2020-2021学年青海省西宁市大通县高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年青海省西宁市大通县高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年青海省西宁市大通县高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）cos＝（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）设全集U为实数集R，已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0＜x＜3}，则∁U（A∪B）＝（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0]∪{3}
3．（5分）函数图象的对称轴方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知，为单位向量，且，的夹角为，则|2﹣|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
5．（5分）函数f（x）＝log2x﹣的零点所在的大致区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
6．（5分）计算：＝（　　）
A． B．0 C． D．
7．（5分）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝3x+4，则f（﹣1）+f（0）＝（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣1 D．1
9．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，则f（x）＝（　　）

A． B．
C． D．
10．（5分）函数f（x）＝﹣x2+2|x|的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知△ABC外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且．若＝，则sin∠BOG＝（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）＝存在a＜b＜c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），现有以下三个结论：①bc＝1；②1＜c＜16；③﹣2＜abc≤0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本题共4小题．
13．（5分）函数f（x）＝tanx在上的最大值为　 　．
14．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝　 　．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（4）＝1，则满足f（3a﹣5）＞1的a的取值范围是　 　．
16．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+⋅⋅⋅+f（2020）＝　 　．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|＜3x≤9}，B＝{x|x＜a或x＞a+2}．
（1）当a＝﹣1时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知．
（1）若α为锐角，求；
（2）求．
19．（12分）已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若（m∈R），且，求与的夹角θ的余弦值．
20．（12分）已知函数f（x）＝loga（2﹣2x）+loga（x+4），其中a＞1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．
21．（12分）已知向量＝（sinx，﹣mcosx），＝（cosx，cosx），函数f（x）＝2•+m（m∈R）．
（1）若m＝1，求f（x）的单调减区间；
（2）若，将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最值．
22．（12分）定义在区间D上的函数f（x），如果对于任意的x属于D，存在常数m，M使得m≤f（x）≤M，则称f（x）是区间D上的有界函数．其中m称为f（x）在区间D上的下界，M称为f（x）在区间D上的上界．已知函数f（x）＝（x∈（0，+∞），a≥0）．
（1）若a＝1，试判断f（x）在区间[1，2]上是否为有界函数？
（2）若函数g（x）＝在[1，2]上是以a为下界的有界函数，求实数a的取值范围．

2020-2021学年青海省西宁市大通县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）cos＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
【解答】解：cos＝cos（）＝cos＝．
故选：A．
2．（5分）设全集U为实数集R，已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0＜x＜3}，则∁U（A∪B）＝（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0]∪{3}
【分析】根据并集和补集的定义，计算即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0＜x＜3}，
所以A∪B＝{x|x＞0}＝（0，+∞），
所以∁U（A∪B）＝（﹣∞，0]．
故选：C．
3．（5分）函数图象的对称轴方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：结合正弦函数的性质可得函数图象的对称轴满足：（k∈Z），
解得：x＝（k∈Z），
解得对称轴方程为：x＝（k∈Z），
故选：D．
4．（5分）已知，为单位向量，且，的夹角为，则|2﹣|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】利用已知条件，结合向量的模的求法，转化求解即可．
【解答】解：，为单位向量，且，的夹角为，
所以．
故选：C．
