2020-2021学年四川省雅安市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省雅安市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了解答题.解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省雅安市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，5}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{2，3，4，5}
2．（5分）已知α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
3．（5分）已知A＝{x|2＜2x＜4}，B＝{x|1＜x＜b}，若A⊆B，则实数b的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
4．（5分）函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　）
A．（1，2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）
5．（5分）已知扇形的中心角为，半径为2，则其面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，0] B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）
C．（﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]
7．（5分）已知曲线，则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上点向右平移个单位长度得到曲线C2
B．把C1上点向右平移个单位长度得到曲线C2
C．把C1上点向左平移个单位长度得到曲线C2
D．把C1上点向左平移个单位长度得到曲线C2
8．（5分）已知4a＝9b＝12，则＝（　　）
A． B．1 C． D．2
9．（5分）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω≠0，|φ|＜），点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
12．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（f（a））＝3f（a）的实数a的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.将答案填在答题卡相应的横线上.
13．（5分）计算：sin120°＝　 　．
14．（5分）函数y＝2+loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝，且f（2021）＝﹣1，则f（﹣2021）＝　 　．
16．（5分）已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0，则当x∈（0，），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）已知tanα＝3，求的值．
（2）计算．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，且，求cos2x的值．

19．（12分）已知定义域为实数集R的函数．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）﹣f（k﹣t2）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
20．（12分）已知幂函数f（x）＝xa过点A（2，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求的值域．
21．（12分）已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cosx+．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan（x1+x2）的值．
22．（12分）已知函数，其中常数a＞0且a≠1，记函数F（x）＝2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的零点；
（2）若关于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5＝0在区间（0，1）内有且仅有一解，求实数m的取值范围．

2020-2021学年四川省雅安市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，5}，则A∩B＝（　　）
A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{2，3，4，5}
【分析】利用集合交集的定义进行求解即可．
【解答】解：因为A＝{1，3}，B＝{1，2，5}，
所以A∩B＝{1}．
故选：A．
2．（5分）已知α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由α为第二象限角，得到cosα＜0，由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．
【解答】解：∵α是第二象限的角，sinα＝，cosα＜0
∴cosα＝﹣＝﹣．
故选：B．
3．（5分）已知A＝{x|2＜2x＜4}，B＝{x|1＜x＜b}，若A⊆B，则实数b的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【分析】求出集合A，利用集合的包含关系即可求解．
【解答】解：由已知可得A＝（1，2），B＝（1，b），
因为A⊆B，
则一定有，解得b≥2，
即b的范围为[2，+∞），
故选：D．
4．（5分）函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　）
A．（1，2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）
【分析】本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答时可以直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．
【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．
又∵，，∴f（2）•f（e）＜0，
∴函数f（x）＝的零点所在的大致区间是（2，e）．
故选：C．
5．（5分）已知扇形的中心角为，半径为2，则其面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用扇形的面积计算公式S＝αr2即可得出．
