﹣2．
21．（12分）已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量＝（2﹣2sinA，sinA+cosA）与向量＝（sinA﹣cosA，1+sinA）共线，且角A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数的值域．
【分析】（I）由∥，结合向量平行的坐标表示可求tanA，进而可求A；
（II）由（1）结合三角形的内角和定理可得，C＝120°﹣B，代入到已知函数，结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解函数的值域．
【解答】解：（I）由∥，可得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA+cosA）（sinA﹣cosA）＝0，
∴sin2A＝3cos2A，
∴tan2A＝3，
∵角A为锐角，tanA＞0，
∴，
∴A＝60°，
（II）由（1）知，B+C＝120°，即C＝120°﹣B，
∴＝1﹣cosB+cos（60°﹣B）
所以，＝1+sin（B﹣30°），且0°＜B＜120°，
则﹣30°＜B﹣30°＜90°，
所以，
则，即函数的值域为．
22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣ax+6．
（Ⅰ）若g（x）为偶函数，求a的值并写出g（x）的增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式g（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，当x＞1时，求的最小值；
（Ⅲ）对任意x1∈[1，+∞），x2∈[﹣2，4]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据偶函数的定义即可求出a的值，根据二次函数的性质可得增区间，
（Ⅱ）先求出a＝5，再构造基本不等式，即可求出最小值，
（Ⅲ）先根据复合函数的单调性，求出函数f（x）max＝﹣1，则可得x2﹣ax+7≥0在[﹣2，4]上恒成立，再分类讨论，即可求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）为偶函数，g（x）＝x2﹣ax+6，
∴g（﹣x）＝g（x），
∴x2﹣ax+6＝x2+ax+6，
∴a＝0，
∴g（x）＝x2+6，
∴g（x）的增区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）∵关于x的不等式g（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴a＝2+3＝5，
∴g（x）＝x2﹣5x+6，
∴x＞1时，＝＝＝（x﹣1）+﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当x＝+1时取等号，
∴的最小值为2﹣3，
（Ⅲ）∵任意x1∈[1，+∞），，
∴f（x）max＝f（1）＝﹣1，
∵任意x1∈[1，+∞），x2∈[﹣2，4]，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，
∴x2﹣ax+6≥﹣1在[﹣2，4]上恒成立，
即x2﹣ax+7≥0在[﹣2，4]上恒成立，
设h（x）＝x2﹣ax+7，则对称轴为x＝，
①当≤﹣2时，即a≤﹣4时，h（x）在[﹣2，4]上为增函数，
∴h（x）min＝h（﹣2）＝11+2a≥0，即a≥﹣，
∴﹣≤a≤﹣4，
②当≥4时，即a≥8时，h（x）在[﹣2，4]上为减函数，
∴h（x）min＝h（4）＝23﹣4a≥0，即a≤，
∴此时为空集，
③当﹣4＜a＜8时，h（x）在[﹣2，]为减函数，在[，4]上为增函数，
∴h（x）min＝h（ ）＝﹣+7≥0，即﹣2≤a≤2
∴﹣4＜a≤2，
综上所述a的取值范围为[﹣，2]