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    2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一(上)期末数学试卷(文科)

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    这是一份2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一(上)期末数学试卷(文科),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一(上)期末数学试卷(文科)
    一、选择题(每小题6分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
    1.(6分)已知集合A={x∈N|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|2x≤2},则集合A∩B的子集的个数为(  )
    A.1 B.2 C.4 D.8
    2.(6分)已知角α的终边上一点的坐标为(),角α的最小正值为(  )
    A. B. C. D.
    3.(6分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )
    A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
    4.(6分)已知x=是函数f(x)=2(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为(  )
    A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
    5.(6分)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a﹣=(  )

    A.0 B.1 C. D.2
    6.(6分)给出下列命题,其中正确的命题的个数(  )
    ①函数图象恒在x轴的下方;
    ②将y=2x的图象经过先关于y轴对称,再向右平移1个单位的变化后为y=21﹣x的图象;
    ③若函数的值域为R,则实数a的取值范围是(﹣1,1);
    ④函数f(x)=ex的图象关于y=x对称的函数解析式为y=lnx.
    A.1 B.2 C.3 D.4
    二、填空题(每题6分,共18分,请把答案填在答题卡内横线上)。
    7.(6分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为   .
    8.(6分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是   小时.
    9.(6分)已知函数在区间内有且只有一个最值点,则ω的取值范围是   .
    三、解答题(本大题共3小题,共46分。应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)。
    10.(15分)已知函数.
    (1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
    (2)若方程在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1﹣x2)的值.
    11.(15分)已知函数是奇函数.
    (Ⅰ)求实数t的值;
    (Ⅱ)若f(1)<0,对任意x∈[0,1]有恒成立,求实数k取值范围;
    (Ⅲ)设,若,问是否存在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
    12.(16分)若在定义域内存在实数x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立则称函数f(x)有“溜点x0”
    (1)若函数在(0,1)上有“溜点”,求实数m的取值范围;
    (2)若函数f(x)=lg()在(0,1)上有“溜点”,求实数a的取值范围.

    2019-2020学年四川省遂宁市射洪市英才班高一(上)期末数学试卷(文科)
    参考答案与试题解析
    一、选择题(每小题6分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
    1.(6分)已知集合A={x∈N|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|2x≤2},则集合A∩B的子集的个数为(  )
    A.1 B.2 C.4 D.8
    【分析】可求出集合A,B,然后进行交集的运算求出A∩B,从而可得出集合A∩B的子集的个数.
    【解答】解:∵A={x∈N|﹣2≤x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|x≤1},
    ∴A∩B={0,1},
    ∴集合A∩B的子集的个数为:22=4.
    故选:C.
    2.(6分)已知角α的终边上一点的坐标为(),角α的最小正值为(  )
    A. B. C. D.
    【分析】将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,利用三角函数的定义求出角α的正弦,求出角α的最小正值
    【解答】解:=
    ∴角α的终边在第四象限
    ∵到原点的距离为1

    ∴α的最小正值为
    故选:D.
    3.(6分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )
    A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
    【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c
    【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,
    ∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,
    ∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,
    ∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),
    则2<log25.1<3,1<20.8<2,
    由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),
    ∴b<a<c,
    故选:C.
    4.(6分)已知x=是函数f(x)=2(0<φ<π)图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为(  )
    A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
    【分析】利用正弦函数的图象的对称性,求得函数的解析式.根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,利用正弦函数的定义域和值域,求得函数g(x)在上的最小值.
    【解答】解:因为x=是函数f(x)=2(0<φ<π)图象的一条对称轴,
    所以2×+φ+=kπ+,k∈Z,所以φ=,即f(x)=2sin(2x+).
    将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移个单位后,
    得到函数g(x)=2sin[2(x﹣)+]=2sin(2x﹣)=﹣2sin(2x﹣)的图象,
    在上,2x﹣∈[﹣,],故当2x﹣=时,g(x)取得最小值为﹣1,
    故选:D.
    5.(6分)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a﹣=(  )

