备战2022 中考数学 人教版 第二十四讲 图形的相似与位似 专题练

第二十四讲　图形的相似与位似

1．(2021·温州中考)如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为(     )

A．8    B．9    C．10    D．15

2．(2021·遂宁中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为(     )

A．12 cm2    B．9 cm2    C．6 cm2    D．3 cm2

3．(2021·重庆中考)如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是(     )

A．1∶2    B．1∶4    C．1∶3    D．1∶9

4．(2021·绍兴中考)如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5 m，树影AC＝3 m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5 m，则树的高度AB长是(     )

A．2 m    B．3 m    C． m    D． m

5．(2020·玉林中考)一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(     )

A．一种　　　B．两种　　　C．三种　　　D．四种

6．(2021·大庆中考)已知＝＝，则＝__    __．

7．(2021·包头中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为__    __．

8.(2021·菏泽中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E，F，G，N，M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为__    __．

9.(2021·黄冈中考)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.

(1)求证：△ABC∽△DEC；

(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．

10．(2021·东营中考)如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是(     )

A．－2a＋3    B．－2a＋1

C．－2a＋2    D．－2a－2

11．(2020·遂宁中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为(     )

A．    B．    C．    D．

12．(2021·资阳中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，DE⊥BC交BC的延长线于点E.连接AE交BD于点F，交CD于点G.FH⊥CD于点H，连接CF.有下列结论：①AF＝CF；②AF2＝EF·FG；③FG∶EG＝4∶5；④cos ∠GFH＝.其中所有正确结论的序号为__    __．

13．(2021·武汉中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.

(1)求证：CE是⊙O的切线；

(2)若＝，求cos ∠ABD的值．

14．(2021·山西中考)阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C＋32得出，当C＝10时，F＝50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以利用公式＝＋求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式＝＋计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；

②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．

1．(2021·邯郸模拟)下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是(     )

A．三角形    B．平行四边形

C．抛物线    D．圆

2．(2021·杭州模拟)已知＝，则的值为(     )

A．    B．    C．    D．

3．(2021·恩施州模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AE∶EC＝5∶3，BF＝10，则CF的长为(     )

A．16    B．8    C．4    D．6

4．(2021·许昌一模)如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法错误的是(     )

A．S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2

B．AB∶A′B′＝1∶2

C．点A，O，A′三点在同一条直线上

D．BC∥B′C′

5．(2021·唐山模拟)如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4.在边BC上取一点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与以C，D，P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则(     )

A．甲的说法正确　　　  B．乙的说法正确

C．甲、乙的说法都正确      D．甲、乙的说法都不正确

6．(2021·绍兴模拟)如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4 m，横梁AC＝12 m，则支架DF长为(     )

A．2 m　B．2 m　C． m　D．2 m

7．(2021·南平模拟)如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN∶NC＝__    __．

8．(2021·杭州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝__    __度．

9．(2021·上海模拟)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α＝2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为__    __．

10．(2021·苏州模拟)如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，点D从点A出发沿A→C方向匀速运动，速度为1 cm/s.点E是AC上位于点D右侧的动点，点M是AB上的动点，在运动过程中始终保持MD＝ME，DE＝2 cm.过M作MN∥AC交BC于N，当点E与点C重合时点D停止运动．设△MDE的面积为Scm2，点D的运动时间为t s，S与t的函数关系如图②所示．

(1)AC＝________ cm，BC＝________ cm；

(2)设四边形MDEN的面积为y cm2，求y的最大值；

(3)是否存在t的值，使得以M，E，N为顶点的三角形与△MDE相似？如果存在，求t的值；如果不存在，说明理由．