备战2022 中考数学 人教版 第十七讲 等腰三角形、直角三角形 专题练

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第十七讲　等腰三角形、直角三角形


1．(2020·临沂中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝(D)

A．40°　　　B．50°　　　C．60°　　　D．70°
2．(2021·嘉兴中考)能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是(C)
A．x＝－1 B．x＝＋1
C．x＝3 D．x＝－
3．(2021·宜宾中考)一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是(B)

A．30° B．35° C．40° D．45°
4．(2021·自贡中考)如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为(D)

A．(0，5)　　B．(5，0)　　C．(6，0)　　D．(0，6)
5．(2021·新疆中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为(A)

A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2021·青海中考)已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为(D)
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
7．(2021·扬州中考)如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是(B)

A．2 B．3 C．4 D．5
8．(2021·岳阳中考)下列命题是真命题的是(B)
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
9．(2021·苏州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝__54__°.

10．(2021·岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为__(x－6.8)2＋x2＝102__．

11．(2020·南京中考)如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝__78°__．

12．(2021·娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝__1__．

13．(2021·乐山中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4.若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则CP的长为__2或或2__．
14.(2021·温州中考)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.

(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【解析】(1)∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
(2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°.
15．(2021·长沙中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE.
(1)求证：∠B＝∠ACB；
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．

【解析】(1)在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC(SAS)，
∴∠B＝∠ACB；
(2)在Rt△ADB中，
BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4＝16＋4，
S△ABE＝×BE×AD＝×11×4＝22.

16．(2020·河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(D)

A．6 B．9 C．6 D．3
17．(2021·河北中考)如图，直线l，m相交于点O.P为这两直线外一点，且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是(B)

A．0 B．5 C．6 D．7
18．(2021·常德中考)阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2＋b2，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是(C)
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
19．(2021·资阳中考)如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连接EG并延长交BC于点M.若AB＝，EF＝1，则GM的长为(D)

A． B． C． D．
20．(2021·绍兴中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是__15°或75°__．

21．(2021·达州中考)如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为__2__．


22．(2020·黔东南州中考)如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
拓展运用
(2)若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长；
(3)若B，C，E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【解析】(1)全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)如图1，由(1)得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝，
∴BD＝AE＝；
(3)如图2，过A点作AF⊥CD于点F，

∵B，C，E三点在一条直线上，
∴∠BCA＋∠ACD＋∠DCE＝180°.
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°.
在Rt△ACF中，sin ∠ACF＝，
∴AF＝AC×sin ∠ACF＝1×＝，
∴S△ACD＝×CD×AF＝×2×＝.
∵CF＝AC×cos ∠ACF＝1×＝，
∴FD＝CD－CF＝2－＝.
在Rt△AFD中，AD2＝AF2＋FD2＝＋＝3，∴AD＝.

1．(2021·周口模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝150°，则∠2的度数是(A)

A．45° B．40° C．35° D．30°
2．(2021·贵港模拟)下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直．其中逆命题是真命题的有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(易错警示题)(2021·衡水模拟)在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有(B)

①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
②取BC边的中点D，连接AD；
③过点A作AD⊥BC，垂足为点D；
④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2021·郑州模拟)如图，在△ABC中，∠CDE＝64°，∠A＝28°，DE垂直平分BC，则∠ABD＝(A)

A．100° B．128 C．108° D．98°
5．(2021·焦作模拟)已知，在△ABC中，AB＝AC，如图．

(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
(2)作射线AD，连接BD，CD.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(D)
A．∠BAD＝∠CAD　　B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD·BC
6．(2021·台州模拟)如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其中3个三角形的面积分别为2，5，9，则第4个三角形的面积为(D)

A．6　　　B．9　　　C．11　　　D．12
7．(2021·菏泽二模)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，且OO′＝5，OA＝3，O′B＝4，则AB＝(D)

A．5 B．2.4 C．2.5 D．4.8
8．(2021·盐城模拟)如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点(顶点)上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有__8__个．

9．(2021·临清市模拟)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8 m，∠ABC＝60°，则DE＝__2__m．

10．(2021·淄博模拟)在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则∠BAC－∠DAE＝__45__°.