    A.0 B.1 C. D.2
    【分析】先根据题意结合图形确定M、N的坐标,然后分别代入y=xa,y=xb求得a,b,最后再求a﹣的值即得.
    【解答】解:BM=MN=NA,点A(1,0),B(0,1),
    所以M (,),N (,),
    分别代入y=xa,y=xb,a=,b=,
    ∴a﹣=﹣=0.
    故选:A.
    6.(6分)给出下列命题,其中正确的命题的个数(  )
    ①函数图象恒在x轴的下方;
    ②将y=2x的图象经过先关于y轴对称,再向右平移1个单位的变化后为y=21﹣x的图象;
    ③若函数的值域为R,则实数a的取值范围是(﹣1,1);
    ④函数f(x)=ex的图象关于y=x对称的函数解析式为y=lnx.
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【分析】对于①,这是一个复合函数,可判断出x2﹣2x+3>2,再结合对数函数的单调性可得图象;
    对于②,利用对称和平移的基本结论可得移动后图象;
    对于③,因为值域为R,所以x2﹣2ax+1取遍所有的正数,所以△=4a2﹣4<0,解出a的取值范围即可;
    对于④,交换x,y位置即可得新函数解析式.
    【解答】解:对于①,因为x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2>2,根据对数性质可知<=﹣1,所以对应函数的图象恒在x轴的下方,故①对;
    对于②,函数y=2x图象关于y轴对称后得到的函数解析式为=2﹣x,向右移动一个单位后得到y=2﹣(x﹣1)=21﹣x,故②对;
    对于③,若函数值域为R,令f(x)=x2﹣2ax+1,则可得f(x)可以取所有的正数,∴△=4a2﹣4<0,故实数a的取值范围是(﹣1,1),故③正确;
    对于④,令y=x,得x=ey,所以y=lnx,故④对;
    综上正确的个数为4个,
    故选:D.
    二、填空题(每题6分,共18分,请把答案填在答题卡内横线上)。
    7.(6分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(﹣2,2]上,f(x)=,则f(f(15))的值为  .
    【分析】根据函数的周期性,进行转化求解即可.
    【解答】解:由f(x+4)=f(x)得函数是周期为4的周期函数,
    则f(15)=f(16﹣1)=f(﹣1)=|﹣1+|=,
    f()=cos()=cos=,
    即f(f(15))=,
    故答案为:
    8.(6分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时.
    【分析】由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=ekx+b,解方程,可得k,b,再由x=33,代入即可得到结论.
    【解答】解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.
    代入函数y=ekx+b,
    可得eb=192,e22k+b=48,
    即有e11k=,eb=192,
    则当x=33时,y=e33k+b=×192=24.
    故答案为:24.
    9.(6分)已知函数在区间内有且只有一个最值点,则ω的取值范围是 (,] .
    【分析】根据x∈,可得2ωx﹣∈(﹣,πω﹣),根据已知及正弦函数的图象与性质可得关于ω的不等式,解之即可得解.
    【解答】解:因为x∈,所以2ωx﹣∈(﹣,πω﹣),
    因为f(x)在区间内有且只有一个最值点,
    由正弦函数的图象与性质可得<πω﹣≤,
    解得<ω≤,
    即ω的取值范围是(,].
    故答案为:(,].
    三、解答题(本大题共3小题,共46分。应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)。
    10.(15分)已知函数.
    (1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
    (2)若方程在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1﹣x2)的值.
    【分析】(1)f(x)=sin(2x﹣).利用正弦函数的单调性最值即可得出.
    (2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴,利用方程f(x)=在(0,π)上的解x1,x2与对称轴的关系,即可得出.
    【解答】解:(1)f(x)=sin(2x﹣).当2x﹣=+2kπ(k∈Z),……………(1分)
