2020-2021学年四川省巴中中学、南江中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省巴中中学、南江中学高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省巴中中学、南江中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[0，3） C．（﹣1，0] D．（﹣1，2]
2．（5分）已知sinθ＞0且cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）sin140°cos10°+cos40°sin350°＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）函数f（x）＝log3x+x3﹣9的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
5．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（　　）
A． B．y＝2x C． D．y＝|lnx|
6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝3x﹣1（0≤x＜3），f（x﹣1）＝f（x+2），则f（2021）＝（　　）
A． B．1 C．3 D．9
7．（5分）角α，β的终边关于y轴对称，若，则cosβ＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）设函数，则f（﹣3）+f（log23）＝（　　）
A．4 B．5 C． D．
9．（5分）要得到函数的图象只需将函数的图象（　　）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
10．（5分）已知函数f（x）＝lg（4﹣x2），记a＝f（log3），b＝f[（）]，，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
11．（5分）定义运算＝ad﹣bc，如果f（x）＝，（ω＞0，0＜φ＜）的图象的一条对称轴为x＝，φ满足等式2cosφ＝3tanφ，则ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（　　）
A． B．π C． D．2π
12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，，若函数y＝f（x）﹣a，（0＜a＜1）有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6），则＝（　　）
A．8 B．0 C．﹣8 D．﹣16
二、填空题：(共4小题，每小题5分，共20分.)
13．（5分）计算：＝　 　．
14．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中，则＝　 　．

16．（5分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）＝f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．
下列函数①y＝2x，②y＝log2x，③y＝[x]（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是　 　（直接填写序号）；若φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，则k的值　 　．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知，且α为第三象限角．
（1）求cosα的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥﹣1．
19．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为30000元，每生产一台仪器需增加投入150元，总收益（单位：元）R（x）＝，其中x（单位：台）是仪器的月产量．注：总收益＝总成本+利润．
（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；
（2）求公司所获月利润的最大值．
20．（12分）已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c∈R）的图象过点（1，0），且f（x﹣1）为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[4，16]，不等式f（log4x）≤mlog4x恒成立，求m的最小值．
21．（12分）已知函数．
（1）若点是函数f（x）图象的一个对称中心，且ω∈（0，1），求函数f（x）在上的值域；
（2）若函数f（x）在上单调递增，求实数ω的取值范围．
22．（12分）已知函数cos（2ωx）﹣1（ω＞0），f（x）的最小正期为π．
（1）求f（x）的值域；
（2）方程f（x）﹣n+1＝0在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；
（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

2020-2021学年四川省巴中中学、南江中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，3） B．[0，3） C．（﹣1，0] D．（﹣1，2]
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝[0，3）．
故选：B．
2．（5分）已知sinθ＞0且cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用三角函数的定义，可确定y＞0且x＜0，进而可知θ所在的象限．
【解答】解：根据三角函数的定义，
sinθ＝＞0，cosθ＝＜0，
∵r＞0，
∴y＞0，x＜0；
∴θ在第二象限．
故选：B．
3．（5分）sin140°cos10°+cos40°sin350°＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
【解答】解：sin140°cos10°+cos40°sin350°＝sin40°cos10°﹣cos40°sin10°＝sin30．
故选：C．
4．（5分）函数f（x）＝log3x+x3﹣9的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】先判断函数的单调性，利用函数零点的判断条件即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数单调递增，
因为f（2）＝log32﹣1＜0，f（3）＝log33+27﹣9＝19＞0，
f（2）f（3）＜0，
∴函数的零点所在区间是（2，3）．
故选：C．
5．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（　　）
A． B．y＝2x C． D．y＝|lnx|
【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：y＝在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
y＝2x为非奇非偶函数，故B不符合题意；
f（x）＝＝|x|为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x单调递增，故C正确；
由于y＝|lnx|的定义域（0，+∞）关于原点不对称，故非奇非偶，不符合题意；
故选：C．
