2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一(上)期末数学试卷(文科)
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一、选择题(每小题6分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.(6分)已知集合A={x∈N|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|2x≤2},则集合A∩B的子集的个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.(6分)已知角α的终边上一点的坐标为(),角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
3.(6分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
4.(6分)已知x=是函数f(x)=2(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为( )
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
5.(6分)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a﹣=( )
A.0 B.1 C. D.2
6.(6分)给出下列命题,其中正确的命题的个数( )
①函数图象恒在x轴的下方;
②将y=2x的图象经过先关于y轴对称,再向右平移1个单位的变化后为y=21﹣x的图象;
③若函数的值域为R,则实数a的取值范围是(﹣1,1);
④函数f(x)=ex的图象关于y=x对称的函数解析式为y=lnx.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每题6分,共18分,请把答案填在答题卡内横线上)。
7.(6分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为 .
8.(6分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.
9.(6分)已知函数在区间内有且只有一个最值点,则ω的取值范围是 .
三、解答题(本大题共3小题,共46分。应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)。
10.(15分)已知函数.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1﹣x2)的值.
11.(15分)已知函数是奇函数.
(Ⅰ)求实数t的值;
(Ⅱ)若f(1)<0,对任意x∈[0,1]有恒成立,求实数k取值范围;
(Ⅲ)设,若,问是否存在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
12.(16分)若在定义域内存在实数x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立则称函数f(x)有“溜点x0”
(1)若函数在(0,1)上有“溜点”,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)=lg()在(0,1)上有“溜点”,求实数a的取值范围.
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参考答案与试题解析
一、选择题(每小题6分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.(6分)已知集合A={x∈N|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|2x≤2},则集合A∩B的子集的个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【分析】可求出集合A,B,然后进行交集的运算求出A∩B,从而可得出集合A∩B的子集的个数.
【解答】解:∵A={x∈N|﹣2≤x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|x≤1},
∴A∩B={0,1},
∴集合A∩B的子集的个数为:22=4.
故选:C.
2.(6分)已知角α的终边上一点的坐标为(),角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
【分析】将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,利用三角函数的定义求出角α的正弦,求出角α的最小正值
【解答】解:=
∴角α的终边在第四象限
∵到原点的距离为1
∴
∴α的最小正值为
故选:D.
3.(6分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c
【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,
∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,
∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),
则2<log25.1<3,1<20.8<2,
由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),
∴b<a<c,
故选:C.
4.(6分)已知x=是函数f(x)=2(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为( )
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
【分析】利用正弦函数的图象的对称性,求得函数的解析式.根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,利用正弦函数的定义域和值域,求得函数g(x)在上的最小值.
【解答】解:因为x=是函数f(x)=2(0<φ<π)图象的一条对称轴,
所以2×+φ+=kπ+,k∈Z,所以φ=,即f(x)=2sin(2x+).
将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移个单位后,
得到函数g(x)=2sin[2(x﹣)+]=2sin(2x﹣)=﹣2sin(2x﹣)的图象,
在上,2x﹣∈[﹣,],故当2x﹣=时,g(x)取得最小值为﹣1,
故选:D.
5.(6分)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a﹣=( )
A.0 B.1 C. D.2
【分析】先根据题意结合图形确定M、N的坐标,然后分别代入y=xa,y=xb求得a,b,最后再求a﹣的值即得.
【解答】解:BM=MN=NA,点A(1,0),B(0,1),
所以M (,),N (,),
分别代入y=xa,y=xb,a=,b=,
∴a﹣=﹣=0.
故选:A.
6.(6分)给出下列命题,其中正确的命题的个数( )
①函数图象恒在x轴的下方;
②将y=2x的图象经过先关于y轴对称,再向右平移1个单位的变化后为y=21﹣x的图象;
③若函数的值域为R,则实数a的取值范围是(﹣1,1);
④函数f(x)=ex的图象关于y=x对称的函数解析式为y=lnx.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】对于①,这是一个复合函数,可判断出x2﹣2x+3>2,再结合对数函数的单调性可得图象;
对于②,利用对称和平移的基本结论可得移动后图象;
对于③,因为值域为R,所以x2﹣2ax+1取遍所有的正数,所以△=4a2﹣4<0,解出a的取值范围即可;
对于④,交换x,y位置即可得新函数解析式.
【解答】解:对于①,因为x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2>2,根据对数性质可知<=﹣1,所以对应函数的图象恒在x轴的下方,故①对;
对于②,函数y=2x图象关于y轴对称后得到的函数解析式为=2﹣x,向右移动一个单位后得到y=2﹣(x﹣1)=21﹣x,故②对;
对于③,若函数值域为R,令f(x)=x2﹣2ax+1,则可得f(x)可以取所有的正数,∴△=4a2﹣4<0,故实数a的取值范围是(﹣1,1),故③正确;
对于④,令y=x,得x=ey,所以y=lnx,故④对;
综上正确的个数为4个,
故选:D.
二、填空题(每题6分,共18分,请把答案填在答题卡内横线上)。
7.(6分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为 .
【分析】根据函数的周期性,进行转化求解即可.