5．（5分）函数f（x）＝log2x﹣的零点所在的大致区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【分析】利用函数的单调性，求解f（2），f（3）的值，利用零点判断定理判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝log2x﹣是增函数，
因为，
f（3）＝log23﹣1＞0，
所以f（2）f（3）＜0，
根据零点存在性定理，可知f（x）的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：B．
6．（5分）计算：＝（　　）
A． B．0 C． D．
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．
【解答】解：原式＝，
故选：A．
7．（5分）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用扇形的弧长公式可求扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的圆心角，
所以r＝3，
则扇形的面积．
故选：D．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝3x+4，则f（﹣1）+f（0）＝（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣1 D．1
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，结合奇函数的性质可得f（0）的值以及f（﹣1）的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，x∈（0，+∞）时，f（x）＝3x+4，则f（1）＝3+4＝7，
f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，且f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣7，
则f（﹣1）+f（0）＝﹣7+0＝﹣7，
故选：A．
9．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，则f（x）＝（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象，
可得A＝2，，所以ω＝2．
又，即，从而．
因为，所以，
故选：A．
10．（5分）函数f（x）＝﹣x2+2|x|的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数奇偶性和对称性性质，结合函数值的对应性，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝﹣x2+2|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故A错误；
f（1）＝﹣1+2＝1，故B错误；
当x无限增大时，2|x|增长得比x2快，所以f（x）＞0，故C错误．
故选：D．
11．（5分）已知△ABC外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且．若＝，则sin∠BOG＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设BC的中点为D，分析可得G为△ABC的重心，则，进而可得，则有AB＝AC．不妨令AD＝5，由三角函数的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设BC的中点为D，
若，则G为△ABC的重心，则，
若＝，则，所以A，G，O，D四点共线，故AB＝AC，则AD⊥BC，
不妨令AD＝5，则AO＝BO＝4，OD＝1．所以．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝存在a＜b＜c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），现有以下三个结论：①bc＝1；②1＜c＜16；③﹣2＜abc≤0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】作直线y＝m与函数f（x）的图象交于三个点，从左向右横坐标依次为a，b，c．然后转化求解3个结论的真假即可．
【解答】解：作直线y＝m与函数f（x）的图象交于三个点，
从左向右横坐标依次为a，b，c．
由于x≤0时，f（x）的最大值为4，
因此f（c）≤4，即log2c≤4，且由图可知，c＞1，
所以1＜c≤16，故②错误；
由图象可知，﹣log2b＝log2c，所以bc＝1，故①正确；
由图象可以得到﹣2＜a≤0，所以﹣2＜abc≤0，故③正确．
故选：B．

二、填空题：本题共4小题．
13．（5分）函数f（x）＝tanx在上的最大值为　1　．
【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解函数f（x）＝tanx在上的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）在上单调递增，
∴当x＝时，函数f（x）取得最大值为．
故答案为：1
14．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝　32　．
【分析】先求出f（﹣1）＝5，从而f（f（﹣1））＝f（5），由此能求出结果．
【解答】解：因为f（x）＝，所以f（﹣1）＝5，
所以f（f（﹣1））＝f（5）＝25＝32．
故答案为：32．
15．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（4）＝1，则满足f（3a﹣5）＞1的a的取值范围是　　．
【分析】根据题意可得出f（|3a﹣5|）＞f（4），然后根据f（x）在[0，+∞）上单调递减即可得出|3a﹣5|＜4，然后解出a的范围即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上单调递减，f（4）＝1，
∴由f（3a﹣5）＞1得，f（|3a﹣5|）＞f（4），
∴|3a﹣5|＜4，解得，
∴a的取值范围是．
故答案为：．
16．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+⋅⋅⋅+f（2020）＝　2020　．