6．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝3x﹣1（0≤x＜3），f（x﹣1）＝f（x+2），则f（2021）＝（　　）
A． B．1 C．3 D．9
【分析】根据题意，将f（x﹣1）＝f（x+2）变形可得f（x+3）＝f（x），则有f（x）是周期为3的周期函数，进而可得f（2021）＝f（2+673×3）＝f（2），由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+2），即f（x+3）＝f（x），
f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2021）＝f（2+673×3）＝f（2），
又由函数f（x）满足f（x）＝3x﹣1（0≤x＜3），则f（2）＝31＝3，
故f（2021）＝f（2）＝3，
故选：C．
7．（5分）角α，β的终边关于y轴对称，若，则cosβ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用诱导公式可得cosα＝，又由于α+β＝π+2kπ，k∈Z，利用诱导公式即可求解cosβ＝﹣cosα的值．
【解答】解：因为，
可得cosα＝，
又因为角α与角β的终边关于y轴对称．
∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，
∴cosβ＝﹣cosα＝﹣．
故选：B．
8．（5分）设函数，则f（﹣3）+f（log23）＝（　　）
A．4 B．5 C． D．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣3）和f（log23）的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
则f（﹣3）＝log24＝2，f（log23）＝＝，
则f（﹣3）+f（log23）＝2+＝，
故选：D．
9．（5分）要得到函数的图象只需将函数的图象（　　）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
【分析】根据三角函数图象平移规则，进行平移即可．
【解答】解：由函数＝sin2（x+）+2，
所以函数＝sin2x的图象，
先向左平移个单位长度，得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，
再向上平移2个单位长度，得y＝sin（2x+）+2的图象．
故选：B．
10．（5分）已知函数f（x）＝lg（4﹣x2），记a＝f（log3），b＝f[（）]，，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】推导出f（﹣x）＝f（x），f（x）的增区间是（﹣2，0]，f（x）的减区间是[0，2），推导出0＜（）＜1＜＜﹣＜2，由此能比较a、b、c的大小关系．
【解答】解：∵函数f（x）＝lg（4﹣x2），∴﹣2＜x＜2，且f（﹣x）＝f（x），
f（x）的增区间是（﹣2，0]，f（x）的减区间是[0，2），
∵1＝log33＜＜log36＜log39＝2，
0＜＜（）0＝1，
＝﹣log36，
∴0＜（）＜1＜＜﹣＜2，
记a＝f（log3），b＝f[（）]，，
∴a、b、c的大小关系是b＞a＞c．
故选：B．
11．（5分）定义运算＝ad﹣bc，如果f（x）＝，（ω＞0，0＜φ＜）的图象的一条对称轴为x＝，φ满足等式2cosφ＝3tanφ，则ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（　　）
A． B．π C． D．2π
【分析】根据2cosφ＝3tanφ，利用切化弦和同角三角函数关系转化成sinφ的二次方程，可求出φ的值，结合对称轴可求出ω，最后利用周期公式进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝＝10sin（ωx+φ）﹣10，
因为2cosφ＝3tanφ，所以2cosφ＝3，
即2cos2φ＝3sinφ，2（1﹣sin2φ）＝3sinφ，
所以（sinφ+2）（2sinφ﹣1）＝0，解得sinφ＝或﹣2（舍去），
而0＜φ＜，所以φ＝，
即f（x）＝10sin（ωx+）﹣10，
而y＝f（x）的图象的一条对称轴为x＝，
所以f（）＝10sin（ω×+）﹣10＝﹣20或0，
即ω×+＝，k∈Z，
解得ω＝，k∈Z，
所以ω取最小值为，此时函数f（x）的最小正周期为．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，，若函数y＝f（x）﹣a，（0＜a＜1）有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6（x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6），则＝（　　）
A．8 B．0 C．﹣8 D．﹣16
【分析】作出函数在R上的图象，利用二次函数对称性以及对数的运算性质即可求得的值．
【解答】解：因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在R上的图象如图：

由图可知x1+x2＝﹣8，x5+x6＝8，且﹣log2x3＝log2x4，即log2（x3x4）＝0，∴x3x4＝1，
则＝．
故选：D．
二、填空题：(共4小题，每小题5分，共20分.)
13．（5分）计算：＝　3　．
【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】解：
＝﹣2
＝3﹣2．
故答案为：3﹣2．
14．（5分）已知扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为　　．
【分析】根据扇形的面积公式S＝，得n＝，计算可得答案．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
n＝＝．
故答案为：．
15．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中，则＝　　．

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点求出φ的值，再根据|MN|的值，根据|MN|＝＝，求出ω，可得可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．
【解答】解：函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得A＝2，Acosφ＝1，∴φ＝，f（x）＝2cos（ωx+）．
∵|MN|＝＝，∴ω＝，f（x）＝2cos（x+）．
则＝2cos（•+）＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（5分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）＝f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．
下列函数①y＝2x，②y＝log2x，③y＝[x]（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是　③　（直接填写序号）；若φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，则k的值　1　．
【分析】对于第一空，结合函数的解析式，依次分析三个函数是否满足“线周期函数”的定义，即可得答案，
对于第二空，由“线周期函数”的定义可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）＝sinx+kx+T成立，变形可得sin（x+T）﹣sinx＝T（1﹣k），对于任意x的成立，分析可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于所给的三个函数：