【解答】解:由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数,
则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=|﹣1+|=,
f()=cos()=cos=,
即f(f(15))=,
故答案为:
8.(6分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时.
【分析】由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=ekx+b,解方程,可得k,b,再由x=33,代入即可得到结论.
【解答】解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.
代入函数y=ekx+b,
可得eb=192,e22k+b=48,
即有e11k=,eb=192,
则当x=33时,y=e33k+b=×192=24.
故答案为:24.
9.(6分)已知函数在区间内有且只有一个最值点,则ω的取值范围是 (,] .
【分析】根据x∈,可得2ωx﹣∈(﹣,πω﹣),根据已知及正弦函数的图象与性质可得关于ω的不等式,解之即可得解.
【解答】解:因为x∈,所以2ωx﹣∈(﹣,πω﹣),
因为f(x)在区间内有且只有一个最值点,
由正弦函数的图象与性质可得<πω﹣≤,
解得<ω≤,
即ω的取值范围是(,].
故答案为:(,].
三、解答题(本大题共3小题,共46分。应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)。
10.(15分)已知函数.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1﹣x2)的值.
【分析】(1)f(x)=sin(2x﹣).利用正弦函数的单调性最值即可得出.
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴,利用方程f(x)=在(0,π)上的解x1,x2与对称轴的关系,即可得出.
【解答】解:(1)f(x)=sin(2x﹣).当2x﹣=+2kπ(k∈Z),……………(1分)
即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.………(5分)
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),……………(7分)
∴当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.……………………………(9分)
又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
∴x1+x2=π,则x1=π﹣x2,……………………………(11分)
∴cos(x1﹣x2)=cos(﹣2x2)=sin(2x2﹣),…………………………(13分)
又f(x2)=sin(2x2﹣)=,
故cos(x1﹣x2)=. ……………………………(15分)
11.(15分)已知函数是奇函数.
(Ⅰ)求实数t的值;
(Ⅱ)若f(1)<0,对任意x∈[0,1]有恒成立,求实数k取值范围;
(Ⅲ)设,若,问是否存在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
【分析】(Ⅰ)利用奇函数的性质,f(0)=0,即可求出t的值;
(Ⅱ)由f(1)<0,得0<a<1,f(x)单调递减,有=f(﹣1),利用单调性脱去函数符号,再分离参数求解;
(Ⅲ)由,得a=2,设t=2x﹣2﹣x,t,设h(t)=t2﹣mt+2,然后对m进行分类讨论;
【解答】解:(Ⅰ)f(x)为奇函数,则f(0)=0,,
则t=﹣1;
(Ⅱ)由f(1)<0,有,得0<a<1;
则 在R上单调递减;
任意x∈[0,1]有恒成立;
即任意x∈[0,1]有=f(﹣1)恒成立;
所以2x2﹣kx﹣k<﹣1在x∈[0,1]上恒成立;
即==2(x+1)+
∵当时,2(x+1)+≤
所以实数k取值范围;
(Ⅲ)由,得a=2,假设存在满足条件的m,
=logm[(2x﹣2﹣x)2﹣m(2x﹣2﹣x)+2],
设t=2x﹣2﹣x,t
设h(t)=t2﹣mt+2,
当0<m<1 时,y=logmh(t)是单调递减函数,
∵函数h(t)=t2﹣mt+2,在t 有最小值1;
∵对称轴方程为 ;函数在t 上单调递增,
∴,解得: (不满足,舍去)
当m>1时,h(t)>0在上恒成立,且最大值为1;
所以函数h(t)=t2﹣mt+2,在t 有最大值为1;
∵对称轴方程为:,
当 时,即,当 t= 时,有h(t)最大值;
∴,即 ;
∵,当时,h(t)取得最小值,
所以此时不满足条件;
当时,即,h(t)在 时取得最大值;
即,则m=(不符合条件)
故不存在正实数m,满足条件.
12.(16分)若在定义域内存在实数x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立则称函数f(x)有“溜点x0”
(1)若函数在(0,1)上有“溜点”,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)=lg()在(0,1)上有“溜点”,求实数a的取值范围.
【分析】(1)在(0,1)上有“溜点”,利用定义,推出在(0,1)上有解,转化h(x)=4mx﹣1与的图象在(0,1)上有交点,然后求解即可.
(2)推出a>0,在(0,1)上有解,设,令t=2x+1,由x∈(0,1)则t∈(1,3),利用基本不等式求解,得到实数a的取值范围.
【解答】(本题满分12分)
解:(1)在(0,1)上有“溜点”,
即f(x+1)=f(x)+f(1)在(0,1)上有解,
即在(0,1)上有解,
整理得在(0,1)上有解,
从而h(x)=4mx﹣1与的图象在(0,1)上有交点,
故h(1)>g(1),即,得,
(2)由题已知a>0,且在(0,1)上有解,
整理得,又.
设,令t=2x+1,由x∈(0,1)则t∈(1,3).
于是则.
从而.
故实数a的取值范围是.
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日期:2021/10/22 22:05:58;用户:周老师;邮箱:qjytjy02@xyh.com;学号:41045409
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