【解答】解：此扇形的面积S＝lr＝αr2＝××22＝．
故选：D．
6．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，0] B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）
C．（﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得﹣2＜x≤0．
∴函数的定义域为[﹣2，0]．
故选：A．
7．（5分）已知曲线，则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上点向右平移个单位长度得到曲线C2
B．把C1上点向右平移个单位长度得到曲线C2
C．把C1上点向左平移个单位长度得到曲线C2
D．把C1上点向左平移个单位长度得到曲线C2
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：对于曲线，
把C1上点向左平移个单位长度，即可得到曲线C2，
故选：D．
8．（5分）已知4a＝9b＝12，则＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】利用对数与指数的互化、对数运算性质即可得出大小关系．
【解答】解：∵4a＝9b＝12，
∴a＝log412＝，b＝log912＝，
则＝+＝＝＝1．
故选：B．
9．（5分）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
【分析】根据已知利用同角三角函数基本关系式，诱导公式化简即可求值得解．
【解答】解：∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，
∴＝2sin72°，a＝2cos72°•2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，
∴＝＝＝．
故选：C．
10．（5分）已知函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω≠0，|φ|＜），点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用点和是其相邻的两个对称中心，求出周期，进而求出ω的值，由f（x）在区间内单调递减，得到ω＜0，故ω＝﹣1，然后利用特殊点求解即可得到答案．
【解答】解：因为正切函数y＝tanx相邻的两个对称中心的距离为，
所以函数f（x）的周期为＝π，即，
故ω＝±1，
因为f（x）在区间内单调递减，
所以ω＜0，故ω＝﹣1，
所以f（x）＝tan（﹣x+φ），
因为∈，
当x＝时，f（x）＝0，
则φ＝kπ，解得，
当k＝﹣1时，φ＝．
故选：A．
11．（5分）已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则＝sinα+cos（α+）＝sin（），由此能求出的最大值．
【解答】解：设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），
∴＝sinα+cos（α+）
＝+cos﹣sin
＝+
＝sin（α+），
∴的最大值为1．
故选：A．
12．（5分）设函数f（x）＝，则满足f（f（a））＝3f（a）的实数a的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【分析】令f（a）＝t，则f（t）＝3t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a≤1，a＞1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：则函数f（x）在定义域上为增函数，
设f（a）＝t，
则f（t）＝3t，
当t＜1时，4t﹣1＝3t，即4t﹣1﹣3t＝0，
设g（t）＝4t﹣1﹣3t，
则导数为g′（t）＝4﹣3tln3，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）＝0，
则方程4t﹣1＝3t无解；
当t≥1时，f（t）＝3t成立，
由f（a）≥1，
若a≤1，则4a﹣1≥1，解得a≥，且a≤1，此时≤a≤1；
若a＞1，则3a≥1解得a≥0，即为a＞1．
综上可得a的范围是a≥．
故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.将答案填在答题卡相应的横线上.
13．（5分）计算：sin120°＝　　．
【分析】直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可．
【解答】解：因为sin120°＝sin（90°+30°）＝cos30°＝
故答案为：
14．（5分）函数y＝2+loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为　（2，2）　．
【分析】利用对数函数y＝logax恒过定点（1，0）的知识，求出P点的坐标．
【解答】解：∵函数y＝2+loga（x﹣1）（a＞0，a≠1），
当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝2+0＝2；
∴函数y的图象必过定点P（2，2）．
故答案为：（2，2）．
15．（5分）已知函数f（x）＝，且f（2021）＝﹣1，则f（﹣2021）＝　3　．
【分析】由已知根据三角函数的奇偶性可得f（x）+f（﹣x）＝4cos＝2，即可计算得解．
【解答】解：因为f（x）＝，
所以f（x）+f（﹣x）＝4cos＝2，
所以f（﹣2021）＝2﹣f（2021）＝3．
故答案为：3．
16．（5分）已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0，则当x∈（0，），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，实数a的取值范围是　[，1）　．
【分析】根据抽象函数的定义，利用赋值法求出函数f（x）的表达式，然后根据不等式恒成立，结合对数函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，
∴令y＝0，x＝1代入已知式子f（x+y）﹣f（y）＝（x+2y+1）x，
得f（1）﹣f（0）＝2，
∵f（1）＝0，
∴f（0）＝﹣2；
令y＝0得f（x）+2＝（x+1）x，
∴f（x）＝x2+x﹣2．
当x∈（0，），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，
即x2+x＜logax恒成立，
设g（x）＝x2+x，在（0，）上是增函数，
∴0＜g（x），
∴要使x2+x＜logax恒成立，
则logax≥在x∈（0，）恒成立，
若a＞1时，不成立．
若0＜a＜1，则有loga＝时，a＝，
∴要使logax≥在x∈（0，）恒成立，