①y＝2x，有f（x+T）＝2x+T＝2x2T＝f（x）2T，故不是线周期函数
②y＝log2x，有f（x+T）＝log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数
③y＝[x]，有f（x+T）＝[x+T]＝[x]+T＝f（x）+T，故是线周期函数
则只有③是线周期函数，
若φ（x）＝sinx+kx为线周期函数，即存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）＝sinx+kx+T成立，
若sin（x+T）+kT＝sinx+T，
变形可得sin（x+T）﹣sinx＝T（1﹣k），对于任意x的成立，
必有k＝1，T为y＝sinx的周期，
故k＝1；
故答案为：③，1．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知，且α为第三象限角．
（1）求cosα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
（2）利用诱导公式化简即可求解．
【解答】解：（1）因为，且α为第三象限角，所以有，
所以，；
（2）．
18．（12分）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥﹣1．
【分析】（Ⅰ）根据三角函数f（x）的解析式求出最小正周期和单调减区间；
（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，]上的最小值是﹣1即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝，
所以f（x）的最小正周期为；
令，k∈Z；
解得，k∈Z；
所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z；
（Ⅱ）证明：因为，
所以；
当，即x＝0时，
函数f（x）有最小值为f（0）＝﹣1；
所以当时，f（x）≥﹣1．
19．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为30000元，每生产一台仪器需增加投入150元，总收益（单位：元）R（x）＝，其中x（单位：台）是仪器的月产量．注：总收益＝总成本+利润．
（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；
（2）求公司所获月利润的最大值．
【分析】（1）利用利润＝总收益﹣总成本，分段求出f（x）的解析式，再写成分段函数的形式即可．
（2）当0≤x≤400时f（x）＝，利用二次函数的性质求出f（x）的最大值，当x＞400时f（x）＝﹣150x+70000是减函数，所以f（x）＜10000，再比较两者的大小，取较大者即为f（x）的最大值．
【解答】解：（1）当0≤x≤400时，f（x）＝R（x）﹣30000﹣150x＝，
当x＞400时，f（x）＝R（x）﹣30000﹣150x＝100000﹣30000﹣150x＝﹣150x+70000，
综上所述：f（x）＝．
（2）当0≤x≤400时，f（x）＝，
所以当x＝300时，f（x）取得最大值，最大值为f（300）＝15000元，
当x＞400时，f（x）＝﹣150x+70000＜﹣150×400+70000＝10000，
综上所述，当x＝300时，f（x）max＝15000元，
故公司所获月利润的最大值为15000元．
20．（12分）已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c∈R）的图象过点（1，0），且f（x﹣1）为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[4，16]，不等式f（log4x）≤mlog4x恒成立，求m的最小值．
【分析】（1）由偶函数的定义，可得f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，由二次函数的对称轴方程和f（1）＝0，解得b，c，可得f（x）的解析式；
（2）令t＝log4x，由对数函数的单调性可得t的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2x2+bx+c为二次函数，且f（x﹣1）为偶函数，
可得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），
所以f（x）的图象的对称轴方程为x＝﹣1，
又f（x）的图象过点（1，0），
故，
解得，
所以f（x）＝2x2+4x﹣6；
（2）令t＝log4x，
由x∈[4，16]，则t∈[1，2]，
不等式f（log4x）≤mlog4x，即2（log4x）2+4log4x﹣6≤mlog4x，
可得在[1，2]上恒成立，
因为函数在[1，2]上单调递增，
易得当t＝2时，＝5，即为最大值，
故m的取值范围是[5，+∞），
所以实数m的最小值为5．
21．（12分）已知函数．
（1）若点是函数f（x）图象的一个对称中心，且ω∈（0，1），求函数f（x）在上的值域；
（2）若函数f（x）在上单调递增，求实数ω的取值范围．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的图象的对称性求得ω，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．
（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数ω的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：2ω•+＝kπ，k∈Z，∴，k∈Z．
∵ω∈（0，1），∴，∴，
∵，∴，
∴，
故函数f（x）在上的值域为[﹣1，2]．
（2）令，
解得，
∵函数f（x）在上单调递增，
∴，k0∈Z，
∴，即，
又，∴，
∴，∴k0＝0，
∴，即ω的取值范围为．
22．（12分）已知函数cos（2ωx）﹣1（ω＞0），f（x）的最小正期为π．
（1）求f（x）的值域；
（2）方程f（x）﹣n+1＝0在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；
（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可．
（2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题进行求解即可．
（3）根据不等式即成立，进行转化求解即可．
【解答】解：（1）函数，
∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0，
∴，∴ω＝1．
那么f（x）的解析式，
则当sin（2x﹣）＝1时，函数取得最大值2，
当sin（2x﹣）＝﹣1时，函数取得最小值﹣2
则取值范围是[﹣2，2]．即函数的值域为[﹣2，2]．
（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在上有且有一个解，
转化为函数y＝f（x）与函数y＝n﹣1只有一个交点．
∵，∴，
因为函数在上增，在上减，
且，
∴或n﹣1＝2，
所以1﹣≤n＜2或n＝3．
（3）由（1）可知，∴f（x2）min＝﹣2．
实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使得成立．
即成立，
令，
设，
那么，
∵x1∈[﹣1，1]，∴，可得t2+mt+6＞0在上恒成立．
令g（t）＝t2+mt+6，其对称轴，∵上，
∴①当时，即m≥3，，解得；
②当，即﹣3＜m＜3时，，解得﹣3＜m＜3；
③当，即m≤﹣3时，，解得；
综上可得，存在m，可知m的取值范围是．