11．(2021·西安模拟)如图，AD是等边△ABC底边上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，若AB＝6，则DF长为____．

12．(2021·哈尔滨模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，点L在AC的延长线上，连接LE交BC于点D，过点E作AB的垂线交∠LCB的平分线于点F，若∠CAB＝3∠L，EF＝3，则DL的长为__6__．

13.(2021·北京模拟)如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连接BC.求证：BC∥ON.

【证明】：∵OG平分∠MON，
∴∠MOG＝∠NOG，∵AB⊥OG于点B.
∴∠ABO＝90°，∵C为线段OA中点，
∴BC＝AO＝CO，∴∠MOG＝∠CBO，
∴∠NOG＝∠CBO，∴BC∥ON.
14．(2021·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2
【证明】连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)，
∴a2＋b2＝c2.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.

【证明】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b2＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴a2＋b2＝c2.

15．(2021·重庆模拟)如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F.
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．

【解析】(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
(2)∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD＋BD＝6，
∴EC＝BC－BE＝4.
16．(新情境素养题)(2021·滁州模拟)如图，水渠两边AB∥CD，一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排宽EF＝2米，求水渠宽．

【解析】过F作FP⊥AB于P，延长PF交CD于Q，
则FQ⊥CD，
∴∠EPF＝∠FQG＝90°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠GFQ＝∠EFP＝45°，
∴∠FGQ＝45°，
∵EF＝2，
∴PF2＋PE2＝EF2＝4，
∵PF＝PE，
∴PF＝PE＝，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGD＝105°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠FEG＝60°
∴FG＝EF＝2，
∴FQ2＋GQ2＝FG2＝12，
∴FQ＝QG＝，
∴PQ＝PF＋FQ＝(＋)(米)，

答：水渠宽为(＋)米．
17．(2021·沈阳模拟)已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB，DC，∠BDC＝120°.
(1)如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE.
①求证：△ABD≌△ACE；
②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF，BD，DC间的数量关系；
(2)若AB＝2，DC＝6，直接写出点A到直线BD的距离．

【证明】：(1)①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠ABD＋∠BDC＋∠ACD＋∠BAC＝360°，
∠BDC＝120°，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°，
∵∠ACE＋∠ACD＝180°，
∴∠ACE＝∠ABD，
又∵AB＝AC，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
②∵△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAC＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝ED，
∵AF⊥DE，AD＝AE，
∴DF＝DE＝AD，∠DAF＝30°，
∴AF＝DF＝AD，
∵AD＝DE＝CD＋CE＝CD＋BD，
∴AF＝AD＝(CD＋BD)；
(2)如图②，若点D在BC下方时，
∵△ABD≌△ACE，
∴点A到直线BD的距离＝点A到直线CE的距离，
设DF＝x，则AF＝x，CF＝DC－DF＝6－x，
∵AC2＝AF2＋CF2，
∴52＝3x2＋(6－x)2，
∴x1＝4，x2＝－1(舍去)，
∴AF＝4；
如图③，若点D在BC上方时，过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，过点D作DF⊥BC于F，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于N，

∵∠BDC＝120°，
∴∠CDH＝60°，
∵CH⊥BD，
∴∠DCH＝30°，CD＝6，
∴DH＝3，CH＝DH＝3，
∵BH＝＝＝5，
∴BD＝BH－DH＝2，
∵S△BDC＝BD×CH＝BC×DF，
∴2×3＝2×DF，
∴DF＝，
∵∠BDC＝120°，
∴∠DBC＋∠DCB＝60°，
又∵∠ABD＋∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠DCB，
∴sin ∠ABD＝sin ∠DCB＝＝，
∴＝，
∴AN＝，
综上所述：点A到直线BD的距离为4或.