【分析】先利用三角函数的周期公式求出函数f（x）的周期，然后发现连续六项的和均为6，再将2020项求和利用周期分组求和即可．
【解答】解：易知函数的最小正周期T＝6，
而f（1）+f（2）+f（3）+f（4），
由周期可知，这样连续六项的和均为6，
而f（1）+f（2）+f（3）+⋅⋅⋅f（2020）共有2020项，是6的336倍再加4项，
则．
故答案为：2020．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|＜3x≤9}，B＝{x|x＜a或x＞a+2}．
（1）当a＝﹣1时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据交集的定义即可求出；
（2）A∪B＝B，则A⊆B，即可求出a的范围．
【解答】解：集合A＝{x|＜3x≤9}＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]，
（1）当a＝﹣1时，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
则A∩B＝（1，2]；
（2）A∪B＝B，则A⊆B，
∴a＞2或a+2≤﹣1，
即a＞2或a≤﹣3，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．
18．（12分）已知．
（1）若α为锐角，求；
（2）求．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得α的正弦值和余弦值，再利用两角和的三角公式，求得要求式子的值．
（2）根据tanα＝，利用二倍角的正切值求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式，计算求得结果．
【解答】解：（1）由，得cosα＝2sinα，即 tanα＝．
∵α为锐角，sin2α+cos2α＝1，∴，．
∴＝
＝＝．
（2）∵，
则，
∴．
19．（12分）已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若（m∈R），且，求与的夹角θ的余弦值．
【分析】（1）根据题意，设，则有，求出x、y的值，即可得答案，
（2）求出+的坐标，由向量数量积与向量垂直的关系可得，求出m的值，即可得的坐标，由向量夹角公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设，
由，，可得，解可得或，
故或．
（2）因为，
由，所以，
所以m＝﹣7，故，
因为，，
所以．
20．（12分）已知函数f（x）＝loga（2﹣2x）+loga（x+4），其中a＞1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．
【分析】（1）由对数函数的真数大于0联立不等式组求解；
（2）把已知函数解析式变形，由x的范围求得函数的最大值，再由最大值为2求得a值．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则有，解得﹣4＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（﹣4，1）；
（2）函数可化为f（x）＝loga（2﹣2x）+loga（x+4）
＝，
∵﹣4＜x＜1，∴．
∵a＞1，∴，
即，
由，解得．
21．（12分）已知向量＝（sinx，﹣mcosx），＝（cosx，cosx），函数f（x）＝2•+m（m∈R）．
（1）若m＝1，求f（x）的单调减区间；
（2）若，将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最值．
【分析】（1）利用向量的数量积，结合二倍角公式化简函数的解析式，通过两角和与差的三角函数化简，结合正弦函数的单调性求解即可．
（2）利用函数的图象变换，求解函数的解析式，然后求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）向量＝（sinx，﹣mcosx），＝（cosx，cosx），
函数f（x）＝2•+m＝2（sinxcosx﹣mcos2x）+m
＝sin2x﹣m（2cos2x﹣1）
＝sin2x﹣mcos2x，
∵m＝1，∴，
由，k∈Z，得，k∈Z．
∴函数f（x）的单调减区间为．
（2）当时，可知，
将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为．
当时，，
当，即x＝0时，g（x）取最小值﹣1；
当，即时，g（x）取最大值2．
22．（12分）定义在区间D上的函数f（x），如果对于任意的x属于D，存在常数m，M使得m≤f（x）≤M，则称f（x）是区间D上的有界函数．其中m称为f（x）在区间D上的下界，M称为f（x）在区间D上的上界．已知函数f（x）＝（x∈（0，+∞），a≥0）．
（1）若a＝1，试判断f（x）在区间[1，2]上是否为有界函数？
（2）若函数g（x）＝在[1，2]上是以a为下界的有界函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1时，，根据单调性的定义，可得f（x）在[1，2]上单调递减，进而可得f（x）max，f（x）min，则3≤f（x）≤5，进而可得结论．
（2）由题意得，问题转化为a（2x）2﹣（a+2）2x﹣a≤0对于x∈[1，2]恒成立．令2x＝t（t∈[2，4]），则g（t）＝at2﹣（a+2）t﹣a≤0（t∈[2，4]）恒成立．分两种情况①a＝0时，②a≠0时，两种情况讨论实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，，设1≤x1＜x2≤2，
则＝＝．
因为x1＜x2，所以，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，
所以f（x）在[1，2]上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝5，f（x）min＝f（2）＝3，则3≤f（x）≤5，
所以函数f（x）在[1，2]上有界函数．
（2）由题意得，对于任意x∈[1，2]，f（x）≥a⋅22，即对于x∈[1，2]恒成立，
即a（2x）2﹣（a+2）2x﹣a≤0对于x∈[1，2]恒成立．
令2x＝t（t∈[2，4]），则g（t）＝at2﹣（a+2）t﹣a≤0（t∈[2，4]）恒成立．
①a＝0时，g（t）＝﹣2t，t∈[2，4]时，﹣2t＜0，符合题意；
②a≠0时，得所以．
综上所述，．
故实数a的取值范围为[0.]．