    即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.………(5分)
    (2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),……………(7分)
    ∴当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.……………………………(9分)
    又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
    ∴x1+x2=π,则x1=π﹣x2,……………………………(11分)
    ∴cos(x1﹣x2)=cos(﹣2x2)=sin(2x2﹣),…………………………(13分)
    又f(x2)=sin(2x2﹣)=,
    故cos(x1﹣x2)=. ……………………………(15分)
    11.(15分)已知函数是奇函数.
    (Ⅰ)求实数t的值;
    (Ⅱ)若f(1)<0,对任意x∈[0,1]有恒成立,求实数k取值范围;
    (Ⅲ)设,若,问是否存在实数m使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
    【分析】(Ⅰ)利用奇函数的性质,f(0)=0,即可求出t的值;
    (Ⅱ)由f(1)<0,得0<a<1,f(x)单调递减,有=f(﹣1),利用单调性脱去函数符号,再分离参数求解;
    (Ⅲ)由,得a=2,设t=2x﹣2﹣x,t,设h(t)=t2﹣mt+2,然后对m进行分类讨论;
    【解答】解:(Ⅰ)f(x)为奇函数,则f(0)=0,,
    则t=﹣1;
    (Ⅱ)由f(1)<0,有,得0<a<1;
    则 在R上单调递减;
    任意x∈[0,1]有恒成立;
    即任意x∈[0,1]有=f(﹣1)恒成立;
    所以2x2﹣kx﹣k<﹣1在x∈[0,1]上恒成立;
    即==2(x+1)+
    ∵当时,2(x+1)+≤
    所以实数k取值范围;
    (Ⅲ)由,得a=2,假设存在满足条件的m,
    =logm[(2x﹣2﹣x)2﹣m(2x﹣2﹣x)+2],
    设t=2x﹣2﹣x,t
    设h(t)=t2﹣mt+2,
    当0<m<1 时,y=logmh(t)是单调递减函数,
    ∵函数h(t)=t2﹣mt+2,在t 有最小值1;
    ∵对称轴方程为 ;函数在t 上单调递增,
    ∴,解得: (不满足,舍去)
    当m>1时,h(t)>0在上恒成立,且最大值为1;
    所以函数h(t)=t2﹣mt+2,在t 有最大值为1;
    ∵对称轴方程为:,
    当 时,即,当 t= 时,有h(t)最大值;
    ∴,即 ;
    ∵,当时,h(t)取得最小值,
    所以此时不满足条件;
    当时,即,h(t)在 时取得最大值;
    即,则m=(不符合条件)
    故不存在正实数m,满足条件.
    12.(16分)若在定义域内存在实数x0使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立则称函数f(x)有“溜点x0”
    (1)若函数在(0,1)上有“溜点”,求实数m的取值范围;
    (2)若函数f(x)=lg()在(0,1)上有“溜点”,求实数a的取值范围.
    【分析】(1)在(0,1)上有“溜点”,利用定义,推出在(0,1)上有解,转化h(x)=4mx﹣1与的图象在(0,1)上有交点,然后求解即可.
    (2)推出a>0,在(0,1)上有解,设,令t=2x+1,由x∈(0,1)则t∈(1,3),利用基本不等式求解,得到实数a的取值范围.
    【解答】(本题满分12分)
    解:(1)在(0,1)上有“溜点”,
    即f(x+1)=f(x)+f(1)在(0,1)上有解,
    即在(0,1)上有解,
    整理得在(0,1)上有解,
    从而h(x)=4mx﹣1与的图象在(0,1)上有交点,
    故h(1)>g(1),即,得,
    (2)由题已知a>0,且在(0,1)上有解,
    整理得,又.
    设,令t=2x+1,由x∈(0,1)则t∈(1,3).
    于是则.
    从而.
    故实数a的取值范围是.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
    日期:2021/10/22 22:05:58;用户:周老师;邮箱:qjytjy02@xyh.com;学号:41045409
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