则≤a＜1，
故答案为：[，1）
三、解答题（本大题共6小题，共70分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）已知tanα＝3，求的值．
（2）计算．
【分析】（1）化弦为切，把tanα＝3代入，即可．
（2）利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：（1）∵tanα＝3，
∴．
（2）
＝．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，且，求cos2x的值．

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意求得sin（2x+） 的值，可得cos（2x+） 的值，再利用两角和差的三角公式，求得 的值．
【解答】解：（1）由图知，∴T＝π，ω＝2．
又由五点法作图可得，2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）．
（2）∵＝sin（2x+），且 ，
又因为 ，
∴＝＝．
19．（12分）已知定义域为实数集R的函数．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）﹣f（k﹣t2）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）f（x）在R上为减函数，由单调性的定义，结合指数函数的单调性和值域，可得证明；
（2）由题意可得f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）恒成立，再由f（x）的单调性可得2t﹣3t2＜k﹣t2，再由判别式小于0，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）由，知f（x）在R上为减函数，
证明：设∀x1，x2∈R，且x1＜x2，
所以＝，由于在R上递增，
所以，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上单调递减．
（2）由f（2t﹣3t2）＞f（k﹣t2）恒成立，
∵f（x）在R上为减函数，∴2t﹣3t2＜k﹣t2，
即对于一切t∈R有2t2﹣2t+k＞0恒成立，
∴判别式△＝（﹣2）2﹣4×2×k＜0，∴．
故实数k的取值范围是．
20．（12分）已知幂函数f（x）＝xa过点A（2，8）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求的值域．
【分析】（1）把点的坐标代入幂函数解析式求出a的值即可．
（2）把f（x）的解析式代入化简函数的解析式，利用换元法求该函数的最大、最小值，从而求出它的值域．
【解答】解：（1）幂函数f（x）＝xa过点A（2，8），
所以2a＝8，解得a＝3，
所以函数f（x）＝x3．
（2）因为f（x）＝x3，
所以；
令t＝log2x，
因为，所以t∈[﹣1，1]，
所以，
所以y＝9t2﹣3t﹣1在上单调递减，在上单调递增，
因此；
又当t＝﹣1时，y＝9+3﹣1＝11；
当t＝1时，y＝9﹣3﹣1＝5；
所以ymax＝11，所求函数的值域为：．
21．（12分）已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cosx+．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan（x1+x2）的值．
【分析】（Ⅰ）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（Ⅱ）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1，x2，转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点；可求m的范围，换元，令h（u）＝sinu，作出图，m在[，2），函数h（u）与函数y＝m有两个交点，其横坐标分别为x1′，x2′．即可求tan（x1′+x2′）的值．即为tan（x1+x2）的值．
【解答】解：函数f（x）＝4sin（x﹣）cosx+．
化简可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+
＝sin2x﹣（+cos2x）+
＝sin2x﹣cos2x
＝2sin（2x﹣）
（Ⅰ）函数的最小正周期T＝，
由2x﹣时单调递增，
解得：≤x≤
∴函数的单调递增区间为[：，]，k∈Z．
（Ⅱ）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0，]匀上有两个不同的零点x1，x2，转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x﹣，∵x∈[0，]，
∴u∈[，]
设h（u）＝sinu的图象（如图）．
从图可知：m在[，2），函数h（u）与函数y＝m有两个交点，其横坐标分别为x1′，x2′．
故得实数m的取值范围是m∈[，2），
由题意可知x1′，x2′是关于对称轴是对称的：
那么函数在[0，]的对称轴x＝
∴x1′+x2′＝×2＝
那么：tan（x1′+x2′）＝tan＝．

22．（12分）已知函数，其中常数a＞0且a≠1，记函数F（x）＝2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的零点；
（2）若关于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5＝0在区间（0，1）内有且仅有一解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由对数有意义的条件求得函数F（x）的定义域，再解方程F（x）＝0，即可；
（2）原问题等价于2m2﹣3m﹣5＝F（x）在区间（0，1）内仅有一解，分a＞1和0＜a＜1两种情况，根据复合函数单调性，判断F（x）在（0，1）上的单调性，再解不等式，即可得解．
【解答】解：（1），
由，解得﹣1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）．
令F（x）＝0，则，即x2+3x＝0，
解得x＝0或﹣3，
因为﹣1＜x＜1，所以x＝0，
故函数F（x）的零点为0．
（2）原问题等价于2m2﹣3m﹣5＝F（x）在区间（0，1）内仅有一解，
因为函数在定义域上是增函数，
所以①当a＞1时，F（x）在（0，1）上是增函数，
所以F（x）∈（0，+∞），
故只需2m2﹣3m﹣5＞0，
解得m＜﹣1或；
②当0＜a＜1时，F（x）在（0，1）上是减函数，
所以F（x）∈（﹣∞，0），
故只需2m2﹣3m﹣5＜0，
解得，
综上所述，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为（﹣1，）；
当a＞1时，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．